Эта страничка сайта будет посвящена ответам к учебнику "Математика 4 класс. Часть 1", автор Чекин А.Л. Это учебник программы "Перспективная начальная школа". Сама по себе программа позиционируется как перспективная, о чем говорит ее название, как должного уровня, как то, что интересно и актуально. На самом деле мы оцениваем данный учебник как весьма "слабенький", то есть задания в нем простенькие, не особо интересные, а значит прогресса особого от детей изучающих математику по такой программе ждать не стоит. Видимо слово перспективы здесь означает только наличие этих перспектив и ничего более, а это печально...
 Так вот, нам хочется верить, что у вас классные учителя, которые помогут преподносить материал альтернативно и дополнительно, что поможет вам в учебе по математике. Однако статья в первую очередь посвящена этому учебнику, еще точнее ответам к нему. Поэтому переходим к этим самым ГДЗ.

Что относительно ответов, то не смотря на их наличие и легкий доступ к ним, мы бы хотели вам рекомендовать в первую очередь использовать материал для сверки, для проверки, но никак не для списывания. 

Ответы ГДЗ к 1 части учебника по математики за 4 класс, Чекин:

Все ответы легко посмотреть во вкладках. Выбираем нужную из вкладок и собственно ответы откроются перед вами.

 Эта страничка сайта будет посвящена ответам к учебнику "Математика 4 класс. Часть 1", автор Чекин А.Л. Это учебник программы "Перспективная начальная школа". Сама по себе программа позиционируется как перспективная, о чем говорит ее название, как должного уровня, как то, что интересно и актуально. На самом деле мы оцениваем данный учебник как весьма "слабенький", то есть задания в нем простенькие, не особо интересные, а значит прогресса особого от детей изучающих математику по такой программе ждать не стоит. Видимо слово перспективы здесь означает только наличие этих перспектив и ничего более, а это печально...
 Так вот, нам хочется верить, что у вас классные учителя, которые помогут преподносить материал альтернативно и дополнительно, что поможет вам в учебе по математике. Однако статья в первую очередь посвящена этому учебнику, еще точнее ответам к нему. Поэтому переходим к этим самым ГДЗ.

Что относительно ответов, то не смотря на их наличие и легкий доступ к ним, мы бы хотели вам рекомендовать в первую очередь использовать материал для сверки, для проверки, но никак не для списывания. 

Ответы ГДЗ к 1 части учебника по математики за 4 класс, Чекин:

Все ответы легко посмотреть во вкладках. Выбираем нужную из вкладок и собственно ответы откроются перед вами.

Стр. 7

Ответы к стр. 7. Сначала займёмся повторением

Проверь себя: всё ли ты помнишь из того, что вы изучали в 3-ем классе?

1. Запиши шестизначное число, каждая цифра записи которого совпадает с номером разряда, следующего за разрядом, в котором она находится.

765432

2. Запиши самое большое шестизначное число, в записи которого три раза встречается цифра 1.

999111

3. Составь и запиши пары чисел, каждая из которых состоит из шестизначного числа и пятизначного числа, а результат разностного сравнения между числами в паре равен 5. Сколько таких пар получилось?

100004 и 99999, 100003 и 99998, 100002 и 99997, 100001 и 99996, 100000 и 99995.
Таких пар пять.

4. Выполни кратное сравнение между следующими разрядными единицами: 1000 и 10. Составь и запиши ещё четыре пары разрядных единиц с таким же результатом кратного сравнения.

1000 : 10 = 100
100 : 1 = 100, 10000 : 100 = 100, 100000 : 1000 = 100, 1000000 : 10000 = 1000

5. Устно вычисли значение следующего выражения.

(45863 + 75981) : (75981 + 45863) • (982564 — 982560) = 1 • 4 = 4

6. Сравни устно значения двух выражений. Составь из них верное равенство или неравенство и запиши его.
983657 — (983657 — 144) и 14400 : 100 • (569873 — 569872)

983657 — (983657 — 144) = 114
14400 : 100 • (569873 — 569872) = 144
983657 — (983657 — 144) = 14400 : 100 • (569873 — 569872)

8

Ответы к стр. 8

7. Выполни умножение столбиком многозначного числа на однозначное число и на двузначное число.

×20863   ×20863
          2           22
  41726   +41726
               41726    
               458986

8. Длина прямоугольника 5 см 5 мм, а ширина 3 см. Вычисли периметр и площадь прямоугольника.

5 см 5 мм = 55 мм, 3 см = 30 мм
(55 + 30) • 2 = 85 • 2

×85
    2
170 (мм) — периметр прямоугольника

×55
    30
1650 (кв. мм) — площадь прямоугольника

9. Начерти два прямоугольника по данным из следующей таблицы.

Номер прям. Длина Ширина Периметр Площадь
 1                      4 см     3 см       ?                ?
 2                      6 см     2 см       ?                ?
Заверши заполнение таблицы в тетради. Сравни периметры этих прямоугольников. Сравни площади этих прямоугольников. Используя данные из заполненной таблицы, установи, могут ли прямоугольники иметь равные площади, но разные периметры?

Номер прям. Длина Ширина Периметр Площадь
1                      4 см      3 см       14 см     12 кв. см
2                      6 см      2 см       16 см     12 кв. см
Прямоугольники могут иметь равные площади, но разные периметры.

10. Начерти два прямоугольника по данным из следующей таблицы.

Номер прям. Длина Ширина Периметр Площадь
1                      8 см     2 см        ?              ?
2                      6 см     4 см        ?              ?
Заверши заполнение таблицы в тетради. Сравни периметры этих прямоугольников. Сравни площади этих прямоугольников. Используя данные из заполненной таблицы, установи, могут ли прямоугольники иметь равные периметры, но разные площади?

Номер прям. Длина Ширина Периметр Площадь
1                    8 см     2 см       20 см        16 кв. см
2                    6 см     4 см       20 см        24 кв. см
Прямоугольники могут иметь равные периметры, но разные площади.

9

Ответы к стр. 9

11. Периметр квадрата равен 32 дм. На сколько квадратных дециметров увеличится площадь квадрата, если его периметр увеличить на 12 дм?

1) 32 : 4 = 8 (дм) — сторона исходного квадрата
2) 8 • 8 = 64 (кв. дм) — площадь исходного квадрата
3) 32 + 12 = 44 (дм) — периметр нового квадрата
4) 44 : 4 = 11 (дм) — сторона нового квадрата
5) 11 • 11 = 121 (кв. дм) — площадь нового квадрата
×11
  11
+11
11  
121
6) 121 — 64 = 57 (кв. дм)
Ответ: площадь квадрата увеличится на 57 кв. дм.

12. Измерь с помощью палетки площадь данного прямоугольника.

Палетку надо совместить с контуром прямоугольника так, чтобы стороны палетки с цифрами совпали со сторонами прямоугольника и квадраты палетки полностью расположились в прямоугольнике. Площадь прямоугольника 15 кв. см.

13. На сколько минутных делений должна повернуться минутная стрелка, чтобы получился поворот на прямой угол? Какую часть прямого угла составляет угол, на который поворачивается минутная стрелка за 5 мин?

На 15 минутных делений. Одну треть (третью часть) прямого угла.

14. Начерти квадрат со стороной 4 см. Разбей этот квадрат на два прямоугольных треугольника. Составь из этих треугольников равнобедренный треугольник с основанием 8 см. Покажи на чертеже, как это сделать.

15. Методом подбора определи, какими могут быть длина и ширина прямоугольника, если его площадь равно 20 кв. см. Построй треугольник с площадью 10 кв. см.

Произведение длин сторон прямоугольника должно быть равно 20 кв. см. Это могут быть: 1 см и 20 см, 2 см и 10 см, 4 см и 5 см.

Прямоугольник со сторонами 2 см и 10 см имеет площадь 20 кв. см. Диагональ делит его на два равных одинаковых треугольника, следовательно каждый из двух треугольников имеет площадь 10 кв. см.

10

Ответы к стр. 10

16. Рассмотри краткую запись задачи.

               Света                     Ира         Марина
Возраст 14 лет,                                         ?,
              на 3 года старше → ?   ← на 1 год моложе
Сформулируй задачу по краткой записи.
Реши эту задачу. Вычисли и запиши ответ.

Свете 14 лет. Она на 3 года старше Иры, а Марина на 1 год моложе Иры. Сколько лет Марине?
1) 14 — 3 = 11 (лет) — Ире
2) 11 — 1 = 10 (лет) — Марине
Ответ: Марине 10 лет.

17. Сделай краткую запись к следующей задаче.
Серёже 10 лет. Он на 4 года моложе Андрея, а Борис в 2 раза моложе Андрея. Сколько лет Борису?
Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.

               Серёжа                  Андрей    Борис
Возраст 10 лет,                                         ?,
               на 4 года моложе → ? ← в 2 раза моложе

1) 10 + 4 = 14 (лет) — Андрею
2) 14 : 2 = 7 (лет) — Борису
Ответ: Борису 7 лет.

18. Сформулируй задачу, решением которой будет выражение 12 • 10 + 15 • 8.
Вычисли и запиши ответ этой задачи. Запиши решение задачи и вычисление ответа по действиям.

В первом зале кинотеатра было 10 рядов кресел по 12 кресел в каждом, а во втором зале — 8 рядов по 15 кресел. Сколько всего мест было в кинотеатре?
12 • 10 + 15 • 8 = 240 (кр.) или
1) 12 • 10 = 120 (кр.) — в первом кинозале
2) 15 • 8 = 120 (кр.) — во втором кинозале
3) 120 + 120 = 240 (кр.) — в двух кинозалах
Ответ: всего в кинотеатре было 240 мест.

19. Сформулируй задачу на кратное сравнение, взяв необходимые числовые данные из этой диаграммы.

Реши эту задачу. Для нахождения ответа выполни устно деление двузначного числа на двузначное число.

В первый магазин привезли 90 коробок конфет, а во второй — 15 коробок. Во сколько раз больше коробок конфет привезли в первый магазин, чем во второй?
90 : 15 = 6 (раз)
Ответ: в 6 раз больше коробок конфет привезли в первый магазин.

11

Ответы к стр. 11

20. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
На складе хранилось 40 упаковок с яблочным соком и 35 упаковок с апельсиновым. Со склада вывезли 18 упаковок с яблочным соком, а с апельсиновым — на 3 больше. На сколько больше осталось на складе упаковок с яблочным соком, чем с апельсиновым?
Попробуй найти рациональный путь решения данной задачи, который приведёт к получению ответа за два действия.

1) 18 + 3 = 21 (уп.) — вывезли с апельсиновым соком
2) 40 — 18 = 22 (уп.) — осталось с яблочным соком
3) 35 — 21 = 14 (уп.) — осталось с апельсиновым соком
4) 22 — 14 = 8 (уп.)
Рациональный вариант. Считаем, на сколько пачек яблочного сока было больше в начале:
1) 40 — 35 = 5 (уп.)
Апельсинового вывезли на 3 больше, значит разница увеличится ещё на 3:
2) 5 + 3= 8 (уп.)
Ответ: упаковок с яблочным соком осталось на 8 больше.

21. Сформулируй задачу на разностное сравнение, в условии которой одно из данных является результатом кратного сравнения.
Для формулирования условия воспользуйся следующей диаграммой.

Реши эту задачу. Вычисли и запиши ответ.

Папа и сын пошли на рынок купить картофель. Домой сын принёс 5 кг картофеля, а папа в 4 раза больше, чем сын. На сколько больше принёс домой картофеля папа, чем сын?
1) 5 • 4 = 20 (кг) — картофеля принёс папа
2) 20 — 5 = 15 (кг)
Ответ: папа принёс на 15 кг картофеля больше, чем сын.

22. Сформулируй задачу на кратное сравнение, в условии которой одно из данных является результатом разностного сравнения.
Подбери числовые данные так, чтобы у тебя была возможность вычислить ответ.
Реши эту задачу. Вычисли и запиши ответ.

Папа и сын пошли на рынок купить картофель. Домой сын принёс 5 кг картофеля, а папа на 15 кг картофеля больше, чем сын. Во сколько раз больше принёс домой картофеля папа, чем сын?
1) 5 + 15 = 20 (кг) — картофеля принёс папа
2) 20 : 5 = 4
Ответ: папа принёс в 4 раза больше картофеля, чем сын.

12

Ответы к стр. 12. Когда известен результат разностного сравнения

23. Полоска длиной 10 см разделена на две части. При этом синяя часть полоски на 2 см длиннее белой её части. Рассмотри рисунок и установи, с помощью какого из двух данных выражений: 10 — 2 или 10 + 2 можно вычислить удвоенную длину меньшей части полоски.

Вычисли удвоенную длину меньшей части полоски. После этого с помощью деления вычисли длину меньшей части полоски.
Как теперь можно вычислить длину большей части полоски? Проведи вычисления двумя способами: с помощью сложения и с помощью вычитания.

Вычислить удвоенную длину полоски можно с помощью выражения 10 — 2.
10 — 2 = 8 (см) — удвоенная длина меньшей части полоски
8 : 2 = 4 (см) — меньшая часть полоски
4 + 2 = 6 (см) — большая часть полоски (она на 2 см больше меньшей части полоски)
10 — 4 = 6 (см) — большая часть полоски (длину всей плоски уменьшили на длину меньшей полоски)

24. Маша разрезает ленточку на две части.
Маше нужно разрезать ленточку длиной 1 м на две части так, чтобы одна часть была на 20 см длиннее другой. Для этого она сначала отогнула с одного конца часть ленточки длиной 20 см. После чего она сложила пополам оставшуюся часть и разрезала ленточку в месте только что получившегося сгиба.
Переведи на язык математических действий все манипуляции, которые Маша производила с ленточкой. Запиши вычисления, с помощью которых можно узнать длину каждой части ленточки. На сколько сантиметров одна часть ленточки, получившаяся после разрезания, длиннее, чем другая? За счёт какого приёма Маше удалось этого добиться?

1 м = 100 см
100 см — 20 см = 80 см — Маша отогнула часть ленточки длиной 20 см.
80 см : 2 = 40 см — Маша сложила пополам и разрезала оставшуюся часть ленточки.
Одна часть ленточки 40 см. Другая часть: 40 см + 20 см = 60 ми или 100 см — 40 см = 60 см.
60 см — 40 см = 20 см — одна часть ленточки длиннее, чем другая.
Маше был известен результат разностного сравнения двух частей ленточки. Если этот результат (20 см) вычесть из первоначальной длины ленточки (100 см), то получившиеся части ленточки будут одинаковы по длине.

13

Ответы к стр. 13

25. Кусок масла в 1 кг нужно разделить на две части так, чтобы в одной части было на 200 г больше, чем в другой. Сколько граммов должно быть в каждой части? Какой из следующих вариантов решения является решением данной задачи?
1-й вариант                                   2-й вариант
1) 1 кг : 2 = 1000 г : 2 = 500 г       1) 1 кг — 200 г = 1000 г — 200 г = 800 г
2) 500 г + 200 г = 700 г                 2) 800 г : 2 = 400 г
3) 500 г — 200 г = 300 г               3) 400 г + 200 г = 600 г

Выполни проверку выбранного варианта решения, сопоставив его с условием. Перепиши это решение с вычислением ответа в тетрадь. Запиши ответ.

По условию задачи подходит второй вариант.
1 кг = 1000 г
1) 1000 — 200 = 800 (г) — осталось в куске поровну
2) 800 : 2 = 400 (г) — меньшая часть куска
3) 400 + 200 = 600 (г) — большая часть куска
Ответ: получилось два куска массой 400 г и 600 г.

14

Ответы к стр. 14

26. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Всего в двух классах 52 ученика. В одном классе на 2 ученика меньше, чем в другом. Сколько учеников в каждом классе?

1) 52 — 2 = 50 (уч.) — осталось в классах поровну
2) 50 : 2 = 25 (уч.) — в классе с меньшим количеством
3) 25 + 2 = 27 (уч.) — в классе с большим количеством
Ответ: в одном классе 25 учеников, а в другом — 27 учеников.

27. По данной краткой записи сформулируй задачу.

                      В 1-й бригаде Во 2-й бригаде В двух бригадах
Число рабочих       ?                     ?,                    47    
                                             ← на 7 больше 
Реши эту задачу. Вычисли и запиши ответ.

На строительства дома приехало две бригады, всего 47 человек. Сколько человек в каждой бригаде, если известно, что во второй бригаде на 7 человек больше?
1) 47 — 7 = 40 (чел.) — в бригадах поровну
2) 40 : 2 = 20 (чел.) — в первой бригаде
3) 20 + 7 = 27 (чел.) — во второй бригаде
Ответ: в первой бригаде 20 человек, а во второй — 27 человек.

28. Из каких двух слагаемых должна состоять сумма, чтобы её значение равнялось числу 550, а одно слагаемое было больше другого на 70.

550 — 70 = 480
480 : 2 = 240
240 + 70 = 310
Проверка: 240 + 310 = 550

29. Найди два числа, при сложении которых получается число 235, а при вычитании — число 135.

235 — 135 = 100
100 : 2 = 50
50 + 135 = 185
Проверка: 185 + 50 = 235, 185 — 50 = 135

30. Сформулируй задачу, в которой требуется найти два числа, если известно значение суммы и значение разности этих чисел. Предложи соседу по парте решить сформулированную тобой задачу.

На остановке стояло 55 человек. Они сели в два автобуса, причём в первом уехало на 5 человек больше. Сколько человек уехало в каждом автобусе?
1) 55 — 5 = 50 (чел.) — в автобусах поровну
2) 50 : 2 = 25 (чел.) — во втором автобусе
3) 25 + 5 = 30 (чел.) — в первом автобусе
Ответ: в первом автобусе уехало 30 человек, а во втором — 25 человек.

31. Реши задачи. Вычисли и запиши ответы.
За тетрадь и альбом заплатили 52 руб. Альбом дороже тетради на 4 руб. Сколько стоит альбом? Сколько стоит тетрадь? Сколько нужно заплатить за 3 таких альбома? За 10 таких тетрадей?

1) 52 — 4 = 48 (руб.) — стоимость поровну
2) 48 : 2 = 24 (руб.) — стоит тетрадь
3) 24 + 4 = 28 (руб.) — стоит альбом
4) 28 • 3 = 84 (руб.) — стоят 3 альбома
5) 24 • 10 = 240 (руб.) — стоят 10 тетрадей
Ответ: альбом стоит 28 руб., тетрадь стоит 24 руб., 3 альбома — 84 руб., 10 тетрадей — 240 руб.

15

Ответы к стр. 15

32. Миша и Маша собирали малину. Миша набрал 2 одинаковых лукошка, а Маша — 3 таких лукошка. Когда мама взвесила собранную малину, то оказалось, что Маша собрала на 900 г больше, чем собрал Миша.
К данному условию сформулируй требование, на которое можно ответить с помощью следующего решения с вычисленным ответом.
1) 3 — 2 = 1 (л.)
2) 900 : 1 = 900 (г)
Запиши действия, которые ещё нужно выполнить для того, чтобы получить ответ для каждого из следующих требований к данному условию.
Сколько граммов малины собрал Миша? А сколько Маша?

Сколько весит 1 литр малины, если известно, что объём одного лукошка 1 литр?
1) 900 • 2 = 1800 (г) — собрал Миша
2) 900 • 3 = 2700 (г) — собрала Маша

33. Изобрази в тетради с помощью двухцветной полоски карандаш, о котором имеется следующая информация.
Двухцветный красно-синий карандаш имеет длину 15 см. Красная часть карандаша использовалась меньше, поэтому её длина на 3 см больше, чем длина синей части.
Какой длины был бы карандаш, если бы синяя часть имела такую же длину, какую имеет сейчас красная часть?
Запиши выражение, с помощью которого можно найти удвоенную длину большей (красной) части. Вычисли эту удвоенную длину. После этого вычисли длину большей (красной) части, а затем — длину меньшей (синей) части.

1) 15 — 3 = 12 (см) — две части поровну
2) 12 : 2 = 6 (см) — длина синей части
3) 6 + 3 = 9 (см) — длина красной части

4) 9 + 9 = 18 (см) — длина карандаша, если синяя часть равна красной части
5) 15 + 3 = 18 (см) — удвоенная длина красной части
6) 18 : 2 = 9 (см) — длина красной части
7) 15 — 9 = 6 (см) — длина синей части

16

Ответы к стр. 16. Когда известен результат кратного сравнения

34. Рассмотри рисунок и скажи, на сколько равных частей разрезан торт. Какая часть торта лежит на лопатке?
Во сколько раз одна часть торта меньше, чем все оставшиеся части? Сколько граммов будет в одной части, если весь торт имеет массу 800 г? Запиши соответствующие вычисления.
Сколько граммов будет во всех оставшихся частях, кроме одной? Запиши соответствующие вычисления.

На 8 равных частей. Одна часть из восьми или одна восьмая часть.
Всего 8 частей: осталось 7 частей, 1 часть на лопатке. 7 : 1 = 7 — 1 часть торта меньше в 7 раз оставшихся частей.
Всего 8 частей, тогда 1 часть весит: 800 : 8 = 100 (г).
Вес оставшихся частей: 800 — 100 = 700 (г) или 100 • 7 = 700 (г).

35. Верёвку длиной 30 м нужно разрезать на две части так, чтобы одна часть была в 5 раз длиннее, чем другая. Сколько метров должно быть в каждой части?

Рассмотри схему к этой задаче и установи, какой из следующих вариантов решения является решением данной задачи.
1-й вариант                    2-й вариант
1) 5 + 1 = 6 (ч.)             1) 30 м : 5 = 6 м
2) 30 м : 6 = 5 м            2) 30 м — 6 м = 24 м
3) 30 м — 5 м = 25 м
Перепиши выбранное решение с пояснением действий в тетрадь. Запиши ответ задачи.

Правильный первый вариант.
1) 5 + 1 = 6 (ч.) — количество частей верёвки
2) 30 м : 6 = 5 м — длина одной части верёвки (меньшей)
3) 30 м — 5 м = 25 м — длина пяти частей верёвки (большей)
Ответ: меньшая часть 5 м, а большая — 25 м.

17

Ответы к стр. 17

36. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Всего в двух кружках занимается 45 учеников. В одном кружке занимается в 4 раза больше учеников, чем в другом. Сколько учеников занимается в каждом кружке?

Схему необходимо дополнить известными данными — количеством учеников в двух кружках. Меньшее количество учеников принимаем за 1 часть. Тогда, большая часть будет: 1 • 4 = 4 (ч.). Всего получается 5 частей.
1) 45 : 5 = 9 (уч.) — число учеников в меньшем кружке (или одна часть)
2) 45 — 9 = 36 (уч.) или 9 • 4 = 36 (уч.) — число учеников в большем кружке
Ответ: в одном кружке занимается 9 учеников, в другом — 36 учеников.

37. По данной краткой записи сформулируй задачу.

                          В 1-й бригаде Во 2-й бригаде В двух бригадах
Число рабочих       ?                            ?,                   48
                                               ← в 3 раза больше 
Реши эту задачу. Вычисли и запиши ответ.

На стройке работали две бригады с общей численностью рабочих 48 человек. Сколько человек работало в каждой бригаде, если известно, что во второй бригаде было в 3 раза больше рабочих?
1) 3 + 1 = 4 (ч.) — количество частей для двух бригад
2) 48 : 4 = 12 (чел.) — в первой бригаде
3) 48 — 12 = 36 (чел.) или 12 • 3 = 36 (чел.) — во второй бригаде
Ответ: в первой бригаде 12 рабочих, во второй — 36 рабочих.

18

Ответы к стр. 18

38. Из каких двух слагаемых должна состоять сумма, чтобы одно слагаемое было больше другого в 9 раз, а её значение равнялось числу 350?

На диаграмме меньшая часть (меньшее число) показана в виде белой полоски, а большая (большее число) — в виде синей полоски. Белая полоска содержится в синей 9 раз. По диаграмме составляем схему для решения задачи.
1) 9 + 1 = 10 (ч.) — общее количество частей для суммы двух чисел
2) 350 : 10 = 35 — первое (меньшее) слагаемое, на которое приходится 1 часть
3) 350 — 35 = 315 или 9 • 35 = 315 — второе (большее) слагаемое, на которое приходится 9 частей
Проверка: 315 : 35 = 9, 315 + 35 = 350
Ответ: 35 и 315.

39. Выбери два двузначных числа так, чтобы можно было найти значение их частного. Вычисли значение суммы этих чисел и значение их частного. Используя эти значения, сформулируй задачу, в которой требуется найти два числа, если известно значение суммы и значение частного этих чисел.
Предложи соседу по парте решить сформулированную тобой задачу.

Числа 50 и 10.
50 + 10 = 60, 50 : 10 = 5
В два магазина привезли 60 буханок хлеба. Сколько буханок хлеба привезли в каждый магазин, если известно, что в первый магазин привезли в 5 раз больше хлеба, чем во второй?

1) 5 + 1 = 6 (ч.) — общее количество частей для всех буханок хлеба
2) 60 : 6 = 10 (б.) — привезли во второй магазин
3) 60 — 10 = 50 (б.) или 5 • 10 = 50 (б.) — привезли в первый магазин
Ответ: в первый магазин привезли 50 буханок хлеба, а во второй — 10 буханок.

40. Найди два числа, при сложении которых получается число 180, а при делении одного числа на другое — 8.

1) 8 + 1 = 9 (ч.) — количество частей для суммы чисел
2) 180 : 9 = 20 — одно число
3) 180 — 20 = 160 или 8 • 20 = 160 — второе число
Ответ: числа 20 и 160.

41. Реши эту задачу. Вычисли и запиши ответ.
За ручку и набор фломастеров заплатили 48 руб. Набор фломастеров в 5 раз дороже ручки. Сколько стоит ручка? Сколько стоит набор фломастеров? Сколько нужно заплатить за 10 таких ручек? За 3 таких таких набора фломастеров?
На какое требование задачи можно ответить с помощью следующего выражения:
48 : (5 + 1) • 5?

1) 5 + 1 = 6 (ч.) — количество частей для стоимости ручки и фломастеров
2) 48 : 6 = 8 (руб.) — стоит ручка
3) 48 — 8 = 40 (руб.) или 8 • 5 = 40 (руб.) — стоит набор фломастеров
4) 8 • 10 = 80 (руб.) — стоят 10 ручек
5) 40 • 3 = 120 (руб.) — стоят 3 набора фломастеров
6) 48 : (5 + 1) • 5 = 40 (руб.) — это может быть цена одного набора фломастеров или цена пяти ручек
Ответ: ручка стоит 8 руб., набор фломастеров стоит 40 руб., 10 ручек стоят 80 руб., 3 набора фломастеров стоят 120 руб., сколько стоит набор фломастеров или сколько стоят 5 ручек.

19

Ответы к стр. 19. Учимся решать задачи

42. Составь краткую запись следующей задачи, заполнив данную таблицу в тетради.
В двух автобусах разместилось 85 экскурсантов. В первом автобусе разместилось на 7 человек меньше, чем во втором. Сколько экскурсантов находилось в каждом автобусе?

                    В 1-м авт.              Во 2-м авт. В двух авт.
Число экск.   ?,                                                      85                 
                    меньше на 7 чел. → ? 
Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.

1) 85 — 7 = 78 (чел.) — поровну в двух автобусах
2) 78 : 2 = 39 (чел.) — в первом автобусе
3) 39 + 7 = 46 (чел.) — во втором автобусе
Ответ: в первом автобусе было 39 экскурсантов, а во втором — 46 экскурсантов.

43. Найди два числа, при сложении которых получается число 240, а при вычитании — число в 2 раза меньше, чем при сложении.

1) 240 : 2 = 120 — при вычитании
2) 240 — 120 = 120 — поровну при вычитании
3) 120 : 2 = 60 — меньшее число
4) 120 + 60 = 180 — большее число
Проверка: 180 + 60 = 240, 180 — 60 = 120
Ответ: 60 и 180.

44. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
За линейку и ручку заплатили 45 руб. 50 коп. Ручка дороже линейки на 5 руб. 50 коп. Сколько стоит ручка? Сколько стоят 5 линеек?

Покажи на схеме, какая часть полоски изображает стоимость двух линеек?

1) 45 руб. 50 коп. — 5 руб. 50 коп. = 40 руб. — стоят ручка и линейка одинаково
2) 40 руб. : 2 = 20 руб. — стоит линейка
3) 20 руб. + 5 руб. 50 коп = 25 руб. 50 коп. — стоит ручка
4) 20 руб. • 5 = 100 руб. — стоят 5 линеек
Ответ: ручка стоит 25 руб. 50 коп., 5 линеек — 100 руб.

20

Ответы к стр. 20

45. Составь краткую запись следующей задачи, заполнив данную таблицу в тетради.
В двух спортивных секциях занимаются 80 учащихся. В первой секции занимается в 3 раза меньше учащихся, чем во второй. Сколько учащихся занимается в каждой секции?

                            В 1-й секции          Во 2-й секции В двух секциях
Число учащихся          ?,                                                  80
                            в 3 раза меньше →    ? 
Сделай чертёж к составленной задаче и реши её. Вычисли и запиши ответ.

1) 3 + 1 = 4 (ч.) — общее количество частей для двух секций
2) 80 : 4 = 20 (уч.) — в первой секции
3) 80 — 20 = 60 (уч.) или 3 • 20 = 60 (уч.) — во второй секции
Ответ: в первой секции занимается 20 учащихся, а во второй — 60 учащихся.

46. Одна сторона прямоугольника имеет длину на 2 см больше, чем другая. Общая длина этих двух сторон 12 см. Найди длину каждой стороны этого прямоугольника.

1) 12 — 2 = 10 (см) — длина поровну на две стороны
2) 10 : 2 = 5 (см) — меньшая длина
3) 5 + 2 = 7 (см) — большая длина
Ответ: стороны прямоугольника 5 см и 7 см.

47. Периметр прямоугольника 24 см. Одна сторона этого прямоугольника имеет длину на 2 см больше, чем другая. Найди длину каждой стороны этого прямоугольника.
Можно ли решение предыдущей задачи использовать как часть решения данной задачи?

1) 24 : 2 = 12 (см) — сумма двух сторон прямоугольника
2) 12 — 2 = 10 (см) — длина поровну на две стороны
3) 10 : 2 = 5 (см) — длина меньшей стороны
4) 5 + 2 = 7 (см) — длина большей стороны
Ответ: стороны прямоугольника 5 см и 7 см. Можно.

48. Одна сторона прямоугольника имеет длину в 2 раза больше, чем другая. Общая длина этих двух сторон 12 см. Найди длину каждой стороны этого прямоугольника.

1) 2 + 1 = 3 (ч.) — общее количество частей для сторон прямоугольника
2) 12 : 3 = 4 (см) — длина меньшей стороны
3) 12 — 4 = 8 (см) или 4 • 2 = 8 (см) — длина большей стороны
Ответ: стороны прямоугольника 4 см и 8 см.

21

Ответы к стр. 21

49. Периметр прямоугольника 24 см. Одна сторона этого прямоугольника имеет длину в 2 раза больше, чем другая. Найди длину каждой стороны этого прямоугольника.
Можно ли решение предыдущей задачи использовать как часть решения данной задачи?

1) 24 : 2 = 12 (см) — сумма двух сторон прямоугольника
2) 2 + 1 = 3 (ч.) — общее количество частей для сторон прямоугольника
3) 12 : 3 = 4 (см) — длина меньшей стороны
4) 12 — 4 = 8 (см) или 4 • 2 = 8 (см) — длина большей стороны
Ответ: стороны прямоугольника 4 см и 8 см. Можно.

50. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
За 10 одинаковых тетрадей нужно заплатить на 75 руб. больше, чем за 7 таких же тетрадей. Сколько стоят 5 таких тетрадей?

1)  10 - 7 = 3 (т.) - стоят 75 р
2)  75 : 3 = 25 (р.) - стоит 1 тетрадь
3)  25 * 5 = 125 (р.) - стоят 5 тетрадей
Ответ: 125 рублей.

51. По данной схеме сформулируй задачу.

Реши сформулированную задачу. Вычисли и запиши ответ.

В магазин утром привезли 5 одинаковых мешков свеклы. После обеда привезли ещё 3 мешка. Сколько килограммов свеклы привезли в магазин всего, если известно, что утром привезли на 50 кг свеклы больше, чем после обеда?
1) 5 — 3 = 2 (меш.) — привезли больше утром
2) 50 : 2 = 25 (кг) — в одном мешке
3) 5 + 3 = 8 (меш.) — привезли за день
4) 25 • 8 = 200 (кг) — привезли за день
Ответ: в магазин привезли всего 200 кг свеклы.

52. Определи площадь каждой фигуры, если они составлены из одинаковых квадратов и площадь первой фигуры на 3 кв. см больше площади второй.

Первая фигура находится справа. Количество квадратов в первой фигуре 10 штук, а во второй — 7 штук.
1) 10 — 7 = 3 (к.) — больше в первой фигуре
2) 3 : 3 = 1 (кв. см) — площадь одного квадрата
3) 1 • 10 = 10 (кв. см) — площадь первой фигуры
4) 1 • 7 = 7 (кв. см) — площадь второй фигуры
Ответ: площадь первой фигуры 10 кв. см, а второй — 7 кв. см.

22

Ответы к стр. 22. Алгоритм умножения столбиком

53. Выполни умножение столбиком многозначного числа на однозначное число и ответь на следующие вопросы.
×2052
        3
С какого разряда первого множителя нужно начинать умножение на однозначное число столбиком и к какому разряду следует переходить далее?
Какое число нужно записывать в соответствующий разряд результата, если при умножении в этом разряде получается однозначное число, а какое — если двузначное?
Какое число при умножении в данном разряде должно получиться, чтобы не было перехода через разряд?
В каких случаях имеет место переход через разряд и как его нужно учитывать при дальнейших вычислениях?

×2052
        3
  6156
Умножение нужно начинать с разряда единиц первого множителя, а затем переходить к разряду десятков, сотен и тысяч. То сеть, сначала умножаются единицы, затем десятки, потом сотни и тысячи. Это позволяет учесть те единицы, которые образовались, если при умножении единиц предыдущего разряда произошёл переход через разряд.
Если при умножении в данном разряде получается однозначное число, то оно и записывается в соответствующий разряд результата. Если получается двузначное число, то в соответствующий разряд результата записывается число разряда единиц, а число разряда десятков переходит в следующий разряд результата — оно суммируется с произведение в этом разряде.
Должно получится однозначное число.
В случае, если при умножении в данном разряде получается двузначное число, то имеет место переход через разряд: число разряда десятков полученного двузначного числа переходит в следующий разряд — оно суммируется с результатом произведения в этом разряде.

54. Рассмотри, как выполнено умножение столбиком многозначного числа на двузначное число, и ответь на следующие вопросы.
  ×2052
        23
 + 6156
  41040
  47196
На какое разрядное слагаемое второго множителя сначала умножаем первый множитель? На какое число нужно умножать далее? Чем отличается расположение записи результата умножения числа 2052 на 3 единицы от результата умножения этого же числа на 2 десятка?
С какого разряда начинаем записывать результат умножения числа 2052 на 2 десятка? Какая цифра стоит в этом случае в разряде единиц этого результата? Обязательно ли её записывать или можно оставить это место свободным?
Какое действие нужно выполнить над двумя полученными результатами умножения? Можно ли для выполнения этого действия применить алгоритм сложения столбиком? Можно ли использовать для сложения столбиком уже имеющуюся запись полученных чисел или нужно делать отдельную запись?

Сначала первый множитель умножается на число разряда единиц второго множителя, затем на число разряда десятков. При умножении числа 2052 на 3 единицы результат умножения записывается под соответствующим разрядом начиная с разряда единиц, а при умножении на 2 десятка — начиная с разряда десятков, то есть умножаем все разряды первого множителя на десятки второго множителя.
При умножении числа 2052 на 2 десятка записывать результат умножения начинаем под разрядом десятков. В разряде единиц этого результата будет цифра 0. Её можно не записывать и оставить место пустым.
Действие сложения. Алгоритм сложения столбиком применим. Рациональнее будет использовать для сложения столбиком уже имеющуюся запись полученных чисел.

23

Ответы к стр. 23

55. Сформулируй алгоритм умножения столбиком, ответив на следующие вопросы и используя данный пример. Способ умножения столбиком на однозначное число подробно описывать не нужно.
   ×2052
       123
     6156
+ 41040
 205200
 252396
Как нужно записывать множители?
На какое разрядное слагаемое второго множителя нужно сначала умножить первый множитель?
На какое разрядное слагаемое второго множителя нужно умножать далее? Как нужно действовать, если какое-то разрядное слагаемое равно 0? Когда нужно заканчивать умножение на разрядные слагаемые второго множителя?
После того, как первый множитель умножили отдельно на каждое разрядное слагаемое второго множителя, что нужно делать с полученными результатами?
Когда будет получен окончательный результат умножения данных многозначных чисел?

Множители нужно записывать друг под другом, цифры в разрядах второго множителя строго под соотвествующими разрядами первого множителя, слева направо.
Сначала первый множитель умножается на число разряда единиц второго множителя.
Затем первый множитель умножается на число разряда десятков второго множителя и далее на число разряда сотен. Все значения записываются строго в данных разрядах, учитывая, в случае наличия, переход через разряд. Если одно из разрядных слагаемых равно 0, то результат умножения на него можно не записывать в промежуточном вычислении (строчку с нулями можно опустить), а результат умножения на число следующего разрядного слагаемого записывать строго под соответсвующим разрядом. Заканчивать умножение нужно, когда выполнено умножение первого множителя на каждое разрядное слагаемое второго множителя.
Полученные при этом результаты необходимо суммировать между собой, строго соблюдая разрядность, применив алгоритм сложения столбиком.
Окончательный результат умножения многозначных чисел будет получен после сложения всех получившихся промежуточных результатов умножения первого множителя на все разрядные слагаемые второго множителя.

24

Ответы к стр. 24

56. Устно сделай прикидку, сколько цифр будет в записи результата умножения чисел 2365 и 43. Проверь предположение с помощью алгоритма умножения столбиком.

Самый большой разряд первого множителя — тысячи: 2000, а второго — десятки: 40. При их перемножении получается число 80000, следовательно, в результате умножения будет 5 цифр. Поскольку мы не учли остальные разрядные слагаемые, при реальном вычислении умножение всех разрядных слагаемых может дать переход через разряд с последующим увеличением (при сложении промежуточных результатов) результата умножения до 6 чисел. Таким образом, в записи результата умножения может быть 5 или 6 цифр.
  ×2365
        43
 + 7095
  9460  
101695
В результате умножения получилось 6 цифр.

57. В первой строке записаны задания на умножение столбиком, а во второй — выполнение этих заданий, но порядок выполнения заданий не соответствует порядку их предъявления.
×467 ×467 ×467
 504      54   540

+1868  + 1868 + 18680
23350 233500  233500
25218 235368  252180
Установи соответствие между записями из первой и второй групп и запиши в тетрадь полные записи выполнения умножения столбиком для данных чисел.
Можно ли восстановить записи без проведения вычислений, если считать, что все вычисления выполнены верно. Как это сделать? Объясни.

    ×467    ×467      ×467
      504        54        540
+  1868 + 1868 + 18680
233500  23350  233500
235368  25218  252180
Можно.
В первом исходном столбце при перемножении чисел разряда единиц получается: 7 • 4 = 28, то есть последняя цифра в результате умножения — 8, она не изменится при сложении промежуточных результатов. Подходят результаты 25218 и 235368. Самый большой разряд первого множителя — сотни: 400, а второго — сотни: 500. При их перемножении получается число 200000, следовательно, в результате умножения будет 6 чисел. Из двух результатов подходит 235368.
Во втором исходном столбце при перемножении чисел разряда единиц получается: 7 • 4 = 28, то есть последняя цифра в результате умножения — 8, она не изменится при сложении промежуточных результатов. Подходит результат 25218, послкольку ответ 235368 уже принадлежит результату умножения первого столбика. Кроме того, самый большой разряд первого множителя — сотни: 400, а второго — десятки: 50. При их перемножении получается число 20000, следовательно, в результате умножения будет 5 чисел.
Для третьего столбика остаётся ответ 252180. Это проверяется умножением чисел разряда единиц: 7 • 0 = 0, то есть последняя цифра в результате умножения — 0, она не изменится при сложении промежуточных результатов. Кроме того, самый большой разряд первого множителя — сотни: 400, а второго — сотни: 500. При их перемножении получается число 200000, следовательно, в результате умножения будет 6 чисел.

25

Ответы к стр. 25. Поупражняемся в вычислениях столбиком

58. Выполни сложение столбиком.

 23568      3072    6156      6156
+ 4365 + 86532 + 4104 + 41040
     568  365645    8208  820800
 28501  455249  18468  867996

59. Проверь, правильно ли выполнено умножение столбиком.
   ×2052
       423
     6156
+ 4104
 8208    
 867996
Что необычного в данной записи? Объясни, почему можно не записывать нули в конце записи чисел, которые получаются в результате умножения первого множителя на 2 десятка и на 4 сотни.

Умножение выполнено верно. В данной записи при умножении первого множителя на числа в разряде десяток и сотен второго множителя в промежуточных результатах не записаны нули в разряде десяток и десяток и сотен соотвественно. Но следующие числа результата записываются строго под разрядом, с котрого началось умножение — это разряд десятков и сотен соотвественно. При сложении промежуточных результатов умножения эти нули не изменят результат сложения и могут быть не записаны в конце чисел.

60. Выполни умножение столбиком.

 ×2935 ×2935   ×2935
        4        34       234
11740 +11740   11740
            8805   + 8805
            99790  5870   
                        686790

61. Найди значения данных выражений, применив вычисления столбиком.
(3561 + 2568) • (789365 — 789331)
(1728 + 8327) • (87524 — 87321)

(3561 + 2568) • (789365 — 789331) = 208386
+3561 _789365    ×6129
 2568    789331          34
 6129            34 + 24516
                           18387  
                           208386

(1728 + 8327) • (87524 — 87321) = 2041165
 +1728  _87524  ×10055
   8327    87321        203
10055         203 + 30165
                           20110  
                          2041165

26

Ответы к стр. 26. Тысяча тысяч, или миллион

62. Из какого числа маленьких кубиков состоит кубик, изображённый на рисунке?

Если взять 1000 таких кубиков, как на рисунке, и составить из них один большой куб, то как с помощью произведения записать число маленьких кубиков, из которых состоит построенный большой куб?
Вычисли значение этого произведения, используя правила умножения на число 1000. Объясни, почему справедливо данное равенство.
1000 • 1000 = 1000000
Как называется число, которое получается в результате увеличения числа 1000 в 1000 раз?
Сколько раз нужно сложить число 1000 с самим собой, чтобы получилось число МИЛЛИОН?

Кубик на рисунке состоит из 1000 маленьких кубиков.
1000 • 1000 = 1000000. Чтобы умножить данное число на 1000, нужно к этому числу приписать справа 3 нуля. Равенство справедливо по правилу умножения числа на 1000.
Миллион.
Нужно сложить 1000 раз.

27

Ответы к стр. 27

63. Во сколько раз нужно увеличить число 10000, чтобы получить миллион? Запиши в тетради соответствующее равенство.

10000 • 100 = 1000000

64. Во сколько раз нужно увеличить число 100000, чтобы получить миллион? Запиши в тетради соответствующее равенство.

100000 • 10 = 1000000

65. Запиши натуральное число, которое непосредственно предшествует числу 1000000.
Выполни разностное сравнение этих чисел.

999999
1000000 — 999999 = 1

66. Запиши натуральное число, которое следует сразу за числом 1000000.
Выполни разностное сравнение этих чисел.

1000001
1000001 — 1000000 = 1

67. Во сколько раз 1000000 больше 10? Выполни кратное сравнение этих чисел.

1000000 : 10 = 100000

68. Запиши решение данной задачи с помощью произведения.
В типографии были отпечатаны избирательные бюллетени. Их упаковали в пачки по 1000 бюллетеней в каждой, и получилось 1000 пачек.
Сколько всего бюллетеней было отпечатано?
Вычисли и запиши ответ данной задачи.

1000 • 1000 = 1000000 (б.)
Ответ: всего отпечатали 1000000 бюллетеней.

69. Сформулируй задачу, при вычислении ответа которой получалось бы число 1000000.
Реши сформулированную задачу. Вычисли и запиши ответ.

В деревне живёт 100 человек, а в городе в 10000 больше. Сколько человек живёт в городе?
100 • 10000 = 1000000 (чел.)
Ответ: в городе живёт 1000000 человек.

28

Ответы к стр. 28. Разряд единиц миллионов и класс миллионов

70. Сколько разрядов содержит таблица, которая состоит из двух классов: класса единиц и класса тысяч? Какое минимальное число разрядов должно быть в таблице, чтобы в ней можно было записать число 1000000?
Рассмотри данную таблицу и скажи, какой по счету справа разряд называется РАЗРЯДОМ ЕДИНИЦ МИЛЛИОНОВ.

Разряд        Разряд  Разряд    Разряд  Разряд Разряд     Разряд
единиц        сотен    десятков единиц  сотен    десятков  единиц
миллионов  тысяч  тысяч       тысяч
      1                0          0              0             0             0              0
Такая таблица содержит 6 разрядов: класс единиц — разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен, а класс тысяч — разряд единиц тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч. Минимальное число разрядов для записи 1000000 — 7 разрядов.
Седьмой разряд по счёту справа — разряд единиц миллионов.

71. Запиши число 1111111 в таблицу разрядов в тетради. Представь это число в виде суммы разрядных слагаемых. Заключи в скобки слагаемые, которые относятся к классу единиц. Заключи в скобки слагаемые, которые относятся к классу тысяч. Назови слагаемое, которое не входит в первые два класса. Это слагаемое относится к третьему классу — КЛАССУ МИЛЛИОНОВ. Сколько разрядов должно быть в каждом классе? Назови разряды класса миллионов.

Разряд        Разряд  Разряд    Разряд  Разряд Разряд     Разряд
единиц        сотен    десятков единиц  сотен    десятков  единиц
миллионов  тысяч  тысяч       тысяч
       1               1          1                1            1              1              1

1111111 = 1000000 + (100000 + 10000 + 1000) + (100 + 10 + 1)
Это слагаемое — миллион. В каждом классе должно быть 3 разряда. Класс миллионов — разряд единиц миллионов, разряд десятков миллионов, разряд сотен миллионов.

72. Запиши в порядке возрастания все разрядные слагаемые, которые относятся к разряду единиц миллионов.

1000000, 2000000, 3000000, 4000000, 5000000, 6000000, 7000000, 8000000, 9000000

29

Ответы к стр. 29

73. Перечерти в тетрадь данную таблицу разрядов и классов. Запиши в этой таблице число 257689245.

74. Разбей запись числа 257689245 на классы с помощью знака ’. Представь это же число в виде слагаемых по классам. Назови каждое из слагаемых, начиная с класса миллионов. У тебя получилось название данного числа — двести пятьдесят семь миллионов шестьсот восемьдесят девять тысяч двести сорок пять.

257’689’245 = 257 000 000 + 689 000 + 245
Двести пятьдесят семь миллионов шестьсот восемьдесят девять тысяч двести сорок пять.

75. Запиши в таблицу разрядов и классов следующие числа:
а) один миллион триста шестьдесят две тысячи двести восемьдесят семь;
б) один миллион девяносто четыре тысячи девятьсот восемь;
в) два миллиона восемь тысяч пятьсот;
г) двадцать миллионов двадцать тысяч двадцать;
д) девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять.

30

Ответы к стр. 30. Когда трёх классов для записи числа недостаточно

76. Запиши самое маленькое десятизначное число. Можно ли это число записать в таблицу разрядов и классов, которая состоит из трёх классов? Для записи в таблицу числа 1’000’000’000 требуется дополнить уже имеющуюся таблицу четвёртым классом — КЛАССОМ МИЛЛИАРДОВ.
Как называется число 1000000000, если его название применяется для названия четвёртого класса?

1000000000
Нет, нельзя.
Миллиард.

77. Из перечисленных примеров выбери те, при описании которых используются числа класса миллиардов:
а) число жителей России,
б) число жителей Земли,
в) состояние самых богатых людей в мире,
г) расстояние от Земли до Солнца (км),
д) расстояние от Земли до Солнца (м).

Число жителей Земли примерно 7 500 000 000 человек.
Билл Гейтс — состояние около 86 000 000 000 долларов.
Расстояние от Земли до Солнца 149 600 000 000 метров.
Ответ: б), в), д).

78. Запиши цифрами следующие числа:
а) три миллиарда сто двадцать пять миллионов двести тысяч восемь;
б) десять миллиардов десять миллионов десять тысяч десять;
в) один миллиард один миллион одна тысяча один;
г) сто миллиардов.

а) 3125200008;
б)10010010010;
в) 1001001001;
г) 100000000000.

79. Прочитай следующие числа, выделив предварительно каждый класс в записи с помощью знака ’.

1’256’894’735 — один миллиард двести пятьдесят шесть миллионов восемьсот девяносто четыре тысячи семьсот тридцать пять
7’000’635’000 — семь миллиардов шестьсот тридцать пять тысяч
123’456’789’000 — сто двадцать три миллиарда четыреста пятьдесят шесть миллионов семьсот восемьдесят девять.

31

Ответы к стр. 31. Поупражняемся в сравнении чисел и повторим пройденное

80. Запиши следующие числа в порядке возрастания.
256358975 35698712 9699697 256358969
3569872 9699997 25638969 6996979

3569872, 6996979, 9699697, 9699997, 25638969, 35698712, 256358969, 256358975

81. Запиши следующие числа в порядке убывания.
5264837 62348927 217396 4587369
98632475 2138657 458231 69371452

98632475, 69371452, 62348927, 5264837, 4587369, 2138657, 458231, 217396

82. Вычисли значение следующего выражения.
(6548 + 1458) • (786965 — 786938)

+6548  _ 786965    ×8006
  1458     786938          27
  8006            27  + 56042
                             16012  
                             216162

83. Раздели ленту длиной 587 см на две части так, чтобы одна часть была на 37 см больше, чем другая.

1) 587 — 37 = 550 (см) — две части поровну
2) 550 : 2 = 275 (см) — меньшая часть
3) 275 + 37 = 312 (см) — большая часть
Ответ: меньшая часть — 275 см, большая часть — 312 см.

84. Раздели массу 1 ц 80 кг на две части так, чтобы одна часть была в 5 раз , чем другая.

1 ц = 100 кг
1) 5 + 1 = 6 (ч.) — всего
2) 180 : 6 = 30 (кг) — меньшая часть
3) 180 — 30 = 150 (кг) — большая часть
Ответ: меньшая часть — 30 кг, большая часть — 150 кг.

85. Выполни умножение столбиком.
Расположи полученные результаты умножения в порядке возрастания.

  ×2354  ×3187   ×4823
        47        32         26
+16478 + 6374 +28938
  9416    9561      9646  
110638 101984 125398

101984, 110638, 125398

32

Ответы к стр. 32

86. Запиши самое большое семизначное число, в запись которого входит три раза цифра 0 и четыре раза цифра 1.

1111000

87. Запиши самое маленькое восьмизначное число, в запись которого входит четыре раза цифра 0 и четыре раза цифра 1.

10000111

88. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
За 8 одинаковых пакетов молока нужно заплатить на 45 руб. больше, чем за 5 таких же пакетов. Сколько стоят 4 таких пакета молока?

1) 8 — 5 = 3 (п.) — за которые нужно заплатить больше
2) 45 : 3 = 15 (руб.) — один пакет молока
3) 15 • 4 = 60 (руб.)
Ответ: 4 пакета молока стоят 60 рублей.

89. Для каждого из данных выражений сформулируй задачу, решением котрой и будет это выражение:
а) (24 — 4) : 2,
б) 72 : (5 + 1) • 5.
Вычисли и запиши ответ каждой сформулированной задачи.

а) Миша и Вова подтягивались на турнике. Вместе они подтянулись 24 раза, но Миша подтянулся на 4 раза больше, чем Вова. Сколько раз подтянулся Вова?
1) 24 — 4 = 20 (р.) — подтянулись поровну
2) 20 : 2 = 10 (р.) — подтянулся Вова
или
(24 — 4) : 2 = 10 (р.)
Ответ: Вова подтянулся 10 раз.
б) Папа принёс домой одно приожное, а мама в 5 раз больше. За все пирожные они заплатили 72 руб. Сколько заплатила за пирожные мама?
1) 1 + 5 = 6 (ч.) — всего
2) 72 : 6 = 12 (руб.) — стоит одно пирожное
3) 12 • 5 = 60 (руб.) — заплатила мама
или
72 : (5 + 1) • 5 = 60 (руб.)
Ответ: мама заплатила за пирожные 60 рублей.

90. Реши две задачи. Сравни решения и ответы этих задач.
а. Площадь участка 1000 кв. м. Этот участок нужно разбить на две части так, чтобы одна была в 4 раза больше, чем другая. Какую площадь должна иметь меньшая из двух частей?
б. Площадь участка 1000 кв. м. Этот участок нужно разбить на две части так, чтобы одна была на 600 кв. м больше, чем другая. Какую площадь должна иметь меньшая из двух частей?

а. 1) 1 + 4 = 5 (ч.) — всего
2) 1000 : 5 = 200 (кв. м) — меньшая часть
Ответ: меньшая часть 200 кв. м.
б. 1) 1000 — 600 = 400 (кв. м) — поровну
2) 400 : 2 = 200 (кв. м) — меньшая часть
Ответ: меньшая часть 200 кв. м.
В этих задачах получился одинаковый ответ, но первая задача решалась алгоритмом вычисления ответа задачи на кратное сравнение, а вторая — алгоритмом вычисления ответа задачи на разностное сравнение.

33

Ответы к стр. 33. Может ли величина изменяться?

91. Заверши в тетради заполнение данной таблицы, в которой должны быть представлены длина и ширина каждого из четырёх изображённых прямоугольников. Длина обозначена буквой α, ширина — буквой b.

Номер пр. 1 2 3 4
α, см          5 4 6 3
b, см          2 2 2 2
Какая величина не изменяется при переходе от одного из данных прямоугольников к другому? Такую величину называют ПОСТОЯННОЙ.
Какая величина изменяется при переходе от одного из данных прямоугольников к другому? Такая величина называется ПЕРЕМЕННОЙ.
Что можно сказать о площади этих прямоугольников? Будет ли эта величина постоянной или переменной при переходе от одного из данных прямоугольников к другому?
Будет ли площадь постоянной или переменной при изменении только одной из сторон прямоугольника?
Будет ли площадь одной и той же данной фигуры всегда величиной постоянной, или она может изменяться в зависимости от положения фигуры?

Не изменяется ширина прямоугольников.
Изменяется длина прямоугольников.
Площадь прямоугольников (10 кв. см, 8 кв. см, 12 кв. см, 6 кв. см) величина переменная.
При изменении только одной стороны прямоугольника площадь будет величиной переменной.
Положение фигуры не влияет на площадь, следовательно её величина будет постоянной.

34

Ответы к стр. 34

92. Среди перечисленных величин укажи те, которые являются переменными:
а) рост человека в течение жизни,
б) масса человека в течение жизни,
в) площадь классной комнаты, в которой ты учишься,
г) высота стакана по мере наполнения его водой,
д) масса стакана с водой по мере наполнения его этой водой,
е) число учащихся твоего класса за все годы обучения.

Ответ: а), б), д), е).

93. Учительница Мария Евдокимовна поручила Маше фиксировать посещаемость занятий учащимися класса в течение двух недель.
Маша составила следующую таблицу.

                   Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота
1-я неделя     21                 21           21       21           21           21
2-я неделя     22                 20           20      18           19            19
В течение какой недели число учащихся, присутствующих на занятиях, было постоянным, а в течение какой — переменным?

1-я неделя — число учащихся постоянное, 2-я неделя — число учащихся переменное.

35

Ответы к стр. 35

94. Приведи по три примера постоянных и переменных величин из окружающей действительности.

Постоянные величины: число дней в неделе, число часов в сутках, высота потолка в квартире.
Переменные величины: число дней в месяце, высота дерева в течение жизни, количество листьев на дереве в течение жизни.

95. Проведи необходимые вычисления и продолжи заполнение данной таблицы в тетради.

Номер прямоугольника 1   2  3   4
Длина (см)                     24 12 8   6
Ширина (см)                   1   2  3   4
Периметр (см)               50 28 22 20
Площадь (кв. см)          24 24 24 24
Какая из перечисленных в таблице величин не изменяется при переходе от одного прямоугольника к другому, а какая — изменяются?

Не изменяется площадь прямоугольников. Изменяются длина, ширина и периметр прямоугольников.

96. Начерти три ломаных линии, длина которых при переходе от одной к другой остаётся постоянной, а число звеньев уменьшается.

97. Начерти три окружности, радиусы которых при переходе по порядку от одной окружности к другой увеличиваются.

98. Начерти три ломаных линии, длина которых при переходе по порядку от одной к другой уменьшается, а число звеньев остаётся постоянным.
Может ли одновременно число звеньев ломаной линии увеличиваться, а длина уменьшаться?

Может.

36

Ответы к стр. 36

99. Чем похожи и чем отличаются следующие суммы?
256 + 15 и α + 15
Какое число может стоять на месте первого слагаемого во второй сумме? Какое слагаемое в этой сумме является переменным, а какое – постоянным?
Сумма с переменным слагаемым α и постоянным слагаемым 15 представлена выражением, содержащим букву, или БУКВЕННЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ.
Вычисли значения буквенного выражения α + 15 при значениях переменной α, которые представлены в данной таблице. Запиши полученные значения в таблицу в тетради.

α      256  43 78659 243687
α+15 271 58 78674 243702
В обеих суммах второе слагаемое — одинаковое число, а первое слагаемое в выражении слева — число, в выражении справа — буква.
Любое число. Вместо первого слагаемого может стоять любое число — значит, это переменное слагаемое, а второе слагаемое — неизменяемое число, то есть постоянное слагаемое

100. Запиши буквенное выражение, с помощью которого можно вычислить периметр квадрата. Длину стороны квадрата обозначь буквой α.
Вычисли значение этого выражения, если α = 25 см.

(α + α) • 2 = α + α + α + α = 4 • α
4 • 25 = 100 (см)

101. Запиши буквенное выражение, с помощью которого можно вычислить площадь квадрата. Длину стороны квадрата обозначь буквой α.
Вычисли значение этого выражения, если α = 25 см.

α • α
25 • 25 = 625 (кв. см)

  ×25
    25
+125
  50  
  625

37

Ответы к стр. 37. Всегда ли математическое выражение является числовым?

102. Запиши буквенное выражение, с помощью которого можно вычислить периметр прямоугольника. Длины сторон прямоугольника обозначь буквами α и b.
Вычисли значение выражения, если α = 215 мм и b = 35 мм.

(α + b) • 2 = 2 • α + 2 • b
(215 + 35) • 2 = 250 • 2 = 500 (мм)

103. Вычисли значение буквенного выражения α + b, если α = 756 и b = 895.
Нужно ли проводить какие-либо дополнительные вычисления для того, чтобы найти значение буквенного выражения b + α при тех же значениях α и b? Почему? Какое свойство сложения выражает следующее равенство?
α + b = b + α

756 + 895 = 1651

+756
  895
1651
Не нужно, поскольку от перемены мест слагаемых значение суммы не изменяется. Переместительное свойство сложения.

104. Выполняя предыдущее задание, мы уже научились записывать с помощью буквенных выражений переместительное свойство сложения.
Запиши, используя буквенные выражения, равенство, в котором выражено переместительное свойство умножения.
Проверь справедливость полученного равенства при α = 236, b = 165, выполнив вычисления столбиком.

Переместительное свойство умножения: α • b = b • α.
236 • 165 = 165 • 236 = 38940

  ×236    ×165
    165      236
   1180      990
+1416   +495
  236     330    
 38940  38940

105. В каком из следующих равенств выражено сочетательное свойство сложения (правило прибавления суммы к числу)?
α + (b + c) = (α + b) + c
α + (b — c) = (α + b) — c
α — (b + c) = (α — b) — c

α + (b + c) = (α + b) + c

38

Ответы к стр. 38

106. Запиши, используя буквенные выражения с буквами α, b, с, равенство, в котором выражено сочетательное свойство умножения (правило умножения числа на произведение).
Проверь справедливость данного равенства при α = 231, b = 4, с = 12.

α • (b • с) = (α • b) • с
231 • (4 • 12) = (231 • 4) • 12 = 11088

   ×12   ×231 ×231   ×924
      4        48       4       12
    48  +1848   924 +1848
            924              924  
          11088          11088

107. Вычисли значения выражений (8 + 9) • 9 и (20 — 7) • 8, применяя соответственно правила умножения суммы на число и разности на число.
Используя буквенные выражения, заверши в тетради составление равенств, в первом из которых выражено правило умножения суммы на число, а во втором — правило умножения разности на число.
(α + b) • с =…
…= α • с — b • с

(8 + 9) • 9 = 8 • 9 + 9 • 9 = 72 + 81 = 153
(20 — 7) • 8 = 20 • 8 — 7 • 8 = 160 — 56 = 104
(α + b) • с = α • с + b • с
(α — b) • с = α • с — b • с

108. Какое правило выражает следующее равенство, если оба деления в правой части выполнимы?
(α + b) : с = α : с + b : с
Проверь справедливость данного равенства при α = 48, b = 24, с = 6, выполнив вычисления устно.
Запиши аналогичное равенство для правила деления разности на число.
Проверь его справедливость при тех же значениях букв α, b, с.

Правило деления суммы на число.
(48 + 24) : 6 = 48 : 6 + 24 : 6 = 8 + 4 = 12
(48 + 24) : 6 = 72 : 6 = 12
(α — b) : с = α : с — b : с
(48 — 24) : 6 = 48 : 6 — 24 : 6 = 8 — 4 = 4
(48 — 24) : 6 = 24 : 6 = 4

109. Запиши, используя буквенные выражения, равенства, в которых выражено соответственно правило умножения числа на сумму и правило умножения числа на разность.

а • (b + с) = а • b + а • с
а • (b — с) = а • b — а • с

39

Ответы к стр. 39. Зависимость между величинами

110. Обозначим длину стороны квадрата буквой α. Периметр квадрата обозначим буквой Р. Заполни данную таблицу и установи, изменяется ли периметр квадрата в зависимости от изменения длины его стороны.
α (см) 2  5    3  8  11
Р (см) 8 20 12 32 44
Может ли периметр квадрата не измениться, если длина стороны квадрата изменилась?
Могут ли получиться разные значения периметра квадрата при одном и том же значении длины его стороны?
Объясни смысл фразы: периметр квадрата однозначно ЗАВИСИТ от длины его стороны.
Что происходит с периметром квадрата, если длина стороны этого квадрата увеличивается?
Что происходит с периметром квадрата, если длина стороны этого квадрата уменьшается?

Из таблицы видно, что с изменением стороны квадрата — 2 см, 5 см, 3 см, 8 см, 11 см, изменяется и периметр: 8 см, 20 см, 12 см, 32 см, 44 см соответственно.
Нет, поскольку периметр квадрата — 4 • α, то есть при изменении значения α изменится значение выражения.
Нет, поскольку в выражение периметра квадрата входит только α и постоянное число — 4.
Смысл слова «зависит» следует понимать так: если изменить длину стороны квадрата, то это обязательно приведёт к изменению его периметра, то есть Р зависит от а. Смысл слова «однозначно» следует понимать так: если известна длина стороны квадрата α, то периметр квадрата Р принимает только одно значение при α и других принять не может.
Если длина стороны квадрата увеличивается, то его периметр тоже увеличивается.
Если длина стороны квадрата уменьшается, то его периметр тоже уменьшается.

111. Среди перечисленных пар величин укажи те, в которых одна величина зависит от другой:
а) площадь квадрата и длина его стороны,
б) рост человека и его возраст,
в) число квартир и число номеров этих квартир,
г) масса купленных яблок и стоимость этой покупки.
В каких из перечисленных выше случаях зависимость является однозначной?

Во всех этих парах одна величина зависит от другой.
а) площадь квадрата зависит от длины его стороны, так как если изменить длину стороны квадрата, то это обязательно приведёт к изменению его площади.
б) рост человека и его возраст могут являться зависимыми величинами, при условии, что речь идёт о конкретном человеке, то есть каждому значению возраста этого человека будет соответствовать определённое значение роста.
в) число номеров квартир зависит от числа самих квартир, так как если изменить число квартир, то это обязательно приведёт к изменению числа номеров этих квартир.
г) стоимость покупки зависит от массы купленных яблок при условии, что цена яблок одинаковая.
Однозначной является зависимость а) и в). В зависимостях б) и г) есть дополнительные условия — конкретный человек и одинаковая цена.

40

Ответы к стр. 40

112. Приведи пример двух величин, которые находятся в некоторой зависимости одна от другой, а также двух величин, которые не зависят друг от друга.

Зависят.
Количество тарелок на столе в столовой от количества обедающих учеников. Количество учебников в портфеле ученика от количества уроков в школе.
Не зависят.
Время начала уроков в школе от количества учеников в классе. Количество дней в каникулах от погоды.

113. Заполни в тетради данную таблицу, если известно, что длина α на 3 см больше, чем длина b.

α (см) 12 65 50 187 4568
b (см)  9  62 47 184 4565
Будет ли в данном случае величина b однозначно зависеть от величины α?

Величина b однозначно зависит от величины α, так как при каждом значении α, можно найти единственное значение b.

114. Если известен периметр квадрата, то можно ли однозначно установить его площадь? Сделай это для квадрата, периметр которого равен 20 см.
Объясни, почему площадь квадрата однозначно зависит от его периметра.

Можно, поскольку по известному периметру можно вычислить сторону квадрата. А вычислив его сторону, можно потом вычислить площадь по этой найденной стороне.
1) 20 : 4 = 5 (см) — одна сторона
2) 5 • 5 = 25 (кв. см) — площадь
Площадь квадрата однозначно зависит от его периметра, поскольку каждому значению периметра квадрата соответствует единственное значение площади.

115. Начерти два прямоугольника, у одного из которых стороны имеют длину 6 см и 4 см, а у другого соответственно 8 см и 2 см. Вычисли периметр и площадь каждого из этих прямоугольников. Сравни получившиеся периметры между собой и получившиеся площади между собой.
Если известен периметр прямоугольника, то можно ли однозначно установить его площадь?
Объясни, почему площадь прямоугольника не будет однозначно зависеть от го периметра. А что можно сказать о зависимости площади квадрата от его периметра? Проиллюстрируй это на примере.

Первый прямоугольник: Р = (6 + 4) • 2 = 20 (см), S = 6 • 4 = 24 (кв. см).
Второй прямоугольник: Р = (8 + 2) • 2 = 20 (см), S = 8 • 2 = 16 (кв. см).
Периметры прямоугольников равны, а площадь первого прямоугольника больше площади второго прямоугольника: 24 кв. см > 16 кв. см.
По известному периметру прямоугольника нельзя однозначно установить его площадь.
Потому, что у прямоугольников с одинаковым периметром могут быть разные площади, как выяснилось выше.
Площадь квадрата однозначно зависит от его периметра. Это видно из предыдущего задания №114: каждому значению периметра квадрата соответствует единственное значение площади.

41

Ответы к стр. 41

116. Будет ли периметр равностороннего треугольника однозначно зависеть от длины его стороны? Будет ли площадь равностороннего треугольника однозначно зависеть от длины его стороны?

Периметр равностороннего треугольника Р = 3 • α, где α — сторона треугольника. Он однозначно зависит от длины стороны равностороннего треугольника, поскольку в выражение периметра входит только α и постоянное число — 3. Каждому значению длины стороны равностороннего треугольника соответствует единственное значение периметра. Такая же ситуация с зависимостью площади равностороннего треугольника — она однозначно зависит от длины стороны равностороннего треугольника.

117. Будет ли диаметр окружности однозначно зависеть от радиуса этой окружности? Проведи измерение радиусов и вычисление диаметров данных окружностей и заполни в тетради приведённую ниже таблицу.

Номер окружности 1   2  3
Радиус (мм)           10 15 20
Диаметр (см)           2  3  4
Диаметр окружности D = 2 • r, где r — радиус окружности. Он однозначно зависит от радиуса окружности, поскольку в выражение диаметра входит только r и постоянное число — 2. Каждому значению радиуса окружности соответствует единственное значение её диаметра.

118. В сумме α + b второе слагаемое отличается от первого в 2 раза. Каким в этом случае может быть второе слагаемое, если первое равно 50? Можно ли дать однозначный ответ? Как нужно изменить условие для того, чтобы второе слагаемое однозначно зависело от первого?

В условии не указано, больше или меньше второе слагаемое относительно первого, поэтому возможны два варианта.
Второе слагаемое больше в 2 раза первого слагаемого: 50 • 2 = 100 — второе слагаемое.
Второе слагаемое меньше в 2 раза первого слагаемого: 50 : 2 = 25 — второе слагаемое.
Таким образом, однозначный ответ дать нельзя.
Для однозначного ответа в условии нужно указать, меньше или больше второе слагаемое в 2 раза, чем первое.

42

Ответы к стр. 42. Поупражняемся в нахождении значений зависимой величины

119. Какие из следующих равенств показывают, что получающееся значение величины b всегда в 2 раза больше любого возможного значения величины α?
b = α + 2 b = α • 2 b = α + α b = α • α
Запиши эти равенства и вычисли значение величины b, если α = 325 кг.

b = α • 2, b = α + α
α = 325, b = 325 • 2 = 650, b = 325 + 325 = 650

120. Запиши формулу, которая позволяет по значению длины стороны квадрата (обозначается буквой α) однозначно вычислить периметр этого квадрата (обозначается буквой Р).
Заверши в тетради заполнение данной таблицы.

α (см) 2  3   5   8  10  50
Р (см) 8 12 20 32 40 200
Р = 4 • α

121. Запиши формулу, которая позволяет по значению длины стороны квадрата (обозначается буквой α) однозначно вычислить площадь этого квадрата (обозначается буквой S).
Заверши в тетради заполнение данной таблицы.

α (см) 2 3  5   8   10    50
S (см) 4 9 25 64 100 2500
S = α • α

43

Ответы к стр. 43

122. Вычисли и запиши в таблицу в тетради значения указанных величин по следующим значениям величины α.

α        25    50    65    90   100
α+25  50    75    90   115   125
α•15  375  750  975 1350 1500
α-23   2      27    42    67    77
α : 5   5     10     13   18     20

123. Вычисли значение величины с, если
с = 8 • α + 45 • b при α = 42, b = 16

с = 8 • 42 + 45 • 16 = 336 + 720 = 1056

124. В одной коробке находится 12 карандашей. Вычисли число карандашей в нескольких таких коробках, записав результат в соответствующую графу таблицы в тетради.

Число коробок         2   5   10   50
Число карандашей 24 60 120 600

125. Вычисли периметр равностороннего треугольника, если длина его стороны равна 25 мм.
Во сколько раз увеличится периметр треугольника, если длину его стороны увеличить в 3 раза?

Р1 = 3 • 25 = 75 (мм)
α = 25 • 3 = 75 (мм), Р2 = 3 • 75 = 225 (мм)
Р2 : Р1 = 225 : 75 = 3 (р.) — увеличится периметр треугольника при увеличении стороны в 3 раза.

44

Ответы к стр. 44. Стоимость единицы товара, или цена

126. Для каждой из названных единиц приведи пример товара, который исчисляется в этих единицах: а) штука, б) пакет, в) коробка, г) упаковка, д) метр, е) килограмм, ж) квадратный метр.

а) тетрадь, пенал, карандаш,
б) молоко, корм для животных, семечки,
в) конфеты, пирожные, печенье,
г) кофе, чай, бутилированная вода,
д) ткань, тесьма, шпагат,
е) свекла, яблоки, креветки,
ж) линолеум, металлочерепица, ковролин.

127. Сколько стоит 1 пакет молока, если 3 таких пакета стоят 36 руб.?
Запиши вычисленную цену пакета молока в таблицу, где уже указано соответствующее наименование цены. Например, 12 руб./пак., которое нужно читать так: 12 рублей за пакет.
Вычисли цену других товаров из данной таблицы и запиши полученные результаты.
Прочитай и объясни смысл каждого из наименований цены.

Вид товара       Цена          Количество Стоимость
Молоко             12 руб./пак.     3 пак.         36 руб.
Хлеб                  9 руб./бат.      2 бат.          18 руб.
Макароны        15 руб./кг         4 кг             60 руб.
Лента               11 руб./м           5 м              55 руб.
Ковр.покрытие 310 руб./кв. м 1 кв. м        310 руб.
Конверты         8,5 руб./шт.      10 шт.        85 руб.
                   (8 руб. 50 коп./шт.)

Для вычисления цены товара нужно разделить его стоимость на количество.
36 руб. : 3 пак. = 12 руб./пак.
руб./пак. — рублей за пакет
руб./ бат. — рублей за батон
руб./кг — рублей за килограмм
руб./м — рублей за метр
руб./кв. м — рублей за квадратный метр
руб./шт. — рублей за штуку

45

Ответы к стр. 45

128. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Стоимость 1 билета в театр — 90 руб. Запиши цену билета. Сколько нужно заплатить за 2 таких билета? За 10 таких билетов?

Ответ задачи лучше представить в табличной форме.
Цена билета — 90 руб./шт.

           Цена         Количество Стоимость
Билет 90 руб./шт. 1 шт.            90 руб.
                              2 шт.           180 руб.
                              10 шт.          900 руб.
Ответ: 2 билета — 180 руб., 10 билетов — 900 руб.

129. По следующей краткой записи сформулируй задачу.

Вид товара  Цена                       Количество Стоимость
Яблоки           ?,                                 3 кг         120 руб.
                на 10 руб./кг меньше ↓
Груши              ?                                 2 кг              ?
Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.

Цена 1 кг яблок на 10 руб./кг дешевле 1 кг груш. Сколько стоят 2 кг груш, если 3 кг яблок стоят 120 руб.?
1) 120 : 3 = 40 (руб./кг) — цена яблок
2) 40 + 10 = 50 (руб./кг) — цена груш
3) 50 • 2 = 100 (руб.) — стоимость груш
Ответ: 2 кг груш стоят 100 рублей.

130. Прочитай задачу.
За тетрадь и альбом заплатили 60 руб. Альбом дороже тетради на 12 руб. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит альбом?
Ответь на следующие вопросы.
На сколько рублей должен подешеветь альбом, чтобы его цена сравнялась с ценой тетради?
Сколько стоила бы эта покупка, если бы цена альбома стала равна цене тетради?
Какова цена тетради?
Какова действительная цена альбома?
Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Стоимость какой покупки можно вычислить с помощью выражения 60 + 12?

1) 60 — 12 = 48 (руб.) — поровну
2) 48 : 2 = 24 (руб.) — цена тетради
3) 24 + 12 = 36 (руб.) — цена альбома
Ответ: тетрадь стоит 24 рубля, альбом стоит 36 рублей.
Альбом должен подешеветь на 12 рублей.
При одинаковой стоимости тетради и альбома (по 24 рубля) стоимость покупки составила бы 48 рублей.
Цена тетради 24 рубля.
Действительная цена альбома 36 рублей.
Выражение 60 + 12 (70 рублей) — это стоимость двух альбомов, так как 12 рублей разница в цене между альбомом и тетрадью.

46

Ответы к стр. 46

131. За блокнот и книгу заплатили 120 руб. Книга дороже блокнота в 5 раз. Сколько стоит каждая из покупок? Сделай краткую запись задачи, дополнив следующую таблицу в тетради.

Вид товара Цена Количество Стоимость
Блокнот         ?             1 шт.       120 руб.
Книга             ?,
          дороже в 5 раз ↑ 1 шт.
Сколько блокнотов можно купить за те же деньги, что потрачены на покупку 1 книги? Сколько всего блокнотов можно купить за 120 рублей? Какова цена блокнота? Реши задачи. Вычисли и запиши ответы.

1) 1 + 5 = 6 (ч.) — в стоимости
2) 120 : 6 = 20 (руб.) — стоимость блокнота
3) 20 • 5 = 100 (руб.) или 120 — 20 = 100 (руб.) — стоимость книги
Ответ: блокнот стоит 20 руб., книга — 100 руб.
Поскольку книга в 5 раз дороже блокнота, то за цену одной книги можно купить 5 блокнотов.
В стоимость покупки (120 руб.) входит одна книга и один блокнот. За стоимость одной книги можно купить 5 блокнотов. Получается, что на 120 рублей можно купить 6 блокнотов.
Цена блокнота 20 руб.

132. Сформулируй задачу на кратное сравнение стоимостей, решением которой являлось бы следующее выражение.
(16 • 6) : (8 • 4)

Цена альбома 16 руб./шт., а цена тетради — 8 руб./шт. Во сколько раз стоимость шести альбомов больше, чем стоимость четырёх тетрадей?
(16 • 6) : (8 • 4) = 96 : 32 = 3 (р.)
Ответ: в 3 раза.

133. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Стоимость 1 кг помидоров в 3 раза или на 30 руб. больше, чем 1 кг картофеля. Какова цена картофеля и цена помидоров?
Покажи на схеме, какая часть полоски изображает 30 рублей.

1) 3 — 1 = 2 (ч.) — на 2 части больше стоимость помидоров (им соответствует 30 руб.)
2) 30 : 2 = 15 (руб.) — цена 1 кг картофеля
3) 15 • 3 = 45 (руб.) или 15 + 30 = 45 (руб.) — цена 1 кг помидор
Ответ: 1 кг картофеля стоит 15 рублей, 1 кг помидор стоит 45 рублей.

47

Ответы к стр. 47. Когда цена постоянна

134. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Месяц назад Маша при покупке двух тетрадей заплатила 24 руб. Сегодня она купила три такие же тетради за 36 руб. Изменилась ли цена этих тетрадей за прошедший месяц?

1) 24 : 2 = 12 (руб.) — цена одной тетради месяц назад
2) 36 : 3 = 12 (руб.) — цена одной тетради сегодня
Ответ: цена не изменилась в течении месяца, то есть была постоянна.

135. За 3 кг картофеля было заплачено 27 руб. Во сколько раз больше нужно заплатить за 12 кг картофеля по той же цене?
Рассмотри и объясни каждый из двух вариантов решения этой задачи.
1-й вариант                            2-й вариант
1) 27 руб. : 3 кг = 9 руб./кг    1) 12 кг : 3 кг = 4 (раза)
2) 9 руб./кг • 12 кг = 108 руб.
3) 108 руб. : 27 руб. = 4 (раза)

В первом варианте сначала вычисляется стоимость одного килограмма картофеля, затем цена 12 кг картофеля, а потом проводится кратное сравнение стоимости 3 кг и 12 кг картофеля.
Во втором варианте проводится кратное сравнение массы картофеля, поскольку, если картофель покупали по одной цене, то за 12 кг картофеля надо заплатить в кратное число раз больше, чем за 3 кг, то есть в 4 раза больше.

136. Два покупателя купили ткань по одинаковой цене. Только первый купил в 2 раза больше, чем второй. Во сколько раз больше заплатил первый покупатель, чем второй?

Из предыдущей задачи мы выяснили: при условии, что цена постоянна (одинакова), увеличение количества товара в некоторое число раз, приводит к увеличению стоимости товара в это же число раз. Следовательно, первый покупатель заплатил в 2 раза больше, чем второй.

137. Во сколько раз больше нужно заплатить за 9 м ткани, чем за 3 м такой же ткани?

Количество товара увеличилось в 3 раза: 9 м : 3 м = 3. Следовательно, при одинаковой цене, нужно заплатить в 3 раза больше.

138. Покупатель заплатил за 4 м ткани 840 руб. Сколько нужно заплатить за 12 м такой же ткани?

Задачу можно решить двумя способами.
1-й способ.
1) 840 : 4 = 210 (руб./м) — цена одного метра ткани
2) 210 • 12 = 2520 (руб.) — стоимость 12 м ткани
2-й способ.
1) 12 : 4 = 3 (р.) — больше ткани
2) 840 • 3 = 2520 (руб.) — стоимость 12 м ткани
Ответ: за 12 м ткани нужно заплатить 2520 рублей.

48

Ответы к стр. 48

139. Сформулируй задачу по следующей краткой записи, представленной в виде таблицы.

                            Цена          Количество Стоимость
1-й покупатель Одинаковая        9 шт.         99 руб.
2-й покупатель                             20 шт.             ?
Реши сформулированную задачу. Вычисли и запиши ответ.
Как можно было бы рациональнее решить соответствующую задачу, если бы в графе «Количество» вместо 20 шт. стояло 27 шт.?

Один покупатель купил 9 пирожных и заплатил за них 99 рублей. Сколько заплатит второй покупатель за 20 таких же пирожных?
1) 99 : 9 = 11 (руб.) — цена одного пирожного
2) 11 • 20 = 220 (руб.) — стоимость покупки второго покупателя
Ответ: второй покупатель заплатит 220 рублей.

1) 27 : 9 = 3 (р.) — больше
2) 99 • 3 = 297 (руб.)
Количество товара увеличилось в 3 раза (27 шт. : 9 шт. = 3 раза), значит стоимость покупки тоже увеличиться в 3 раза.

140. Заполни в тетради данную таблицу, если цена тетрадей не меняется и равняется 20 руб./тет.

Количество (шт.)   2   5    10    50    100
Стоимость (руб.) 40 100 200 1000 2000

141. Заполни в тетради данную таблицу, если цена ручек не меняется и равняется 10 руб./руч.

Количество (шт.)  2   5   8   10   25
Стоимость (руб.) 20 50 80 100 250

49

Ответы к стр. 49. Учимся решать задачи

142. Реши задачу, не вычисляя цены электропровода. Вычисли и запиши ответ.
За 20 м электропровода покупатель заплатил 160 руб. Сколько нужно заплатить за 100 м такого же провода?

Увеличение количества товара в некоторое число раз, приводит к увеличению стоимости товара в это же число раз, при условии, что цена постоянна.
1) 100 : 20 = 5 (р.) — больше
2) 160 • 5 = 800 (руб.) — стоимость покупки
Ответ: нужно заплатить 800 рублей.

143. Реши задачу двумя способами: вычисляя и не вычисляя цены сахарного песка.
За 3 кг сахарного песка заплатили 75 руб. Сколько нужно заплатить за 12 кг сахарного песка по той же цене?
По каждому варианту решения вычисли и запиши ответ задачи.

1-й вариант.
1) 75 : 3 = 25 (руб./кг) — цена одного килограмма сахарного песка
2) 25 • 12 = 300 (руб.) — стоимость покупки
Ответ: нужно заплатить 300 рублей.
2-й вариант.
1) 12 : 3 = 4 (р.) — больше
2) 75 • 4 = 300 (руб.) — стоимость покупки
Ответ: нужно заплатить 300 рублей.

144. Сформулируй задачу по следующей краткой записи.

Цена             Количество Стоимость
Одинаковая     5 кг              60 руб.
                          ?                 120 руб.
Реши сформулированную задачу двумя способами: вычисляя и не вычисляя цены́ товара.
Вычисли и запиши ответ.
Какой из этих двух способов ты не сможешь применить, если стоимость 120 руб. заменить на 96 руб.?

Покупатель заплатил за 5 кг картофеля 60 руб. Сколько можно купить этого же картофеля на 120 руб.?
1-й вариант.
1) 60 : 5 = 12 (руб./кг) — цена одного килограмма картофеля
2) 120 : 12 = 10 (кг) — можно купить
Ответ: можно купить 10 кг картофеля.
2-й вариант.
1) 120 : 60 = 2 (р.) — больше
2) 5 • 2 = 10 (кг) — можно купить
Ответ: можно купить 10 кг картофеля.

Если заменить стоимость 120 руб. на 96 руб., то решить задачу вторым способом не получится, поскольку 96 не делится на 60 без остатка.

50

Ответы к стр. 50

145. На диаграмме представлена цена трёх видов товара.

Выполни по этой диаграмме попарное разностное и кратное сравнения данных цен. Сформулируй задачу на нахождение стоимости товара с использованием данных цен. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.

Разностное сравнение.
180 — 90 = 90 (руб./шт.)
180 — 30 = 150 (руб./шт.)
90 — 30 = 60 (руб./шт.)
Кратное сравнение.
180 : 90 = 2 (р.)
180 : 30 = 6 (р.)
90 : 30 = 3 (р.)
Булочка стоит 30 руб./шт., пирожное на 60 руб./шт. дороже булочки, а цена торта в 2 раза больше цены пирожного. Сколько стоит один торт?
1) 30 + 60 = 90 (руб./шт.) — цена пирожного
2) 90 • 2 = 180 (руб./шт.) — цена торта
Ответ: цена торта 180 руб./шт.

146. Условия и требования трёх задач заданы в табличной форме.
Реши задачи. Вычисли и запиши ответы.

Вид продукции Расход (норм.) Количество Общий расход
Костюмы               3 м/шт.              ? шт.           75 м
Юбки                     ? м/шт.            30 шт.           30 м
Брюки                130 см/шт.          20 шт.           ? см

Количество костюмов.
75 : 3 = 25 (шт.)
Ответ: 25 костюмов.

Расход (нормативный) на одну юбку.
30 : 30 = 1 (м/шт.)
Ответ: расход 1 м/шт.

Общий расход на брюки.
130 • 20 = 2600 (см)
Ответ: общий расход 2600 см.

147. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
В плацкартном вагоне пассажирских мест на 18 больше, чем в купейном. Всего в этих двух вагонах 90 пассажирских мест. Сколько пассажирских мест в плацкартном вагоне? В купейном вагоне?

1) 90 — 18 = 72 (м.) — поровну
2) 72 : 2 = 36 (м.) — в купейном вагоне
3) 36 + 18 = 54 (м.) — в плацкартном вагоне
Ответ: в плацкартном вагоне 54 пассажирских места, а в купейном — 36 мест.

51

Ответы к стр. 51. Деление с остатком и деление нацело

148. Маша и Миша ждут в гости четырёх друзей. Мама сказала, чтобы они угостили их конфетами. Миша решил заранее разделить конфеты между 6 детьми поровну. В вазе было 12 «Васильков», 25 «Ромашек» и 18 «Юбилейных». Миша сразу сказал, что он легко разделит поровну «Васильки» и «Юбилейные» и записал на листочке соответствующие действия:
12 : 6 = 2 (к.) и 18 : 6 = 3 (к.)
«Всем поровну получилось. Ни одной лишней НЕ ОСТАЛОСЬ, — сказал Миша. — А вот поделить «Ромашки» мне не удаётся. Если я кладу каждому по 3, то мне конфет не хватает. Если по 2 — ещё остаётся! Смотри сама».
Сначала Маша разложила на столе 6 конфет — по одной каждому. Потом положила ещё по одной конфете. «Каждый получит по 2 «Ромашки»», — сказала Маша.
«А эти ОСТАВШИЕСЯ 3 конфеты мы вернём маме, — сказала Маша. — Это и есть ОСТАТОК. Мы выполни ДЕЙСТВИЕ ДЕЛЕНИЯ С ОСТАТКОМ!»
Посмотри на запись того, что сделали ребята:
15 : 6 = 2 (ост. 3).
Объясни, что обозначает каждое число в записи деления с остатком.
«Значит, «Васильки» и «Юбилейные» мы разделили без остатка?» — спросил Миша.
«Без остатка», — подтвердила Маша.
ДЕЙСТВИЕ ДЕЛЕНИЯ БЕЗ ОСТАТКА называют ДЕЛЕНИЕМ НАЦЕЛО.

Делимое 15 – обозначает количество конфет «Ромашка». Делитель 6 обозначает количество гостей, между которыми нужно разделить конфеты. Значение частного 2 обозначает, что каждому гостю досталось по 2 конфеты. Число 3 – обозначает остаток, то есть то количество конфет, которое осталось.

15 : 6 = 2 (ост. 3)

Остаток – это число, которое получается в результате деления с остатком и которое показывает, какое минимальное число нужно вычесть из делимого, чтобы полученное число делилось нацело на данный делитель. То есть, если, число 3 вычесть из делимого 15, получим число 12, которое делится на делитель 6 нацело.
Остаток показывает, на сколько делимое больше того ближайшего к нему числа, которое делится на делитель нацело. То есть делимое 15 на 3 больше, чем число 12, ближайшее число к 15, которое делится на делитель 6 нацело.
Остаток всегда больше или равен 0. Если остаток равен 0, то деление выполнено нацело, то есть при делении числа «Васильков» на 6 (12 : 6 = 2), остаток равен 0, значит деление выполнено нацело.

52

Ответы к стр. 52

149. После того как мама положила на каждую из четырёх тарелок по 3 сосиски, в кастрюле осталось 2 сосиски. Сколько всего сосисок сварила мама?
Запиши решение этой задачи в виде одного выражения. Раздели с остатком число 14 на число 4.

3 • 4 + 2 = 14 (с.)
14 : 4 = 3 (ост. 2)

150. Выполни деление с остатком, используя для этого соответствующие табличные случаи деления.
24 : 6 =    27 : 3 =    32 : 8 =    81 : 9 =
27 : 6 =    29 : 3 =    39 : 8 =    85 : 9 =
Рассмотри действия деления в первом столбике. Какое из них является табличным случаем деления? На сколько одно делимое отличается от другого? Будет ли это число совпадать с остатком?
Вычисли, на сколько отличаются делимые в остальных столбиках. Проверь, совпадает ли каждое из этих чисел с соответствующим ему остатком.

24 : 6 = 4                27 : 3 = 9
27 : 6 = 4 (ост. 3)   29 : 3 = 9 (ост. 2)

32 : 8 = 4                81 : 9 = 9
39 : 8 = 4 (ост. 7)   85 : 9 = 9 (ост. 4)

Табличный случай деления 24 : 6 = 4, так как 6 • 4 = 24.
Разностное сравнение чисел: 27 – 24 = 3, 27 > 24 на 3. Да, так как остаток – это минимальное число, которое нужно вычесть из делимого, чтобы полученное число делилось нацело на данный делитель. То есть, если, из делимого 27 вычесть делимое 24, которое делится на 6 нацело, то получим число 3, которое и является остатком.
29 – 27 = 2 39 – 32 = 7 85 – 81 = 4
29 : 3 = 9 (ост. 2) 39 : 8 = 4 (ост. 7) 85 : 9 = 9 (ост. 4)
Каждое число, получившееся в результате разностного сравнения делимых, совпадает с соответствующим ему остатком.

151. Объясни, почему с помощью табличного случая деления 42 : 7 = 6 можно разделить с остатком число 45 на число 7. Выполни и запиши деление с остатком числа 45 на число 7.
Почему выбранный табличный случай деления можно получить, выполнив действие в скобках в следующем выражении: (45 — 3) : 7?
Вычисли значение этого выражения. В полученном равенстве подчеркни соответственно одной и двумя чертами числа, которые получаются в результате деления с остатком числа 45 на число 7. Всегда ли аналогичным образом можно получить по результатам деления с остатком соответствующий случай деления нацело?

Наибольшее число, которое делится нацело на 7 и которое не превосходит число 45, — это число 42 (42 : 7 = 6). Можно утверждать, что делитель (число 7) максимально содержится в делимом (числе 45) 6 раз, при этом в остатке остаётся ещё число 3 (45 – 42 = 3), значит 45 : 7 = 6 (ост. 3).
Потому, что число 3 — это остаток, при вычитании которого из делимого мы получаем указанный табличный случай деления.
(45 — 3) : 7 = 42 : 7 = 6.
По результатам деления с остатком 45 : 7 = 6 (ост. 3) всегда можно получить соответствующий случай деления нацело. Например, при вычитании остатка (3) из делимого (45) получается число (42), которое делится нацело на делитель (7).

53

Ответы к стр. 53

152. Для того чтобы разделить с остатком число 67 на число 9, выбери сначала из следующей последовательности разностей ту, значение которой можно разделить на 9 нацело.
67 — 1 67 — 2 67 — 3 67 — 4
67 — 5 67 — 6 67 — 7 67 — 8
Вычисли значение выражения (67 — 4) : 9 и запиши соответствующее равенство. Назови числа, которые получаются при делении числа 67 на число 9. Какая из следующих записей будет являться записью деления с остатком числа 67 на число 9?
67 : 9 = 7 (ост. 4) 67 : 7 = 9 (ост. 4)

(67 – 4) : 9 = 63 : 9 = 7
Это число 7 и остаток 4, так как наибольшее число, которое делится нацело на число 9 и которое не превосходит число 67 — это число 63 (63 : 9 = 7). Можно сказать, что делитель (число 9) максимально содержится в делимом (числе 67) 7 раз, при этом в остатке остаётся ещё число 4 (67 – 63 = 4), значит 67 : 9 = 7 (ост. 4).
67 : 9 = 7 (ост. 4)

153. Можно ли разделить число 76 на число 9 нацело?
Перебирая числа в порядке убывания, начиная с числа 75, найди первое число которое можно разделить на 9 без остатка. Выполни это деление.
Какие числа получатся в результате деления с остатком числа 76 на число 9? Сделай полную запись деления с остатком числа 76 на число 9.

Нет.
Это число 72 — его можно разделить на число 9 без остатка, так как 9 • 8 = 72. 72 : 9 = 8.
Число 8 и остаток 4, так как наибольшее число, которое делится нацело на число 9 и которое не превосходит число 76, — это число 72 (72 : 9 = 8). Можно утверждать, что делитель (число 9) максимально содержится в делимом (числе 76) 8 раз, при этом в остатке остаётся ещё число 4 (76 – 72 = 4), значит 76 : 9 = 8 (ост. 4).

154. Выполни устно деление с остатком. Полученные результаты запиши.

76 : 8 = 9 (ост. 4)       59 : 6 = 9 (ост. 5)
67 : 9 = 7 (ост. 4)        50 : 7 = 7 (ост. 1)
44 : 5 = 8 (ост. 4)

155. Среди чисел 62, 61, 60, 59, 58, 57, 56, 55, 54, 53, 52, 51, 50 выбери то, которое делится нацело на 7. Выполни это деление. С помощью полученного результата раздели с остатком на 7 каждое из следующих чисел: 62, 61, 60, 59, 58, 57.

56 : 7 = 8
62 : 7 — делитель (число 7) содержится в делимом (число 62) 8 раз, так как 56 : 7 = 8.
Находим остаток: 62 – 56 = 6, значит 62 : 7 = 8 (ост. 6).
62 : 7 = 8 (ост. 6)      61 : 7 = 8 (ост. 5)     60 : 7 = 8 (ост. 4)
59 : 7 = 8 (ост. 3)     58 : 7 = 8 (ост. 2)      57 : 7 = 8 (ост. 1)

54

Ответы к стр. 54. Неполное частное и остаток

156. «Маша, а числа при делении с остатком тоже имеют свои названия?» — спросил Миша.
«Да. Они называются делимое, делитель, НЕПОЛНОЕ ЧАСТНОЕ и остаток», — ответила Маша.
Используя следующую запись деления с остатком и объяснение Маши, дай названия всем участвующим в этом делении числам.
58 : 8 = 7 (ост. 2)
Какие названия тебе уже хорошо знакомы? Какие названия являются новыми?
Попробуй объяснить смысл термина «неполное частное».

Делимое — 58, делитель — 8, неполное частное — 7, остаток — 2.
Знакомы: делимое, делитель, остаток. Новое — неполное частное.
«Неполное частное» — это число, показывающее какое максимальное количество раз, делитель содержится в делимом.

157. Выполни деление нацело и деление с остатком.
60 : 10 = и 63 : 10 =
Как получить делимое 60, используя значение частного и делитель? Запиши соответствующее выражение и его значение.
Как получить делимое 63, используя неполное частное, делитель и остаток? Запиши соответствующее выражение и его значение.

60 : 10 = 6 63 : 10 = 6 (ост. 3)
Если делитель умножить на значение частного, то получится делимое: 10 • 6 = 60.
Если делитель умножить на неполное частное и к полученному результату прибавить остаток, то получится делимое: 10 • 6 + 3 = 63.

158. Выполни деление с остатком.
55 : 7 = 63 : 8 = 80 : 9 = 95 : 10 = 46 : 15 =
Убедись, что во всех приведённых выше случаях выполняется правило.
Если делитель умножить на неполное частное и к полученному результату прибавить остаток, то в итоге получится делимое.
Может ли это правило нарушиться при правильном выполнении деления с остатком?
Запиши данное правило в виде равенства буквенных выражений, обозначив буквой α — делимое, буквой b — делитель, буквой с — неполное частное, буквой d — остаток.

55 : 7 = 7 (ост. 6)      7 • 7 + 6 = 55
63 : 8 = 7 (ост. 7)      8 • 7 + 7 = 63
80 : 9 = 8 (ост. 8)      9 • 8 + 8 = 80
95 : 10 = 9 (ост. 5)  10 • 9 + 5 = 95
46 : 15 = 3 (ост. 1)  15 • 3 + 1 = 46
При правильном выполнении деления с остатком всегда выполняется правило: если делитель умножить на неполное частное и к полученному результату прибавить остаток, то в итоге получится делимое.
b • c + d = α

55

Ответы к стр. 55

159. Проверь выполнимость правила из предыдущего задания для следующих двух записей:
69 : 4 = 17 (ост. 1) и 99 : 4 = 24 (ост. 3)

69 : 4 = 17 (ост. 1)       4 • 17 + 1 = 69
99 : 4 = 24 (ост. 3)       4 • 24 + 3 = 99

160. Из данных четырёх чисел: 12, 131, 11, 10 составь верную запись деления с остатком.
Можно ли в качестве делителя взять число 10? Почему?

131 : 12 = 10 (ост. 11)
В качестве делителя нельзя использовать числа 10 и 11, так как при делении с остатком остаток должен быть меньше делителя. Если же в качестве делителя использовать число 10 или 11, то остаток будет больше делителя.

161. Проверь справедливость следующего равенства.
224 = 15 • 14 + 14
Используя это равенство, составь верную запись деления с остатком для тех же чисел.

224 = 15 • 14 + 14
224 = 224 — равенство верно
224 : 15 = 14 (ост. 14)

162. Составь и запиши три случая деления с остатком, в каждом из которых делитель равен числу 7, а остаток — числу 5.

19 : 7 = 2 (ост. 5)
26 : 7 = 3 (ост. 5)
40 : 7 = 5 (ост. 5)

56

Ответы к стр. 56. Остаток и делитель

163. «Маша! Помнишь, мы делили конфеты «Ромашка»? — спросил Миша. — Дали всем по 2 конфеты и получили 3 конфеты в остатке? Но ведь мы поделить и по-другому. Мы могли дать каждому только по 1 конфете, и тогда у нас был бы другой остаток: не 3, а 9!»
«Это называется жадностью, а не делением с остатком!» — сказала Маша.
Маша объснила, что для правильного деления с остатком должно обязательно выполняться условие:
Остаток должен быть меньше делителя.
Раздели с остатком число 52 на число 7 и проверь выполнимость условия, о котором сказала Маша.

52 : 7 = 7 (ост. 3) — 7 > 3

164. Верно ли следующее равенство?
76 = 9 • 8 + 4
Используя это равенство, выполни деление с остатком числа 76 на число 9. Сделай соответствующую запись. Проверь выполнимость условия из задания 163.

76 = 9 • 8 + 4
76 = 76 — равенство верно
76 : 9 = 8 (ост. 4) — 9 > 4

165. Из следующих равенств выбери те, которые можно преобразовать в соответствующие случаи деления с остатком. Для каждого выбранного равенства запиши соответствующий случай деления с остатком.
57 = 9 • 6 + 3 82 = 9 • 9 + 1
69 = 8 • 7 + 13 95 = 10 • 9 + 5
Почему равенство 69 = 8 • 7 + 13 нельзя использовать для нахождения неполного частного и остатка?

В данных равенствах второе слагаемое должно быть меньше, чем каждый из множителей, что позволяет рассматривать один из множителей в роли делителя, а другой — в роли неполного частного. При этом второе слагаемое будет играть роль остатка, а число в левой части равенства роль делимого.
57 = 9 • 6 + 3          57 : 9 = 6 (ост. 3)
82 = 9 • 9 + 1          82 : 9 = 9 (ост. 1)
95 = 10 • 9 + 5        95 : 10 = 9 (ост. 5)
Равенство 69 = 8 • 7 + 13 нельзя использовать для нахождения неполного частного и остатка, так как остаток 13 больше, чем возможные делители 7 или 8, а это противоречит условию: остаток должен быть всегда меньше делителя.

57

Ответы к стр. 57

166. Можно ли с помощью равенства 58 = 10 • 5 + 8 разделить с остатком число 58 на число 10? Сделай соответствующую запись.
Можно ли с помощью равенства 58 = 10 • 5 + 8 разделить с остатком число 58 на число 5? Почему? Какое правило будет тогда нарушено?
Выполни и запиши деление с остатком числа 58 на число 5.

В данном равенстве второе слагаемое 8 меньше, чем первый множитель 10, что позволяет рассматривать этот множитель в роли делителя. Другой множитель 5 — в роли неполного частного. При этом второе слагаемое будет играть роль остатка, а число в левой части равенства роль делимого.
58 : 10 = 5 (ост. 8)
С помощью равенства 58 = 5 – 10 + 8 разделить число 58 на число 5 с остатком нельзя, так как остаток 8 больше, чем делитель 5, а это противоречит условию: остаток должен быть всегда меньше делителя.
58 : 5 = 11 (ост. 3)

167. Составь равенство, с помощью которого можно выполнить только один случай деления с остатком. Предложи соседу по парте зписать его.

69 = 8 • 8 + 5 — в данном равенстве множители одинаковые, поэтому можно записать только один случай деления с остатком: 69 : 8 = 8 (ост. 5)
32 = 9 • 3 + 5 — по данному равенству можно записать только один случай деления с остатком: 32 : 9 = 3 (ост. 5), если же записать другой возможный случай деления с остатком: 32 : 3 = 9 (ост. 5), то остаток 5 больше, чем делитель 3, а это противоречит условию: остаток должен быть всегда меньше делителя.

168. Может ли при делении на 9 в остатке получиться число 10? Почему?
Выпиши все остатки, которые могут получаться при делении на 9.
Какое из следующих двух равенств можно преобразовать в запись деления с остатком?
93 = 9 • 10 + 3 93 = 9 • 9 + 12

Нет, поскольку остаток должен быть всегда меньше делителя, а 10 больше 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
С помощью равенства 93 = 9 • 10 + 3 можно записать два случая деления с остатком, так как в данном равенстве второе слагаемое 3 меньше, чем каждый из множителей, что позволяет рассматривать один из множителей в роли делителя, а другой — в роли неполного частного. При этом второе слагаемое будет играть роль остатка, а число в левой части равенства роль делимого.
93 : 9 = 10 (ост. 3)
93 : 10 = 9 (ост. 3)
Равенство 93 = 9 • 9 + 12 нельзя преобразовать в запись деления с остатком, поскольку остаток 12 больше каждого из множителей.

169. Прочитай правило.
Остаток должен быть больше нуля или равен нулю, но меньше делителя.
На основании этого правила выпиши все остатки, которые могут получиться при делении на 2.
Какой остаток может получиться при делении на 1?
При делении на какое число могут получиться ровно семь различных остатков?

При делении на число 2 могут получиться остатки – 0 и 1.
При делении на число 1 – остаток 0.
При делении на число 7, так как количество остатков совпадает с делителем.

58

Ответы к стр. 58. Когда остаток равен 0

170. Используя следующее равенство, запиши соответствующий случай деления с остатком.
63 = 9 • 7 + 0
Чему равен остаток в этом случае? Будет ли он меньше делителя?
Когда остаток равен нулю, то принято считать, что одно число делится на другое без остатка, или делится нáцело.
Приведи пример двух чисел, которые делятся друг на друга без остатка. Могут ли быть эти числа разными?

63 : 9 = 7 (ост. 0) или 63 : 7 = 9 (ост. 0)
5 : 5 = 1 — то есть деленеие числа на само себя, поэтому разными они быть не могут.

171. Выполни деление с остатком для пар чисел:
59 на 10, 72 на 9, 45 на 15, 99 на 98, 37 : 1.
Подчеркни те случаи, в которых остаток равен 0. Какое другое название можно использовать для неполного частного, если остаток равен 0?

59 : 10 = 5 (ост. 9) 72 : 9 = 8 (ост. 0)
45 : 15 = 3 (ост. 0) 99 : 98 = 1 (ост. 1)
37 : 1 = 37 (ост. 0)
Частное.

172. Проверь правильность выполнения деления с остатком.
123 : 8 = 15 (ост. 3)
Учитывая полученный остаток, определи, какое ближайшее к числу 123 число делится на 8 без остатка.
Запиши следующее за числом 120 число, которое делится на 8 без остатка.

8 • 15 + 3 = 123
Необходимо вычесть из делимого остаток (123 — 3 = 120) или прибавить к делимому разность делителя и остатка (123 + (8 — 3) = 128). Таким образом, ближайшее число 120, следующее — 128.

59

Ответы к стр. 59

173. Запиши первые пять натуральных чисел, которые делятся на 2 без остатка.

2, 4, 6, 8, 10 — это чётные числа

174. В столовой испекли 93 блина. В каждой порции должно быть по 5 блинов. Какое самое маленькое число блинов может съесть сам повар, чтобы из всех оставшихся блинов можно было составить полные порции?

1) 93 : 5 = 18 (ост. 3)
2) 93 — (5 • 18) = 3 (б.)
Ответ: повар может съесть 3 блина.

175. Запиши по порядку первые пять натуральных чисел, которые делятся на 7 без остатка.
На какое число отличаются друг от друга соседние из полученных чисел?

7, 14, 21, 28, 35 — соседние числа отличаются на число 7

176. Запиши по порядку первые шесть натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 1.
Сравни их с числами из предыдущего задания.

8, 15, 22, 29, 36 — эти числа на 1 больше соответствующих чисел из предыдущего задания

177. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
В вазе лежит 25 одинаковых конфет. Какое самое большое число конфет Маша может взять из вазы для того, чтобы поровну угостить ими семерых одноклассников, которые к ней пришли в гости? Сколько ещё в этом случае конфет останется в вазе?

1) 25 : 7 = 3 (ост. 4)
2) 25 — 4 = 21 (к.) — можно взять
3) 25 — 21 = 4 (к.) — останется
Ответ: можно взять 21 конфету, останется ещё 4 конфеты.

178. Выпиши все числа, на которые число число 24 делится без остатка.

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

179. Какое наименьшее число нужно прибавить к числу 75, чтобы полученное в результате число делилось на число 9 без остатка? Как это число связано с остатком от деления числа 75 на число 9?

75 : 9 = 8 (ост. 3)
Необходимо прибавить к делимому разность делителя и остатка: 9 — 3 = 6.
(75 + 6) : 9 = 81 : 9 = 9 (ост. 0)
Это число больше остатка на разность делителя и остатка.

60

Ответы к стр. 60. Когда делимое меньше делителя

180. Проверь, правильно ли для данного равенства приведён соответствующий случай деления с остатком.
58 = 8 • 7 + 2 58 : 8 = 7 (ост. 2)
Для следующего равенства аналогично составь и запиши соответствующий случай деления с остатком.
12 = 15 • 0 + 12

Если делитель умножить на неполное частное и к полученному результату прибавить остаток, то получится делимое. Получается, что для первого выражения соответствующий случай деления с остатком приведён верно.
12 = 15 • 0 + 12 12 : 15 = 0 (ост. 12)
Если делитель меньше делителя, то неполное частное равно 0, а остаток – делимому, следовательно, деление меньшего числа на большее возможно.

181. Раздели с остатком на 10 последовательно следующие числа: 48, 38, 28, 18. Что общего во всех этих случаях деления и чем они отличаются?
Во всех случаях сравни остаток с числом в разряде единиц делимого, а неполное частное — с числом в разряде десятков делимого.
Какой должен быть остаток при делении числа 8 на число 10? Какое неполное частное должно получиться в этом случае деления с остатком?
Проверь, правильно ли выполнено деление с остатком: 8 : 10 = 0 (ост. 8).

48 : 10 = 4 (ост. 8)
38 : 10 = 3 (ост. 8)
28 : 10 = 2 (ост. 8)
18 : 10 = 1 (ост. 8)
Эти случаи деления похожи тем, что во всех случаях остаток равен 8, а отличаются неполными частными.
При делении на 10 остаток равен числу, стоящему в разряде единиц делимого: 48 : 10 = 4 (ост. 8), а неполное частное равно числу, стоящему в разряде десятков делимого: 48 : 10 = 4 (ост. 8).
Остаток равен числу, стоящему в разряде единиц делимого — это число 8, неполное частное равно числу, стоящему в разряде десятков делимого — это число 0 (поскольку делимое однозначное число): 8 : 10 = 0 (ост. 8)
8 : 10 = 0 (ост. 8) 8 = 10 • 0 + 8 — деление выполнено правильно.

182. Какому условию должны удовлетворять делимое и делитель для того, чтобы в результате деления с остатком неполное частное равнялось 0? Приведи три примера таких случаев деления с остатком.
Как в рассмотренных случаях остаток связан с делимым?

Чтобы в результате деления с остатком неполное частное равнялось 0, делимое должно быть меньше делителя.
4 : 5 = 0 (ост. 4), 74 : 90 = 0 (ост. 74), 10 : 20 = 0 (ост. 10)
Остаток равен делимому.

183. Составь и запиши три случая деления с остатком, в каждом из которых делимое равно остатку.

8 : 15 = 0 (ост. 8), 22 : 29 = 0 (ост. 22), 36 : 78 = 0 (ост. 36)

61

Ответы к стр. 61

184. Выполни деление с остатком в каждом из данных случаев.
9 : 10 = 12 : 24 = 1 : 100 = 364 : 387 = 1000 : 10000 =
Проверь правильность выполнения деления с помощью следующего правила.
Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то неполное частное равно 0, а остаток равен делимому.

9 : 10 = 0 (ост. 9)                   12 : 24 = 0 (ост. 12)
1 : 100 = 0 (ост. 100)             364 : 387 = 0 (ост. 364)
1000 : 10000 = 0 (ост. 1000)
В каждом из выполненных случаев деления делимое меньше делителя, неполное частное равно 0, а остаток равен делимому.

185. Приведи пример двух чисел, которые при делении на 56897 дают в остатке число 1.

56898 : 56897 = 1 (ост. 1)          1 : 56897 = 0 (ост. 1)

186. Приведи пример числа, которое при делении на 5, на 6, на 7, на 8, на 9 и на 10 даёт в остатке 4.

4 : 5 = 0 (ост. 4)       4 : 6 = 0 (ост. 4)         4 : 7 = 0 (ост. 4)
4 : 8 = 0 (ост. 4)       4 : 9 = 0 (ост. 4)         4 : 10 = 0 (ост. 4)

187. Найди число, которое при делении на любое двузначное число даёт в остатке 9.

9 : 10 = 0 (ост. 9)        9 : 99 = 0 (ост. 9)

188. Существует ли число, которое при делении на все натуральные числа, кроме числа 1, даёт в остатке число 1?

1 : 2 = 0 (ост. 1)          1 : 5000 = 0 (ост. 1)           1 : 430000 = 0 (ост. 1)

189. Какими могут быть делимое и делитель, если неполное частное равно 0, а остаток равен 5?

Делимое должно быть равно 5, а в качестве делителя можно брать любое натуральное число, которое больше 5.
5 : 6 = 0 (ост. 5), 5 : 90 = 0 (ост. 5), 5 : 2000 = 0 (ост. 5)

190. Выпиши все натуральные числа, при делении каждого из которых на число 10 в неполном частном получается число 0. Чему равен остаток в каждом таком случае?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Остаток равен делимому.

62

Ответы к стр. 62. Деление с остатком и вычитание

191. Сравни между собой записи из одного столбика.
41 : 19 = 2 (ост. 3) 56 : 17 = 3 (ост. 5)
41 — 19 — 19 = 3 56 — 17 — 17 — 17 = 5
Как с помощью вычитания найти остаток от деления одного числа на другое?
Обрати внимание на то, сколько раз делитель вычитали из делимого. В каждом из рассмотренных случаев сравни это число с неполным частным.

Чтобы найти остаток от деления одного числа на другое нужно вычесть делитель из делимого столько раз, сколько это возможно. Получившееся в результате последнего вычитания число и будет равно остатку. Если посчитать сколько раз делитель вычитали из делимого, то это число будет равно неполному частному.

192. Вычисли значение разности: 53 — 7 • 7.
Используя полученное равенство, запиши результат деления с остатком числа 53 на число 7.

53 — 7 • 7 = 53 — 49 = 4
53 : 7 = 7 (ост. 4)

193. Представь разность 69 — 6 в виде произведения двух множителей, один из которых равен 9. Используя полученное равенство, запиши результат деления с остатком числа 69 на число 9 и на число 7.

69 — 6 = 63 9 • 7 = 63
69 — 6 = 9 • 7
69 : 7 = 9 (ост. 6)
69 : 9 = 7 (ост. 6)

194. На овощной базе 1 ц 50 кг картофеля упаковали в мешки по 35 кг в каждом. Сколько полных мешков получилось и сколько килограммов картофеля при этом ещё осталось?
Запиши решение задачи с помощью деления с остатком. Вычисли ответ задачи с помощью вычитания.

1 ц 50 кг = 150 кг
1) 150 : 35 = 4 (ост. 10)
2) 150 — 35 — 35 — 35 — 35 = 10 (кг)
Ответ: 4 мешка и 10 кг картофеля осталось.

195. Выполни деление с остатком для следующих пар чисел с помощью вычитания.
387 : 350 =            927 : 291 =              1003 : 250 =

387 – 350 = 37,     387 : 350 = 1 (ост. 37)
927 – 291 – 291 – 291 = 54,       927 : 291 = 3 (ост. 54)
1003 – 250 – 250 – 250 – 250 = 3,   1003 : 250 = 4 (ост. 3)

63

Ответы к стр. 63. Какой остаток может получиться при делении на 2?

196. Некоторое натуральное число разделили на 2 с остатком. Какой остаток мог получиться? Приведите в качестве примера пять чисел, которые при делении на 2 дают в остатке число 1. Запомните: такие числа называются НЕЧЁТНЫМИ.
Приведите в качестве примера пять чисел, которые делятся на 2 нáцело. Запомните: такие числа называются ЧЁТНЫМИ.
Могут ли при делении с остатком на 2 получиться в остатке другие числа, кроме чисел 0 и 1? Почему?
Может ли натуральное число не быть чётным и не быть нечётным?

В остатке могли получиться числа 0 или 1.
3, 5, 7, 9, 11 — нечётные числа.
2, 4, 6, 8, 10 — чётные числа.
Не могут, потому что остаток всегда должен быть меньше делителя.
Натуральное число может быть либо чётным, либо нечётным. При делении числа 0 на 2, получается число 0 без всякого остатка. По определению, если число делится на 2 без остатка, оно является чётным. Число 0 относится к чётным числам, хотя и не принадлежит к числам натурального ряда, который начинается с 1.

197. Запиши по порядку первые двадцать натуральных чисел. Подчеркни одной чертой нечётные числа. Какие числа остались неподчёркнутыми? Как располагаются в натуральном ряду чётные и нечётные числа? Запиши двадцатое по порядку нечётное число.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Неподчёркнутыми остались чётные числа.
Они чередуются по порядку — ряд начинается с нечётного числа, за ним идёт чётное, потом опять нечётное и так далее.
Для того, чтобы узнать, какое нечётное число в ряду нечётных чисел стоит на 20-ом месте, надо этот номер увеличить в 2 раза и вычесть число 1: 20 • 2 — 1 = 39.

198. Назови самое маленькое нечётное натуральное число. Существует ли самое большое нечётное натуральное число?

Самое маленькое нечётное натуральное число — 1.
Самого большого нечётного натурального числа не существует, поскольку ряд чисел бесконечен.

199. Какой остаток получится при делении числа 0 на 2? Выполни соответствующую запись.
Число 0 относят к чётным числам.
Назови самое маленькое чётное натуральное число. Существует ли самое большое чётное число? Почему?

0 : 2 = 0 (ост. 0)
Самое маленькое чётное натуральное число — 2.
Самого большого чётного числа не существует, поскольку ряд чисел бесконечен.

64

Ответы к стр. 64

200. Человек стоит в начале улицы и видит: по левой её стороне расположены дома с нечётными номерами, а по правой — с чётными. По какой стороне улицы он пойдёт, чтобы прийти к дому №19, и каким по счёту будет этот дом среди домов этой стороны улицы?
Каким по счёту среди домов правой стороны улицы будет дом №16?

Человек пойдёт по левой стороне улицы, так как дома с нечётными номерами расположены на левой стороне, начиная с числа 1.
Если к нечётному числу прибавить 1 и результат разделить на 2, то получится номер, который это число занимает в ряду нечётных чисел: (19 + 1) : 2 = 10.
Если к чётное число разделить на 2, то получится номер, который это число занимает в ряду чётных чисел: 16 : 2 = 8.

201. Какое число получится: чётное или нечётное, если складывать чётные числа? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

При сложении чётных чисел результат всегда будет чётным числом.
24 + 28 = 52, 14 + 102 = 116, 8 + 18 = 26

202. Какое число получится: чётное или нечётное, если складывать нечётные числа? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

При сложении нечётных чисел результат всегда будет чётным числом.
17 + 15 = 32, 17 + 57 = 74, 31 + 19 = 50

203. Какое число получится: чётное или нечётное, если складывать чётное число с нечётным? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.
Изменится ли ответ, если складывать нечётное число с чётным? Почему?

При сложении чётного числа с нечётным результат всегда будет нечётным числом.
12 + 17 = 29, 16 + 29 = 45, 24 + 15 = 39
Нет, согласно переместительному свойству сложения.

204. Какое число получится: чётное или нечётное, если умножать чётные числа? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

При умножении чётных чисел результат всегда будет чётным числом.
4 • 6 = 24, 8 • 10 = 80, 14 • 6 = 84

205. Какое число получится: чётное или нечётное, если умножать нечётные числа? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

При умножении нечётных чисел результат всегда будет нечётным числом.
3 • 5 = 15, 9 • 11 = 99, 13 • 3 = 39

65

Ответы к стр. 65

206. Какое число получится: чётное или нечётное, если умножать чётное число на нечётное? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.
Изменится ли ответ, если нечётное число умножать на чётное? Почему?

При умножении чётного числа на нечётное результат всегда будет чётным числом.
2 • 5 = 10, 4 • 13 = 52, 2 • 35 = 70
Нет, согласно переместительному свойству умножения.

207. Какое число получится: чётное или нечётное, если из чётного числа вычитать чётное число? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

Если из чётного числа вычитать чётное число, то результат всегда будет чётным числом.
28 – 14 = 14, 40 – 28 = 22, 100 – 68 = 32

208. Какое число получится: чётное или нечётное, если из нечётного числа вычитать нечётное число? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

Если из нечётного числа вычитать нечётное число, то результат всегда будет чётным числом.
35 – 15 = 20, 51 – 25 = 26, 99 – 63 = 36

209. Какое число получится: чётное или нечётное, если из чётного числа вычитать нечётное число? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

Если из чётного числа вычитать нечётное число, то результат всегда будет нечётным числом.
30 – 15 = 15, 66 – 13 = 53, 84 – 33 = 51

210. Какое число получится: чётное или нечётное, если из нечётного числа вычитать чётное число? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

Если из нечётного числа вычитать чётное число, то результат всегда будет нечётным числом.
33 – 10 = 13, 65 – 14 = 51, 89 – 38 = 51

211. Какое число получится: чётное или нечётное, если чётное число делить на чётное число, при условии, что выполнено деление нацело? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение. Выполни деление числа 24 на 2, 4 и 8.

При делении чётного числа на чётное число результат может быть как четным, так и нечётным числом.
24 : 2 = 12, 24 : 4 = 6, 24 : 8 = 3

66

Ответы к стр. 66

212. Какое число получится: чётное или нечётное, если нечётное число делить на нечётное число, при условии, что выполнено деление нацело? Приведи три примера, подтверждающих твоё предположение.

При делении нечётного числа на нечётное число результат всегда будет нечётным числом.
45 : 5 = 9 55 : 11 = 5 63 : 7 = 9

213. Какое число получится: чётное или нечётное, если чётное число делить на нечётное число, при условии, что выполнено деление нацело? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение. Обсуди результат с соседом по парте.

При делении чётного числа на нечётное число результат всегда будет чётным числом.
54 : 9 = 6 50 : 5 = 10 96 : 3 = 32

214. Можешь ли ты привести пример такого случая деления, когда нечётное число делится нацело на чётное число? Почему? Вспомни, как можно получить делимое из делителя и значения частного.

Делимое можно получить, умножив делитель на значение частного. По условию делитель является чётным числом. Мы знаем, что если чётное число умножить на чётное или нечётное число, то результатом будет всегда чётное число. В нашем же случае делимое должно быть нечётным числом. Это означает, что никакое значение частного в этом случае подобрать нельзя и привести пример такого случая деления невозможно.

215. Представь число 2873 в виде суммы круглых десятков и однозначного числа. Чётным или нечётным числом является каждое из слагаемых? Чётным или нечётным числом будет значение их суммы? На какую цифру может оканчиваться запись чётного числа? А нечётного?

2873 = 2870 + 3
Первое слагаемое – чётное число, второе слагаемое – нечётное число.
2873 – нечётное число.
Нечётное число 2873 заканчивается на нечётную цифру 3, запись чётного числа 2870 — на чётную цифру 0.
Запись чётного числа может оканчиваться чётными цифрами (0, 2, 4, 6, 8), а запись нечётного числа — нечётными числами (1, 3, 5, 7, 9).

216. Выпиши чётные числа в один столбик, а нечётные — в другой.

2844          57893
67586        9231
10050         9929

217. Сколько существует чётных двузначных натуральных чисел? А сколько таких же нечётных чисел?

Самое маленькое двузначное чётное число 10, а самое большое – нечётное число 99. Всего их 99 – 10 + 1 = 90. Чётные и нечётные числа в натуральном ряду чередуются, поэтому чётных двузначных чисел столько же сколько и нечётных, то есть 45, поскольку 90 : 2 = 45.

218. Запиши самое большое чётное шестизначное число.

Самое большое шестизначное число — 999999. Это число нечётное. Предшествующее число – 999998 – число чётное. Оно самое большое в ряду шестизначных чисел.

67

Ответы к стр. 67. Поупражняемся в вычислениях и повторим пройденное

219. Продолжи в тетради заполнение следующей таблицы значениями выражений 2n и 2n + 1 при различных значениях переменных n.

n 2n 2n + 1
0 0     1
1 2     3
2 4     5
3 6     7
4 8     9
5 10  11
Какими числами будут выражены значения формулы 2n?
Какими числами будут выражены знпчения формулы 2n + 1?

Значения формулы 2n — чётные числа.
Значения формулы 2n + 1 — нечётные числа.

220. В доме на каждом этаже по 4 квартиры. С помощью какого действия можно узнать, на каком этаже расположена квартира №29? Сделай это, выполнив деление с остатком.
Как связано искомое число с полученным неполным частным?
Проведи такие же вычисления для квартиры №32.

При помощи действия деления.
29 : 4 = 7 (ост. 1)
Получается, что на седьмом этаже расположена квартира №28 (7 • 4 = 28), а квартира №29 будет расположена на восьмом этаже: 28 + 1 = 29, 7 + 1 = 8.
32 : 4 = 8
Квартира №32 расположена тоже на восьмом этаже.

68

Ответы к стр. 68

221. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Книга дороже тетради в 5 раз. За книгу и тетрадь заплатили 120 руб. Сколько всего нужно заплатить за 4 такие тетради и 2 такие книги?

1) 1 + 5 = 6 (ч.) — всего
2) 120 : 6 = 20 (руб.) — цена тетради
3) 20 • 5 = 100 (руб.) или 120 — 20 = 100 (руб.) — цена книги
4) 20 • 4 + 2 • 100 = 280 (руб.) — стоимость покупки
Ответ: стоимость покупки будет 280 рублей.

222. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Книга дороже тетради на 80 руб. За книгу и тетрадь заплатили 120 руб. Сколько нужно заплатить за 5 таких тетради и 3 такие книги?

1) 120 — 80 = 40 (руб.) — поровну
2) 40 : 2 = 20 (руб.) — цена тетради
3) 20 + 80 = 100 (руб.) — цена книги
4) 20 • 5 + 100 • 3 = 400 (руб.) — стоимость покупки
Ответ: стоимость покупки 400 рублей.

223. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Книга дороже тетради в 5 раз. За книгу заплатили на 80 руб. больше, чем за тетрадь. Сколько нужно заплатить за 3 такие тетради и 2 такие книги вместе?

1) 5 — 1 = 4 (ч.) — больше
2) 80 : 4 = 20 (руб.) — цена тетради
3) 20 • 5 = 100 (руб.) — цена книги
4) 20 • 3 + 100 • 2 = 260 (руб.) — стоимость покупки
Ответ: стоимость покупки 260 руб.

224. Не вычисляя значений следующих выражений, выпиши те выражения, значения которых при делении на 2 дают в остатке 1.
2573 + 48686 6549 — 3582 1237 • 468
1735 + 6319 4327 — 1633 357 • 985
89232 + 436 1968 — 246 342 • 518

2573 + 48686       6549 — 3582          357 • 985

225. Запиши самое маленькое нечётное шестизначное число.

100001

69

Ответы к стр. 69. Запись деления с остатком столбиком

226. «Маша, я умею записывать столбиком сложение, вычитание А можно деление записать столбиком?» — спросил Миша.
«Можно», — ответила Маша и показала Мише два варианта записи для одного случая деления с остатком.
25 : 8 = 3 (ост. 1) — 25 |8
24 |3
1 — ост.
Какой знак обозначает деление при записи в столбик?
Объясни, где записываются делимое, делитель и неполное частное при записи столбиком.
Как получилось число 24 и где оно записано? При записи каких чисел важно соблюдать основной принцип записи столбиком, когда разряд записывается под соответствующим разрядом?
С помощью какого действия вычислили остаток?

Знак, который обозначает деление при записи в столбик, похож на развёрнутую влево букву Т. Делимое записывается слева от вертикальной черты, делитель — справа от вертикальной черты, над горизонтальной чертой, неполное частное — справа от вертикальной черты, под горизонтальной чертой.
Число 24 — это результат умножения неполного частного на делитель, то есть 3 • 8 = 24. Оно записывается строго под делимым в соответствующие разряды.
При записи результата умножения неполного частного на делитель важно соблюдать основной принцип записи столбиком: каждый разряд записывается под соответствующими разрядами делимого — тогда выполняя действие вычитания, не будет ошибки с остатком.
Остаток вычислили с помощью действия вычитания.

227. Запиши следующие случаи деления с остатком, используя запись столбиком.
47 : 8 = 5 (ост. 7) 86 : 9 = 9 (ост. 5) 97 : 6 = 16 (ост. 1)

_47 |8 _86 |9   _97 |6  
  40 |5   81 |9     6   |16
    7-ост. 5-ост. _37
                           36
                             1-ост.

228. Запиши следующие случаи деления с остатком, используя запись в строчку.
_39 |7  _ 73 |9 _65 |10 _99 |16
  35 |5     72 |8   60 |6     96 |6
    4-ост.   1-ост.  5-ост.    3-ост.

39 : 7 = 5 (ост. 4)
73 : 9 = 8 (ост. 1)
65 : 10 = 6 (ост. 5)
99 : 16 = 6 (ост. 3)

70

Ответы к стр. 70. Способ поразрядного нахождения результата деления

229. Мама купила 46 куриных яиц (4 десятка и ещё 6 штук). Половину она решила отнести бабушке. Для этого она сначала отложила по 2 десятка себе и бабушке. Затем оставшиеся 6 яиц она разделила пополам. В итоге в каждой из двух равных частей получилось по 2 десятка яиц и ещё по 3 штуки, то есть по 23 штуки.
Для решения этой задачи маме пришлось выполнить следующие действия.
1) 4 дес. : 2 = 2 (дес.)
2) 6 : 2 = 3 (шт.)
3) 2 дес. + 3 = 23 (шт.)

Такой способ деления называется способом поразрядного нахождения результата деления: сначала выполняется деление в разряде десятков, затем в разряде единиц, а полученные результаты деления складываются.
1) 4 дес. : 2 = 2 (дес.) – число десятков разделили на число 2 нацело;
2) 6 : 2 = 3 (шт.) – число единиц разделили на число 2 нацело;
3) 2 дес. + 3 = 23 (шт.) – выполнили сложение результатов деления в разряде десятков и в разряде единиц.

230. Используя решение предыдущей задачи, выполни деление числа 96 на число 3 по действиям. Для этого разложи делимое на разрядные слагаемые. Затем раздели число десятков делимого на число 3 нацело. Потом раздели количество единиц делимого на число 3. Полученные значения частных сложи.

1) Разложи делимое на разрядные слагаемые: 96 = 90 + 6;
2) Раздели число десятков делимого на число 3 нацело: 9 дес. : 3 = 3 (дес.);
3) Раздели количество единиц делимого на число 3: 6 : 3 = 2;
4) Сложи полученные значения частных: 3 дес. + 2 = 32.

231. Мама купила 56 куриных яиц (5 десятков и ещё 6 штук). Половину она решила отнести бабушке. Для этого она сначала отложила по 2 десятка себе и бабушке. Затем оставшийся 1 десяток и ещё 6 яиц, то есть 16 яиц, разделила пополам. В итоге в каждой из двух равных частей получилось по 2 десятка яиц и ещё по 8 штук, то есть по 28 штук.
Для решения этой задачи маме пришлось выполнить следующие действия.
1) 5 дес. : 2 = 2 (ост. 1 дес.)
2) 1 дес. + 6 = 16 (шт.)
3) 16 : 2 = 8 (шт.)
3) 2 дес. + 8 = 28 (шт.)

Результат деления нашли по алгоритму:
— сначала выполнили деление в разряде десятков;
— остаток от деления десятков сложили с числом единиц делимого и выполнили деление.
1) 5 дес. : 2 = 2 дес.(ост. 1 дес.) – число десятков разделили на число 2, в результате получили остаток, равный 1 дес.;
2) 1 дес. + 6 = 16 (шт.) – это число оставшихся яиц;
3) 16 : 2 = 8 (шт.) — число оставшихся яиц разделили на число 2 нацело;
4) 2 дес. + 8 = 28 (шт.) – выполнили сложение результатов деления в разряде десятков и в разряде единиц.

71

Ответы к стр. 71

232. Используя решение предыдущей задачи, выполни деление числа 86 на число 3 по действиям. Не забудь сложить остаток от деления десятков с числом единиц делимого.

1) 8 дес. : 3 = 2 дес. (ост. 2 дес.)
2) 2 дес. + 6 = 26
3) 26 : 3 = 8 (ост. 2)
4) 2 дес. + 8 (ост. 2) = 28 (ост. 2 шт.)

233. Сравни решение задач 230 и 232. С каким разрядом делимого выполнялось первое действие: с разрядом десятков или с разрядом единиц? В какой из задач в первом действии получился остаток? В решении какой задачи получилось больше действий? Почему?
Способ деления, при котором делимое раскладывают на разрядные слагаемые, — это СПОСОБ ПОРАЗРЯДНОГО НАХОЖДЕНИЯ результата.

С каким разрядом делимого выполнялось первое действие: с разрядом десятков или с разрядом единиц — с разрядом десятков. В каком случае в первом действии получился остаток — во втором случае. В каком случае получилось больше действий и почему — во втором случае, так как в разряде десятков при делении получили остаток, который необходимо было сложить с числом единиц делимого.
В обоих случаях использовали способ поразрядного нахождения результата деления.

234. Используя способ поразрядного нахождения результата деления, определи в частном цифру в разряде десятков.
70 : 2 92 : 3 70 : 5 82 : 4 101 : 2

Для того, чтобы получить цифру в разряде десятков значения частного нужно выполнить первый шаг алгоритма поразрядного способа нахождения результата деления: разделить число десятков делимого на делитель.
7 дес. : 2 = 3 (ост. 1 дес.) — в разряде десятков значения частного 70 : 2 будет стоять цифра 3;
9 дес. : 3 = 3 (ост. 0 дес.) — в разряде десятков значения частного 90 : 3 будет стоять цифра 3;
7 дес. : 5 = 1 (ост. 2 дес.) — в разряде десятков значения частного 70 : 5 будет стоять цифра 1;
8 дес. : 4 = 2 (ост. 0 дес.) — в разряде десятков значения частного 80 : 4 будет стоять цифра 2;
10 дес. : 2 = 5 (ост. 0 дес.) — в разряде десятков значения частного 100 : 2 будет стоять цифра 5.

235. Используя записанные ниже случаи деления, найди значение частного 96 : 4.
9 : 4 = 2 (ост. 1) и 16 : 4 = 4
Вычисли значение частного 96 : 4 по действиям.

1) 9 дес. : 4 = 2 дес. (ост. 1 дес.)
2) 1 дес. + 6 = 16
3) 16 : 4 = 4
4) 2 дес. + 4 = 24, значит 96 : 4 = 24.

72

Ответы к стр. 72

236. Для данных пар чисел выполни деление с остатком способом поразрядного нахождения результата деления. Запиши решение по действиям.
84 и 7 46 и 5 62 и 2 75 и 3 100 и 7
Теперь перепиши эти же случаи деления, используя запись столбиком.
Обведи те записи, где при делении числа десятков делимого получислся остаток.

84 : 7
1) 8 дес. : 7 = 1 дес. (ост. 1 дес.)
2) 1 дес. + 4 = 14
3) 14 : 7 = 2
4) 1 дес. + 2 = 12, значит 84 : 7 = 12.

46 : 5
1) 4 дес. : 5 = 0 дес. (ост. 4 дес.)
2) 4 дес. + 6 = 46
3) 46 : 5 = 9 (ост. 1), значит 46 : 5 = 9 (ост. 1).

62 : 2
1) 6 дес. : 2 = 3 дес.
2) 2 : 2 = 1
3) 3 дес. + 1 = 31, значит 62 : 2 = 31.

75 : 3
1) 7 дес. : 3 = 2 дес. (ост. 1 дес.)
2) 1 дес. + 5 = 15
3) 15 : 3 = 5
4) 2 дес. + 5 = 25, значит 75 : 3 = 25.

100 : 7
1) 10 дес. : 7 = 1 дес. (ост. 3 дес.)
2) 3 дес. : 7 = 30 : 7 = 4 (ост. 2)
3) 1 дес. + 4 (ост. 2) = 14 (ост. 2), значит 100 : 7 = 14 (ост. 2).

_84 |7   _46 |5    _62 |2  
  7   |12   45 |9      6   |31
_14           1-ост. _02
  14                         2
    0                         0

_75 |3     _100|7  
  6   |25      7   |14
_15         _ 30
  15            28
    0              2-ост.

Остаток в десятках получился при делении 84 : 7, 75 : 3, 100 : 7.

237. Для каждой записи деления столбиком выполни запись деления в строчку по действиям.

_75 |5  _72 |4 _ 81 |3 
  5   |15  4 | 18   6   |27
_25    _ 32      _ 21
  25       32         21
    0         0           0

75 : 5
1) 7 дес. : 5 = 1 дес. (ост. 2 дес.)
2) 2 дес. + 5 = 25
3) 25 : 5 = 5
4) 1 дес. + 5 = 15 (ост. 0)

72 : 4
1) 7 дес. : 4 = 1 дес. (ост. 3 дес.)
2) 3 дес. + 2 = 32
3) 32 : 4 = 8
4) 1 дес. + 8 = 18 (ост. 0)

81 : 3
1) 8дес. : 3 = 2 дес. (ост. 2 дес.)
2) 2 дес. + 1 = 21
3) 21 : 3 = 7
4) 2 дес. + 7 = 27 (ост. 0)

238. Выполни деление с остатком чисел 77, 66, 55, 44 на число 6 по действиям. Затем для каждого случая деления выполни запись столбиком. Подчеркни случай деления нацело. Какой остаток получается в этом случае?

77 : 6
1) 7 дес. : 6 = 1 дес. (ост. 1 дес.)
2) 1 дес. + 7 = 17
3) 17 : 6 = 2 (ост. 5), значит 77 : 6 = 12 (ост. 5).

66 : 6
1) 6 дес. : 6 = 1 дес.
2) 6 : 6 = 1
3) 1 дес. + 1 = 11, значит 66 : 6 = 11.

55 : 6
1) 5 дес. : 6 = 0 дес. (ост. 5 дес.)
2) 5 дес. + 5 = 55
3) 55 : 6 = 9 (ост. 1), значит 55 : 6 = 9 (ост. 1).

44 : 6
1) 4 дес. : 6 = 0 дес. (ост. 4 дес.)
2) 4 дес. + 4 = 44
3) 44 : 6 = 7 (ост. 2), значит 44 : 6 = 7 (ост. 2)

_77 |6   _66 |6 
  6   |12   6   |11
_17       _ 6
  12          6
    5-ост.   0

_55 |6   _44|6
  54 |9     42|7
    1-ост.   2-ост.

Случай деления нацело: 66 : 6, остаток равен 0.

239. По данной записи деления с остатком столбиком назови делимое, делитель, неполное частное и остаток.

_87 |21
  84 |4
    3

Делимое — 87, делитель — 21, неполное частное — 4, остаток — 3.

73

Ответы к стр. 73. Поупражняемся в делении столбиком

240. Выполни деление столбиком для следующих пар чисел.
72 на 6 85 на 5 58 на 2 92 на 4

_72 |6   _85 |5  
  6   |12   5   |17
_12      _35
  12        35
   0          0

_58 |2    _ 92 |4  
  4   |29     8   |23
_18        _12
  18          12
    0           0

241. Сколько получится пучков моркови, если 65 морковок связать в пучки по 5 штук?
Реши задачу. При вычислении ответа выполни деление столбиком.

_65 |5   
  5   |13
_15
  15
    0
Ответ: получится 13 пучков моркови.

242. Восстанови в записи деления столбиком пропущенные цифры, которые обозначены знаком *.

_74 |2   
  6   |37
_14
  14
    0

243. Запиши решение данной задачи в виде одного выражения. При вычислении ответа задачи деление выполни столбиком.
Муку из двух мешков, в каждом из которых было по 45 кг, расфасовали в пакеты по 2 кг. Сколько пакетов с мукой получилось?

(45 + 45) : 2 = 90 : 2 = 45 (п.)
_90 |2  
  8   |45
_10
  10
    0
Ответ: получилось 45 пакетов с мукой.

244. Выполни деление столбиком числа 117 на число 9, используя данные случаи деления с остатком.
11 : 9 = 1 (ост. 2)               27 : 9 = 3 (ост. 0)

_117 |9
    9   |13
  _27
    27
     0

74

Ответы к стр. 74

245. Сравни данные записи деления столбиком и умножения столбиком.
_76 |4     × 4
  4   |19    19
_36        +36
  36          4   
    0          76
Можно ли было до выполнения умножения утверждать, что в результате получится число 76? Почему?
Есть ли в записи деления числа, которые соответственно являются результатом умножения числа 4 на 1 десяток и числа 4 на 9 единиц? Укажи их.

_76 |4  
  4   |19
_36
  36
    0
Можно, поскольку при умножении делителя на частное получается делимое.
Эти числа выделены: 4 — при умножении числа 4 на 1 десяток, 36 — при умножении числа 4 на 9 единиц.

246. Используя следующие случаи деления с остатком, выполни деление числа 858 на число 3.
8 : 3 = 2 (ост. 2) 25 : 3 = 8 (ост. 1) 18 : 3 = 6 (ост. 0)
Можно ли из полученных результатов деления с остатком получить неполное частное при делении числа 858 на число 3? Покажи, как это сделать.
Сравни данные записи деления с остатком в строчку со следующей записью деления столбиком.
_858 |3    
  6     |286
_25
  24
 _18
   18
     0

858 : 3
1) 80 дес. : 3 = 20 дес. (ост. 20 дес.)
2) 20 дес. + 5 дес.= 25 дес.
3) 25 дес. : 3 = 8 дес. (ост. 1 дес.)
4) 1 дес. + 8 = 18
5) 18 : 3 = 6 (ост. 0), значит 858 : 3 = 20 дес. + 8 дес. + 6 = 286.
Результат деления с остатком в строчку совпадает с результатом деления в столбик.

75

Ответы к стр. 75. Вычисления с помощью калькулятора

247. Вычисли значение следующего выражения, записывая в тетради промежуточные результаты после каждого выполнения сложения.
23 + 23 + 23 + 23 + 23
А теперь выполни на калькуляторе следующую последовательность нажатий клавиш и запиши результаты, которые получаются после каждого нажатия клавиши =.
[2] [3] [+] [2] [3] [=] [=] [=] [=]
Сравни полученные результаты в первом и во втором случаях. Можно ли утверждать, что во втором случае мы также вычислили значение выражения 23 + 23 + 23 + 23 + 23? Этот способ вычисления мы будем называть сокращённым.

23 + 23 = 46, 46 + 23 = 69, 69 + 23 = 92, 92 + 23 = 115
[2][3][+][2][3][=] 46, [=] 69, [=] 92, [=] 115
И в первом и во втором случае получилось число 115, следовательно в обоих случаях было вычислено выражение 23 + 23 + 23 + 23 + 23.

248. Вычисли значение следующего выражения, записывая в тетради промежуточные результаты после каждого выполнения умножения.
5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5
А теперь выполни на калькуляторе следующую последовательность нажатий клавиш и запиши результаты, которые получаются после каждого нажатия клавиши =.
[5] [×] [5] [=] [=] [=] [=]
Сравни полученные результаты в первом и во втором случаях. Можно ли утверждать, что во втором случае мы также вычислили значение выражения 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5? Этот способ вычисления мы будем называть сокращённым.

5 • 5 = 25, 25 • 5 = 125, 125 • 5 = 625, 625 • 5 = 3125, 3125 • 5 = 15625
[5][×][5][=] 25, [=] 125, [=] 625, [=] 3125
Значения при вычислении в тетради и на калькуляторе получились разные, причём во втором случае вычислено значение выражения 5 • 5 • 5 • 5 • 5. Для вычисления значения выражения на калькуляторе клавишу = нужно нажать столько раз, сколько знаков действия в выражении: для выражения 5 • 5 • 5 • 5 • 5 — 4 раза, для выражения 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 — 5 раз.

76

Ответы к стр. 76

249. Вычисли сокращённым способом значения следующих выражений.
47 + 47 + 47 + 47 + 47 + 47 9 • 9 • 9 • 9 • 9
Проверь правильность выполненных вычислений в первом случае с помощью умножения, а во втором — с помощью деления.

[4][7][+][4][7][=] 94, [=] 141, [=] 188, [=] 235, [=] 282
47 • 6 = 282
[9][×][9][=] 81, [=] 729, [=] 6561, [=] 59049
_59049 |6561
  59049 |9
          0

250. Восстанови пропущенные цифры, обозначенные знаком *.

×  867
      46
+5202
3468  
39882

251. Вычисли значения следующих выражений, используя возможность запоминания промежуточного результата с помощью клавиши М+ и воспроизведения этого результата с помощью клавиши MR.
а) (26154 + 45927) : (869753 — 869744),
б) (6783 + 2719) • (987654 — 987637),
в) (539671 — 539328) • (42763 — 42725),
г) (35352 + 27927) : (98754 — 98745),
д) (4123 + 5813) : (76935 — 76917).

а) [8][6][9][7][5][3][-][8][6][9][7][4][4][=][М+][2][6][1][5][4][+][4][5][9][2][7][=][÷][MR][=][8][0][0][9]
б) [9][8][7][6][5][4][-][9][8][7][6][3][7][=][М+][6][7][8][3][+][2][7][1][9][=][×][MR][=][1][6][1][5][3][4]
в) [4][2][7][6][3][-][4][2][7][2][5][=][М+][5][3][9][6][7][1][-][5][3][9][3][2][8][=][×][MR][=][1][3][0][3][4]
г) [9][8][7][5][4][-][9][8][7][4][5][=][М+][3][5][3][5][2][+][2][7][9][2][7][=][÷][MR][=][7][0][3][1]
д) [7][6][9][3][5][-][7][6][9][1][7][=][М+][4][1][2][3][+][5][8][1][3][=][÷][MR][=][5][5][2]

252. Запиши выражение, значение которого будет вычислено в результате нажатия на калькуляторе клавиш в следующей последовательности.
[2][5][3][6][+][3][2][6][7][=][М+][4][8][9][7][-][4][8][8][2][=][×][MR][=]

(4897 — 4882) • (2536 + 3267) = 87045

77

Ответы к стр. 77. Час, минута и секунда

253. «Маша, я обратил внимание, что на некоторых часа кроме часовой и минутной стрелок есть ещё одна стрелка. Для чего она нужна?» — спросил Миша.
«Эта стрелка отсчитывает СЕКУНДЫ. Поэтому она называется секундной. Когда секнудная стрелка делает полный оборот, проходя все 60 делений, минутная стрелка сдвигается только на 1 деление», — ответила Маша.
Как связаны минуты и секунды? Объясни следующее соотношение.
1 мин = 60 с

Когда секундная стрелка делает полный оборот, проходя 60 делений, минутная стрелка сдвигается на одно деление, показывая, что прошла минута. Таким образом, в одной минуте 60 секунд.

254. Вырази в секундах.

2 мин = 1 мин • 2 = 60 с • 2 = 120 с
5 мин = 1 мин • 5 = 60 с • 5 = 300 с
10 мин = 1 мин • 10 = 60 с • 10 = 600 с
30 мин = 1 мин • 30 = 60 с • 30 = 1800 с
60 мин = 1 мин • 60 = 60 с • 60 = 3600 с

255. Сколько минут в 1 ч? Сколько секнунд в 1 мин? Сколько секунд в 60 мин? Сколько секунд в 1 ч?
Объясни следующее соотношение.
1 ч = 3600 с

В 1 часе 60 минут, то есть 1 ч = 60 мин. В 1 минуте 60 секунд, то есть 1 мин = 60 с. 1 ч = 60 мин = 1 мин • 60 = 60 с • 60 с = 3600 с.
В 1 часе 3600 секунд.

256. Вырази в секундах.

2 ч = 1 ч • 2 = 3600 с • 2 = 7200 с
10 ч = 1 ч • 10 = 3600 с • 10 = 36000 с
1 ч 1 мин = 1 ч + 1 мин = 3600 с + 60 с = 3660 с
1 ч 10 мин = 1 ч + 10 мин = 3600 с + 1 мин • 10 = 3600 с + 60 с • 10 = 3600 с + 600 с = 4200 с
10 ч 10 мин = 10 ч + 10 мин = 1 ч • 10 + 1 мин • 10 = 3600 с • 10 + 60 с • 10 = 36000 с + 600 с = 36600 с

257. Урок длится 45 мин, а перемена 15 мин. Сколько секунд длится урок вместе с переменой?

Задачу можно решить двумя способами.
1-й способ.
45 мин + 15 мин = 60 мин = 3600 с
Ответ: урок вместе с переменой длится 3600 секунд.
2-й способ.
1) 45 мин = 60 с • 45 = 2700 с — длится урок
2) 15 мин = 60 с • 15 = 900 с — длится перемена
3) 2700 с + 900 с = 3600 с
Ответ: урок вместе с переменой длится 3600 секунд.

78

Ответы к стр. 78

258. Расположи в порядке возрастания следующие временны́е промежутки.
1 ч 1 мин 1 с 59 мин 59 с 1 ч 10 с
62 мин 1 ч 1 мин 60 мин 60 с

59 мин 59 с, 1 ч 10 с, 60 мин 60 с и 1 ч 1 мин, 1 ч 1 мин 1 с, 62 мин.
60 мин 60 с = 1 ч 1 мин

259. Сколько секунд длится мультфильм, если его продолжительность 9 мин 20 с?

9 мин 20 с = 1 мин • 9 + 20 с = 60 с • 9 + 20 с = 540 с + 20 с = 560 с
Ответ: мультфильм длится 560 секунд.

260. Определи по таблице результатов соревнований по бегу номер спортсмена, который стал победителем этих соревнований.

Номер спортсмена 1                 2             3             4
Результат                5 мин 3 с 300 с 4 мин 59 с 298 с

Победителем будет тот, спортсмен, который пробежал дистанцию за меньший промежуток времени. Для удобства сравнения лучше выразить все временные промежутки в секундах.
5 мин 3 с = 1 мин • 5 + 3 с = 60 с • 5 + 3 с = 300 с + 3 с = 303 с
4 мин 59 с = 1 мин • 4 + 59 с = 60 с • 4 + 59 с = 240 с + 59 с = 299 с
Победителем соревнований стал спортсмен под номером 4, так как он пробежал дистанцию быстрее остальных.

261. Продолжительность телепередачи 1 ч 10 мин. Реклама в ней занимает 360 с. Сколько времени занимает сам сюжет данной телепередачи?

Для удобства решения задачи нужно выразить продолжительность всей телепередачи в секундах или перевести секунды в часы и минуты. Таким образом, возможно два варината решения.
1-й способ.
1) 1 ч 10 мин = 1 ч + 10 мин = 3600 с + 1 мин • 10 = 3600 с + 60 с • 10 = 3600 с + 600 с = 4200 с – продолжительность всей телепередачи
2) 4200 с – 360 с = 3840 с
Ответ: продолжительность сюжета телепередачи 3840 секунд.
2-й способ.
1) 360 с = 6 мин
2) 1 ч 10 мин — 6 мин = (1 ч + 10 мин) – 6 мин = 1 ч + (10 мин – 6 мин) = 1 ч 4 мин
Ответ: продолжительность сюжета телепередачи 1 ч 4 мин.

262. Вычисли стоимость каждого телефонного разговора, тариф (цена) и продолжительность которого указаны в следующей таблице.

Номер Тариф          Продолжительность Стоимость
1          3 руб./мин                300 с                  ?
2          4 руб./мин               240 с                    ?
3          2 руб.50 коп./мин   600 с                   ?

Для вычисления стоимости телефонного разговора нужно провести согласование используемых единиц, то есть продолжительность разговоров выразить в минутах.
300 с = 60 с • 5 = 1 мин • 5 = 5 мин
240 с = 60 с • 4 = 1 мин • 4 = 4 мин
600 с = 60 с • 10 = 1 мин • 10 = 10 мин
1) 3 руб./мин • 5 мин = 15 руб.
2) 4 руб./мин • 4 мин = 16 руб.
3) 2 руб. 50 коп./мин • 10 мин = 25 руб.

79

Ответы к стр. 79. Кто или что движется быстрее?

263. Спортсмен под каким номером пробежал дистанцию быстрее всех остальных участников?

Каким образом судьи соревнований решают вопрос о том, кто какое место должен занять?

Спортсмен, пробежавший дистанцию быстрее остальных, становится победителем соревнований и занимает первое место, значит, быстрее всех дистанцию пробежал спортсмен под номером 15. Для того, чтобы определить какое место должен занять каждый из спортсменов, пробежавших одинаковую дистанцию, судья должен зафиксировать время, затраченное спортсменами на бег.

264. За первый час пути туристы прошли 5 км, а за второй час пути — 4 км. Когда туристы шли быстрее: в течение первого часа или второго?

5 км > 4 км
Получается, что за первый час туристы прошли большее расстояние, значит, они двигались быстрее, чем во второй час.

265. На автомобиле за 1 минуту можно проехать 2 км, а на поезде за 1 минуту — 1500 м. Что в этом случае движется медленнее?

2 км = 2000 м
2000 м > 1500 м
За одну минуту поезд проехал расстояние меньшее, чем автомобиль, значит, поезд движется медленнее.

266. При самой быстрой ходьбе Миша может за один час преодолеть расстояние 3 км. Сможет ли Миша за 1 ч 30 мин пройти 5 км?

За 1 час Миша может преодолеть расстояние 3 км, значит, за полчаса он может пройти половину этого пути.
3 км = 3000 м
1) 3000 м : 2 = 1500 м = 1 км 500 м
2) 3 км + 1 км 500 м = 4 км 500 м — за 1 ч 30 мин
Ответ: за 1 ч 30 мин Миша не сможет пройти 5 км.

267. Какое из известных тебе средств передвижения может двигаться быстрее всех остальных?
Расположи следующие средства передвижения по порядку от самого быстрого к самому медленному: автомобиль, самолёт, вертолёт, ракета, велосипед, лодка без мотора.

Самое быстрое средство передвижения – гиперзвуковая крылатая ракета. Её скорость в 5 раз превышает скорость звука, а скорость звука – 343 м в секунду.
Ракета, самолёт, вертолёт, автомобиль, велосипед, лодка без мотора.

80

Ответы к стр. 80

268. Приведи примеры животных, которые могут очень быстро передвигаться по земле. Кто из зверей считается самым быстрым?

Самым быстрым считается гепард.

Животное Скорость передвижения
Гепард                  121 км/ч
Вилорог                115 км/ч
Газель                  114 км/ч
Газель Томсона   94 км/ч
Антилопа             90 км/ч
Борзая                  89 км/ч
Лошадь                 87 км/ч
Зебра до              80 км/ч
Заяц русак        до 80 км/ч
Лев                    до 80 км/ч

269. Какие животные передвигаются по земле очень медленно? Приведи примеры таких животных.

Самой медленной считается улитка.

Животное Скорость передвижения
Улитка                 5 м/ч
Ленивцы            150 м/ч
Полевая мышь   4 км/ч
Китовая акула    5 км/ч
Крот                     5 км/ч
Опоссум            7 км/ч
Змеи                  10 км/ч
Черепаха           10 км/ч

270. Автомобиль, двигаясь равномерно, преодолевает 80 км за 1 ч. Сколько километров он преодолеет за 120 мин? За 30 мин? За 15 мин?
На каком транспортном средстве можно за 1 ч преодолеть расстояние в 1000 км?

120 минут в 2 раза больше, чем 60 минут, то есть в 2 раза больше, чем 1 час. Значит, пройденное расстояние за это время будет в 2 раза больше, чем за 1 час: 80 км • 2 = 160 км – расстояние, которое преодолеет автомобиль за 120 минут.
30 минут в 2 раза меньше, чем 1 час, значит, пройденное расстояние за 30 минут будет в 2 раза меньше, чем расстояние, пройденное за 1 час: 80 км : 2 = 40 км – расстояние, которое преодолеет автомобиль за 30 минут.
15 минут в 4 раза меньше, чем 1 час, значит, пройденное расстояние за 15 минут будет в 4 раза меньше, чем расстояние, пройденное за 1 час: 80 км : 4 = 20 км – расстояние, которое преодолеет автомобиль за 15 минут.
Ответ: 160 км, 40 км, 20 км.
На каком транспортном средстве можно за 1 час преодолеть расстояние в 1000 км — на самолёте, средняя скорость пассажирского самолёта – 980 км/ч.

81

Ответы к стр. 81. Длина пути в единицу времени, или скорость

271. За 1 час на автомобиле был проделан путь длиной 90 км. Длина пути, пройденного в единицу времени, называется СКОРОСТЬЮ (средней). Записать скорость автомобиля в данном случае можно следующим образом: 90 км/ч (читается: 90 километров в час).
За 20 мин на другом автомобиле был проделан путь длиной 25 км. Сколько километров можно проехать на этом автомобиле за 1 ч, если двигаться точно так же, как и в указанные 20 мин? Запиши скорость второго автомобиля.

20 мин в 3 раза меньше, чем 1 час, значит, путь, который проделает автомобиль за 1 час, будет в 3 раза больше, чем путь, который проделал автомобиль за 20 минут.
25 км • 3 = 75 км
Автомобиль проедет за 1 час 75 км, а это и есть скорость автомобиля, так как скорость – это длина пути, пройденная в единицу времени, то есть скорость автомобиля 75 км/ч.

272. Самолёт летел 2 ч с постоянной скоростью и пролетел за это время 1800 км. С какой скоростью летел самолёт?

Скорость — это длина пути, пройденная в единицу времени, значит, нужно узнать, сколько километров пролетел самолёт за 1 час.
1800 км : 2 ч = 900 км/ч
Ответ: самолёт летел со скоростью 900 км/ч.

273. Спортсмен пробегает дистанцию 100 м за 10 с. Какое расстояние он пробегает за 1 с, если предположить, что всю дистанцию он двигается с одинаковой скоростью? Какое расстояние он смог бы пробежать за 1 мин, если всё это время бежал бы с такой же скоростью, что и первые 10 с?

100 м : 10 с = 10 м/с — скорость спортсмена, то есть за 1 с он пробегает 10 м.
1 мин в 60 раз больше, чем 1 с, значит, если спортсмен бежит с такой же скоростью (10 м/с), то за 1 мин он пробегает расстояние в 60 раз больше, чем за 1 с.
10 м/с • 60 с = 600 м

274. Объясни, почему справедливы данные соотношения.
1 м/с = 60 м/мин 1 м/мин = 60 м/ч 1 м/с = 3600 м/ч

Первый случай: 60 м/мин – это значит, что за 1 минуту пройденный путь, равен 60 м, но 1 мин — это 60 с. Следовательно, за 60 с пройденный путь – 60 м, а за 1 с с той же скоростью в 60 раз меньше: 60 м : 60 с = 1 м/с.
Второй случай: 60 м/ч – это значит, что за 1 час пройденный путь, равен 60 м, но 1 ч — это 60 мин. Следовательно, за 60 мин пройденный путь – 60 м, а за 1 мин с той же скоростью в 60 раз меньше: 60 м : 60 мин = 1 м/мин.
Третий случай: 3600 м/ч означает, что за 1 час, пройденный путь равен 3600 м, но 1 ч — это 3600 с, то есть скорость равна: 3600 м : 3600 с = 1 м/с.

275. Вырази данные скорости в км/ч.
20 м/с 5 м/с 30 м/с 15 м/с

1 м/с = 3600 м/ч
10 м/с в 10 раз больше, чем 1 м/с, значит, 10 м/с — это 36000 м/ч, но 1000 м — это 1 км, значит, 36000 м/ч = 36 • 1000 м/ч = 36 • 1 км/ч = 36 км/ч.
10 м/с = 36 км/ч
20 м/с = 10 м/с • 2 = 36 км/ч • 2 = 72 км/ч
5 м/с = 10 м/с : 2 = 36 км/ч : 2 = 18 км/ч
30 м/с = 10 м/с • 3 = 36 км/ч • 3 = 108 км/ч
15 м/с = 30 м/с : 2 = 108 км/ч : 2 = 54 км/ч

82

Ответы к стр. 82

276. Вырази данные скорости в м/с.
120 м/мин 240 м/мин 600 м/мин 300 м/мин

1 м/с = 60 м/мин
120 м/мин = 60 м/мин • 2 = 1 м/с • 2 = 2 м/с
240 м/мин = 60 м/мин • 4 = 1 м/с • 4 = 4 м/с
600 м/мин = 60 м/мин • 10 = 1 м/с • 10 = 10 м/с
300 м/мин = 60 м/мин • 5 = 1 м/с • 5 = 5 м/с

277. В таблице приведены возможные скорости некоторых объектов и явлений природы.

Название Автомобиль Самолёт Ветер      Пловец
Скорость 90 км/ч          900 км/ч   10 м/с   100 м/мин
Расположи данные скорости в порядке возрастания.
Сформулируй задачу на кратное сравнение, используя данные из таблицы. Реши сформулированную задачу. Ответ можно не вычислять.

10 м/с = 36 км/ч — скорость ветра.
Необходимо перевести 100 м/мин в км/ч.
1 м/мин = 60 м/ч, тогда: 100 м/мин = 1 м/мин • 100 = 60 м/ч • 100 = 6000 м/ч = 6 км/ч — скорость пловца.
Самую маленькую скорость из предложенных, имеет пловец — 6 км/ч, а самую большую – самолёт: 900 км/ч.
100 м/мин, 10 м/с, 90 км/ч, 900 км/ч.
Самолёт летит со средней скоростью 900 км/ч, а автомобиль движется со средней скоростью 90 км/ч. Во сколько раз скорость самолёта больше скорости автомобиля?
900 км/ ч : 90 км/ч

278. Во время урагана скорость ветра может достигать 30 м/с. Вырази эту скорость сначала в м/ч, а потом в км/ч. Объясни, почему имеет место данное соотношение.
10 м/с = 36 км/ч

1 м/с = 60 м/мин и 10 м/с = 36 км/ч
1) 30 м/с = 1 м/с • 30 = 60 м/мин • 30 = 1800 м/мин = 1800 м/мин • 60 = 108000 м/ч
2) 30 м/с = 10 м/с • 3 = 36 км/ч • 3 = 108 км/ч
10 м/с в 10 раз больше, чем 1 м/с, значит, если 1 м/с = 3600 м/ч, то 10 м/с = 36000 м/ч. В 1 км содержится 1000 м, значит, 10 м/с = 36000 м/ч : 1000 = 36 км/ч.

279. Велосипедист едет по прямому шоссе с собственной скоростью 18 км/ч. С какой скоростью будет ехать велосипедист, если ему будет в спину дуть ветер со скоростью 5 м/с? А если ветер будет дуть в лицо, какой будет скорость велосипедиста?

Ответ:

1 м/с = 3600 м/ч, 10 м/с = 36000 м/ч = 36 км/ч, отсюда
5 м/с = 18 км/ч - скорость ветра
Учитывая, что скорость попутного ветра совпадает со скоростью движения велосипедиста, можно сделать вывод о том, что ветер двигаться велосипедисту не помогает, но и не мешает, если дует в лицо.

Пояснения к заданию. Когда вы стоите, и дует легкий ветерок, а именно такой он при 5 м/с, он никак на вас не влияет, и тем более не может придать вам какую-то скорость или помешать движению.

СТАРАЯ ВЕРСИЯ

Катер движется вниз по реке со скоростью 18 км/ч. С какой скоростью двигался бы этот катер в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч?

Вниз по реке — то есть по течению, скорость которого 3 км/ч.
18 км/ч — 3 км/ч = 15 км/ч
Ответ: в стоячей воде скорость катера 15 км/ч.

280. Расстояние между двумя населёнными пунктами 180 км. На каком транспортном средстве можно преодолеть это расстояние за 3 ч?

180 км : 3 ч = 60 км/ч – скорость транспортного средства
Ответ: на автомобиле или мотоцикле.

83

Ответы к стр. 83. Учимся решать задачи

281. Чем похожи и чем отличаются формулировки двух данных задач?
а. Мотоциклист двигался с постоянной скоростью 80 км/ч в течение 3 ч. Какое расстояние преодолел мотоциклист за это время?
б. Цена проката водного велосипеда 80 руб./ч. Сколько нужно заплатить за 3 ч катания на этом велосипеде?
Решите задачи. Вычислите и запишите ответы.
Чем похожи и чем отличаются решения и ответы этих задач?
Можно ли утверждать, что эти задачи аналогичны, только в них речь идёт о разных процессах и величинах?
Какая величина аналогична величине «скорость» в сюжете, описанном во второй задаче?

Похожи задачи тем, что перечисленные величины представлены одинаковыми числовыми данными. Отличие задач в том, что в первой задаче речь идет о величинах — скорость, пройденный путь и время, а во второй задаче — о цене, стоимости и затраченном времени.
а. 80 км/ч • 3 ч = 240 км
Ответ: мотоциклист проехал 240 км.
б. 80 руб./ч • 3 ч = 240 руб.
Ответ: нужно заплатить 240 рублей.
Решения данных задач аналогичны. Речь в них идет о разных величинах, но зависимость одна и та же: если скорость и цена постоянны, то чем больше время, тем больше пройденное расстояние и тем больше стоимость соответственно.
В данных задачах речь идет о разных процессах — движения и покупки, но по своей математической сути данные задачи совершенно аналогичны: величина «скорость» в первой задаче аналогична величине «цена» во второй задаче, что позволяет решать задачи на процесс покупки по аналогии с задачами на процесс движения.

282. Для данной задачи на движение сформулируй аналогичную задачу на процесс купли-продажи.
За 3 ч автомобиль преодолел расстояние в 270 км. С какой средней скоростью двигался автомобиль?
Реши данную и сформулированную задачи. Вычисли и запиши ответы.

270 км/ч : 3 ч = 90 км/ч
Ответ: скорость автомобиля 90 км/ч.

За 3 ч катания на гироскутере заплатили 270 руб. Какова цена 1 часа катания на гироскутере?
270 руб. : 3 ч = 90 руб./ч
Ответ: цена катания на гироскутере 90 руб./ч.

283. За 4 ч поезд преодолел расстояние в 360 км. Во сколько раз большее расстояние преодолеет этот поезд за 12 ч, если будет двигаться с той же средней скоростью?
Рассмотри и объясни каждый из двух вариантов решения этой задачи.
1-й вариант                                2-й вариант
1) 360 км : 4 ч = 90 км/ч            1) 12 ч : 4 ч = 3 (раза)
2) 90 км/ч • 12 ч = 1080 км
3) 1080 км : 360 км = 3 (раза)

В первом варианте сначала вычислили скорость поезда, затем вычислили расстояние, которое он проедет за 12 часов. Потом выполнили кратное сравнение расстояний. Во втором варианте выполнили кратное сравнение времени движения поезда, зная, что увеличение времени движения в некоторое число раз приводит к увеличению расстояния в это же число раз при одинаковой скорости.

84

Ответы к стр. 84

284. Сформулируй задачу по следующей краткой записи, представленной в виде таблицы.

                                   Скорость      Время Пройденный путь
1-я группа туристов Одинаковая     2 ч                 12 км
2-я группа туристов                          3 ч                      ?
Реши сформулированную задачу. Вычисли и запиши ответ.
Как можно было бы рациональнее решить соответствующую задачу, если бы в графе «Время» вместо 3 ч стояло 4 ч?

Первая группа туристов за 2 ч прошла 12 км, а вторая группа шла с той же скоростью и была в пути 3 ч. Сколько километров прошла вторая группа туристов?
1) 12 км : 2 ч = 6 км/ч — скорость туристов
2) 6 км/ч • 3 ч = 18 км
Ответ: вторая группа туристов прошла 18 км.
В варианте, где было бы 4 ч, можно выполнить кратное сравнение времени движения двух групп туристов, зная, что увеличение времени движения в некоторое число раз приводит к увеличению расстояния в это же число раз при одинаковой скорости: 12 • (4 : 2) = 24 (км).

285. Как изменится пройденный путь, если скорость увеличится в 3 раза, а время движения останется тем же самым?
Подтверди свой вывод несколькими примерами.

Человек шёл со скорость 5 км/ч в течение 2 ч и прошёл расстояние: 5 км/ч • 2 ч = 10 км.
Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч и в течение 2 ч проехал расстояние: 15 км/ч • 2 ч = 30 км.
Мотоциклист ехал со скоростью 45 км/ч и в течение 2 ч проехал расстояние: 45 км/ч • 2 ч = 90 км.
15 км/ч : 5 км/ч = 3, 30 км : 10 км = 3.
45 км/ч : 15 км/ч = 3, 90 км : 30 км = 3.
Таким образом, пройденный путь тоже увеличивается в 3 раза.

286. Как изменится стоимость товара, если цена уменьшится в 2 раза, а количество купленного товара останется тем же самым?
Подтверди свой вывод несколькими примерами.

В первый день купили 3 кг бананов по 80 руб./кг и заплатили: 80 руб./кг • 3 кг = 240 руб.
Во второй день купили 3 кг бананов по 40 руб./кг и заплатили: 40 руб./кг • 3 кг = 120 руб.
В третий день купили 3 кг бананов по 20 руб./кг и заплатили: 20 руб./кг • 3 кг = 60 руб.
80 руб./кг : 40 руб/кг = 2, 240 руб. : 120 руб. = 2.
40 руб./кг : 20 руб./кг = 2, 120 руб. : 60 руб. = 2.

85

Ответы к стр. 85

287. Скорость велосипедиста 15 км/ч. Какое расстояние преодолеет велосипедист за t часов, если будет двигаться с этой же скоростью?
Запиши решение задачи в виде буквенного выражения. Вычисли значение этого выражения при t = 2 ч, при t = 3 ч.

15 • t
1) при t = 2 ч: 15 • 2 = 30 (км)
2) при t = 3 ч: 15 • 3 = 45 (км)

288. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
За 3 ч, которые был в пути скорый поезд, он преодолел расстояние в 240 км. Сколько километров преодолеет этот поезд за 5 ч, если будет двигаться с той же средней скоростью?

1) 240 км : 3 ч = 80 км/ч — скорость поезда
2) 80 км/ч • 5 ч = 400 км
Ответ: поезд преодолеет 400 км.

289. На чертеже с помощью отрезка показано расстояние между двумя населёнными пунктами А и В, а с помощью направленного отрезка (стрелки) показано направление движения и расстояние, которое преодолевает автобус за 1 ч. Проведя необходимые измерения и вычисления, установи, сколько часов затратит автобус на весь путь от А до В.

Длина стрелки укладывается в отрезке АВ 4 раза, следовательно, автобус будет ехать 4 часа.

290. Автомобиль движется с постоянной скоростью 80 км/ч. Сколько километров он преодолеет за 120 мин? За 30 мин? За 15 мин?
Сможет ли этот автомобиль преодолеть 20 м за 1 с? С какой наименьшей скоростью должен двигаться данный автомобиль, чтобы выполнить указанное требование?

120 мин — это 2 ч, тогда: 80 км/ч • 2 ч = 160 км — проедет за 120 мин
30 мин — это одна вторая часа, тогда: 80 км/ч • 1 : 2 = 40 км — проедет за 30 мин
15 мин — это одна четвёртая часа, тогда: 80 км/ч • 1 : 4 = 20 км — проедет за 15 мин
1 м/с = 3600 м/ч
20 м/с в 20 раз больше, чем 1 м/с, значит, 20 м/с — это: 3600 м/ч • 20 = 72000 м/ч, но 72000 м — это 72 км, значит, 72000 м/ч = 72 • 1000 м/ч = 72 • 1 км/ч = 72 км/ч. Получается, что для того, чтобы проехать 20 м за 1 с, скорость автомобиля должна быть не меньше 72 км/ч. Его скорость больше, следовательно, автомобиль сможет преодолеть 20 м за 1 с. Наименьшая скорость должна быть 72 км/ч.

86

Ответы к стр. 86. Какой сосуд вмещает больше?

291. Бабушка налила молоко из пакета Мише в стакан, Маше — в чашку, а кошке — в блюдце. Всем — до краёв. Миша заинтересовался, кому бабушка налила молока больше. Он решил, что ему, так как стакан выше чашки и уж тем более выше блюдца. Маша с этим не согласилась. Кто из них прав? Как сравнить ВМЕСТИМОСТЬ стакана, чашки и блюдца? Предложи свой способ сравнения.
Можно ли утверждать, что вместимость молочного пакета больше вместимости стакана? Вместимости чашки? Вместимости блюдца? Вместимости стакана и чашки вместе? Почему?

Права Маша, поскольку вместимость меряется не высотой емкости, а её объёмом. Можно переливать молоко из одной емкости (например, стакан) в другую пустую (например, чашка). Если в стакане при этом останется молоко, а чашка будет заполнена — вместимость стакана больше, если молока для заполнения чашки не хватит и стакан будет пуст — то вместимость чашки больше, а если всё молоко из стакана наполнит полностью чашку — вместимость стакана и чашки одинакова.
Можно, поскольку из пакета молоко налили в 3 ёмкости — стакан, чашку и блюдце. То есть, вместимость молочного пакета будет больше стакана, или чашки, или блюдца, или стакана и чашки вместе, или стакана и блюдца вместе, или чашки и блюдца вместе. Но вместимость пакета молока будет равна вместимости стакана, чашки и блюдца вместе.

292. Мама варила варенье в большом тазу, а потом разлила его в три банки, наполнив их в склинь, до краёв. Вместимость чего больше: таза или одной банки?

Обычно, мерой для сравнения вместимости емкостей служит ёмкость с меньшим объёмом. При сравнении ёмкости банки и таза мерой выступает банка. Чтобы разлить варенье, которое заполняло таз, потребовалось 3 банки, значит вместимость таза больше вместимости одной банки, так как таз не был заполнен до краёв, а в нём уже помещалось 3 банки варенья.

293. Чтобы заполнить бочку водой, нужно налить в неё 20 вёдер воды. Для заполнения вынны нужно 15 таких вёдер воды. Вместимость чего меньше: бочки или ванны?

Мерой для сравнения вместимости бочки и ванны будет ведро.
Тогда, вместимость ванны меньше вместимости бочки, поскольку 15 вёдер < 20 вёдер.

87

Ответы к стр. 87

294. Сколько полных вёдер воды ВМЕЩАЕТ детский бассейн, если для его заполнения потребовалось принести 32 одинаковых бидона с водой, а для наполнения водой ведра нужно 3 таких бидона?
Получи ответ на поставленный вопрос с помощью деления с остатком.

32 : 3 = 10 (ост. 2) – вёдер
Ответ: 10 полных вёдер и ещё 2 бидона.

295. Сравни вместимости двух бассейнов прямоугольной формы. Первый имеет длину 10 м, ширину 4 м, а глубину 2 м. Второй имеет длину 10 м, ширину 4 м, а глубину 1 м. Объясни свой ответ.

Бассейны имеют одинаковую длину и ширину 10 м и 4 м соответственно, а отличаются только глубиной 2 м и 1 м соответственно. Можно предположить, что чем глубже бассейн с одинаковой площадью, тем больше его вместимость.
То есть: 2 м : 1 м = (2 р.)
Ответ: первый бассейн в 2 раза больше по вместимости.

296. В двух одинаковых чашках помещается столько же воды, сколько в трёх одинаковых стаканах. В одной кастрюле помещается 12 таких чашек, а в другой — 20 таких стаканов. Какая кастрюля имеет бóльшую вместимость?

Для сравнения вместимости двух кастрюль нужно выразить их вместимость в одних единицах — стаканах.
1) 12 : 2 = 6 (с.) — соответствует количеству 12-ти чашек
2) 6 • 3 = 18 (с.) — вмещает первая кастрюля
3) 18 с. < 20 с. — больше вторая кастрюля
Ответ: вместимость второй кастрюли больше.

297. Для того чтобы наполнить бак водой, нужно налить в него либо 12 вёдер, либо 20 бидонов воды. В бак налили 6 вёдер воды. Сколько ещё бидонов воды нужно налить в бак, чтобы его наполнить?

12 вёдер = 20 бидонов
Тогда 6 вёдер (12 вёдер : 2 = 6 вёдер) — это 10 бидонов (20 бидонов : 2 = 10 бидонов).
1) 12 : 6 = 2 (р.) – в 6 вёдрах воды в 2 раза меньше, чем в 12 вёдрах
2) 20 : 2 = 10 (б.) – в 6 вёдрах столько же воды, сколько в 10 бидонах
Ответ: нужно налить ещё 10 бидонов воды.

298. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Кастрюля вмещает 15 стаканов воды. Сколько чашек воды вмещает эта кастрюля, если 4 чашки по вместимости равны 5 таким стаканам?

1) 15 : 5 = 3 (р.) — по 5 стаканов или 4 чашки
2) 4 • 3 = 12 (ч.)
Ответ: кастрюля вмещает 12 чашек воды.

299. Аквариум имеет форму куба с длиной ребра 60 см. До какой высоты можно наполнить аквариум водой, чтобы заполнить его наполовину? На треть? На четверть?

Поскольку при заполнении аквариума водой каждый раз его основание одно и тоже, то мерой его наполненности будет высота, которая равна 60 см.
1) 60 • 1 : 2 = 30 (см) — наполнить наполовину
2) 60 • 1 : 3 = 20 (см) — наполнить на треть
3) 60 • 1 : 4 = 15 (см) — наполнить на четверть
Ответ: для наполнения наполовину нужно налить воды до высоты 30 см, для наполнения на треть — до 20 см, для наполнения на четверть — до 15 см.

88

Ответы к стр. 88. Литр. Сколько литров?

300. «Маша, на пакете с молоком написано 1 ЛИТР. А что это значит?» — спросил Миша.
«Это означает, что на молокозаводе в такие пакеты автомат наливает одно и тоже количество молока, которое измеряется 1 литром. Вот в такой банке помещается ровно 1 литр жидкости», — пояснила Маша и показала Мише литровую стеклянную банку.
Где ещё в жизни тебе приходилось иметь дело с такой единицей вместимости, как литр?

В обиходе практически все жидкости человек измеряет в литрах: питьевая вода продаётся в бутылках по 2 литра или по 5 литров, сладкая газированная вода и минеральная вода — в бутылках по половине литра или полтора литра.

301. Сколько литров сока привезли в школьную столовую, если литровых пакетов было 3 упаковки по 12 штук, а двухлитровых — 2 упаковки по 8 штук?

1) 12 • 3 = 36 (п.) – число литровых пакетов
2) 8 • 2 = 16 (п.) – число двухлитровых пакетов
3) 1 • 36 = 36 (л) – сока в литровых пакетах
4) 2 • 16 = 32 (л) – сока в двухлитровых пакетах
5) 36 + 32 = 68 (л) – сока во всех пакетах
Ответ: всего привезли 68 литров сока.

302. Сколько литров молока в пакетах можно купить на 100 руб., если литровый пакет молока стоит 15 руб.?

100 : 15 = 6 (ост. 10) (л)
Ответ: можно купить 6 литров молока и останется 10 рублей сдачи.

303. Сколько литров питьевой воды израсходовали туристы к концу похода, если они взяли с собой 6 пятилитровых канистр, а осталось у них 2 л в одной канистре и 1 л в другой канистре?
Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.

1) 5 • 6 = 30 (л) – было всего воды
2) 2 + 1 = 3 (л) – осталось воды
3) 30 – 3 = 27 (л) – израсходовали воды
Ответ: туристы израсходовали 27 литров воды.

89

Ответы к стр. 89. Вместимость и объём

304. Когда Миша взял стакан, заполненный молоком, и перелил всё молоко в чашку, то она также оказалась заполненной до краёв. Таким образом, вместимость стакана оказалась равна вместимости чашки. В этом случае говорят, что жидкость, заполняющая стакан, имеет такой же ОБЪЁМ, как и жидкость, заполняющая чашку.
Как можно сравнить объёмы 1 кг муки и 1 кг крахмала?

Необходимо насыпать 1 кг муки и 1 кг крахмала в одинаковые ёмкости, например, в двухлитровые банки. Разравнять ложкой или лопаткой поверхность муки и крахмала в банках. Провести измерение: 1 кг муки будет занимать меньше пространства в банке, чем 1 кг крахмала. Получается, что объём 1 кг муки меньше объёма 1 кг крахмала.

305. В стеклянную бутылку налили воду и поставили на мороз. Ты уже знаешь, что, когда вода замёрзнет, бутылка лопнет. Попробуй дать объяснение этого факта на основе сравнения объёмов воды и льда, получившегося из этой воды.

Вместимость бутылки равна объёму воды, которая её заполняет. Образовавшийся из воды лёд увеличился в объёме и разбил бутылку. Следовательно, объём льда больше объёма бутылки (лёд не помещается в бутылке) и больше объёма воды (которая помещалась в бутылке).

306. Круглое бревно, толщина котрого по всей длине одинакова, распилили пополам по длине. Сравни объёмы получившихся частей.
Изменится ли ответ, если бревно от одного конца к другому утолщается?

Части распиленного бревна имеют цилиндрическую форму, и они одинаковы по толщине и по длине. Если представить, что половинки бревна являются сосудами цилиндрической формы, то объём жидкости, вмещающейся в эти сосуды будет одинаковым. Следовательно, объёмы этих половинок бревна будут одинаковые. Если же бревно утолщается от одного конца к другому, то по длине его половинки будут одинаковые, а по толщине части распиленного бревна будут разными. Если представить части этого бревна в виде сосудов конусовидной формы, то жидкость, заполняющая более «тонкую» часть сосуда, будет занимать меньший объём. Следовательно, объёмы таких частей бревна будут разными.

90

Ответы к стр. 90

307. Для построения следующих фигур использовались одинаковые кубики. Назови номер фигуры, которая имеет наименьший объём, и номер фигуры, которая имеет наибольший объём.

Фигура 1 составлена из 7 кубиков, фигура 2 составлена из 8 кубиков, фигура 3 составлена из 9 кубиков. При условии, что все кубики одинаковые, бóльший объём будет иметь фигура, составленная из бóльшего количества кубиков. Следовательно, наибольший объём имеет фигура 3, а наименьший объём – фигура 1.

308. В большую кастрюлю, стоящую в тазу, до самого края налили воду, а потом опустили в неё кирпич. В результате часть воды вытекла в таз. Что ты можешь сказать об объёме кирпича и объёме вытесненной им воды?

Объём погруженного в воду предмета произвольной формы, например, кирпича, равен объёму вытесненной им жидкости. То есть, если вытесненную жидкость собрать и измерить её объём, то таким же будет объём предмета.

309. Опишите по рисунку практическую работу, по результатам которой можно сравнить вместимость стакана и его объём (как реального предмета).

Полностью погружаем стакан в кастрюлю (без воздушных пробок), до краёв наполненную водой, которая стоит в тазу. Наблюдаем, как по мере погружения стакана, вода, вытесняемая стаканом, выливается в таз. Вытаскиваем заполненный водой стакан из кастрюли, а кастрюлю из таза и аккуратно переливаем воду из таза в такой же стакан. Наблюдаем, что стакан заполнится водой частично. Выставляем два одинаковых стакана: один заполнен водой полностью, второй – частично (вода, собранная из таза). Вспоминаем, что объём воды в первом стакане, равен вместимости этого стакана, объём воды во втором стакане равен объёму стеклянных стенок и дна этого стакана. Делаем вывод, что вместимость стакана больше его объёма.

91

Ответы к стр. 91

310. Какие из изображённых на рисунке геометрических фигур имеют объём? Знаешь ли ты, как они называются?

Объёмные фигуры: 1 — шар, 2 — конус, 3 — цилиндр, 4 — куб, 5 — пирамида. У этих фигур можно измерить объём.

311. При выполнении какого условия объёмы двух кубов равны?
Во сколько раз объём куба с ребром 1 см отличается от объёма куба с ребром 2 см? Выполни кратное сравнение объёмов с помощью рисунка.

Любые два куба, у которых равны длины сторон (рёбра), будут иметь одинаковый объём.
Большой куб составлен из восьми маленьких кубиков, значит объём большого куба в 8 раз больше объёма маленького куба.

92

Ответы к стр. 92. Кубический сантиметр и измерение объёма

312. Чему равна площадь квадрата со стороной 1 см? Чему равен объём куба с ребром 1 см? Как можно назвать эту единицу объёма? Объясни смысл названия КУБИЧЕСКИЙ САНТИМЕТР.
Чему равен объём куба с ребром 2 см? Вырази этот объём в кубических сантиметрах, используя сокращённую запись: куб. см.

Площадь квадрата со стороной 1 см: 1 см • 1 см = 1 см².
Объём куба со стороной 1 см: 1 см • 1 см • 1 см = 1 см³ (куб. см). Эту единицу можно назвать кубический сантиметр. Объём куба со стороной 1 см.
Объём куба со стороной 2 см: 2 см • 2 см • 2 см = 8 куб.см (см³).

313. Каждое деление мерного сосуда соответствует 10 куб. см. Определи объём жидкости в сосуде на каждом рисунке.

В первом цилиндре 10 куб. см. Во втором цилиндре — 30 куб. см. А в третьем — 70 куб. см.

314. Сколько кубиков с ребром 1 см можно поместить в прямоугольную коробку, длина которой 10 см, ширина 5 см, а высота 4 см. Чему равна ВМЕСТИМОСТЬ этой коробки в кубических сантиметрах?

1) 1 см • 1 см • 1 см = 1 куб. см — объём кубика
2) 10 см • 5 см • 4 см = 200 куб. см — объём коробки
3) 200 куб. см : 1 куб см = 200 кубиков
Ответ: поместится 200 кубиков, вместимость коробки 200 куб. см.

93

Ответы к стр. 93

315. Опишите по рисунку практическую работу по измерению объёма металлического шарика с использованием следующего оборудования: мерный сосуд с делениями по 1 куб. см, который заполнен водой до отметки 10 куб. см, и металлический шарик диаметром 2 см.

В мерный цилиндр, заполненный водой до отметки 10 куб. см, осторожно опустить металлический шарик. Замерить отметку, на которую поднялся уровень воды в цилиндре. Разность этой отметки и начальной отметки на 10 куб. см и будет объёмом металлического шарика в куб. см.

316. Определи объём в кубических сантиметрах изображённой на рисунке фигуры, если она составлена из кубов с ребром 1 см.

Запиши в виде произведения число кубов, из которых составлена данная фигура.

Верхний ряд составлен из четырёх кубов в длину и трёх кубов в ширину. Всего в верхнем ряду: 4 • 3 = 12 кубов. Нижний ряд повторяет верхний ряд и в нём тоже 12 кубов. Тогда в этой фигуре: 12 кубов + 12 кубов = 24 куба. Один куб равен 1 куб. см (1 см • 1 см • 1 см = 1 куб. см), тогда объём фигуры 24 куб. см.
Число кубов: 4 • 3 • 2 = 24 куба.

94

Ответы к стр. 94. Кубический дециметр и кубический сантиметр

317. Чему равен объём куба с ребром 1 см? Как можно назвать единицу объёма, представленную кубом с ребром 1 дм? Сколько сантиметров в 1 дециметре? Сколько квадратных сантиметров в 1 квадратном дециметре? Сколько кубических сантиметров в 1 КУБИЧЕСКОМ ДЕЦИМЕТРЕ? Докажи справедливость данного равенства.
1 куб. дм = 1000 куб. см

Объём куба с ребром 1 см равен: 1 см • 1 см • 1 см = 1 куб. см. Единицу объёма, представленную кубом с ребром 1 дм, можно назвать кубическим дециметром.
1 дм = 10 см.
1 кв. дм = 100 кв. см.
1 куб. дм = 1000 куб. см.
1 куб. дм = 1 дм • 1 дм • 1 дм = 10 см • 10 см • 10 см = 1000 куб. см.

318. Обувная коробка имеет длину 3 дм, ширину 2 дм и высоту 1 дм. Какое наибольшее число кубиков с ребром 1 дм можно разместить в этой коробке? Вырази вместимость этой коробки в кубических дециметрах.

1) 3 дм • 2 дм • 1 дм = 6 куб. дм — объём коробки
2) 1 дм • 1 дм • 1 дм = 1 куб. дм — объём кубика
3) 6 куб. дм : 1 куб. дм = 6 кубиков
Ответ: можно разместить 6 кубиков, вместимость коробки 6 куб. дм.

319. Во сколько раз нужно увеличить отрезок длиной 1 см, чтобы получить отрезок длиной 1 дм? Во сколько раз 1 кв. см меньше 1 кв. дм? Во сколько раз 1 куб. см меньше 1 куб. дм?

1) 1 дм : 1 см = 10 см : 1 см = 10 раз
2) 1 кв. дм : 1 кв. см = 100 кв. см : 1 кв. см = 100 раз
3) 1 куб. дм : 1 куб. см = 1000 куб. см : 1 куб. см = 1000 раз

320. Вырази в кубических сантиметрах и выполни сложение.

1 куб. дм + 500 куб. см = 1000 куб. см + 500 куб. см = 1500 куб. см
1 куб. дм + 10 куб. см = 1000 куб. см + 10 куб. см = 1010 куб. см
3 куб. дм + 3 куб. см = 3000 куб. см + 3 куб. см = 3003 куб. см
10 куб. дм + 1 куб. см = 10000 куб. см + 1 куб. см = 10001 куб. см

321. Выполни столбиком указанные действия.
326532 куб. дм + 867543 куб. дм = 1194075 куб. дм
1785634 куб. дм – 1423156 куб. дм = 362478 куб. дм

+326532   _1785634
  867543     1423156
1194075       362478

95

Ответы к стр. 95

322. Вырази в кубических сантиметрах.
1 куб. дм 500 куб. см 5 куб. дм 5 куб. см
1 куб. дм 10 куб. см 10 куб. дм 10 куб. см

1 куб. дм 500 куб. см = 1 куб. дм + 500 куб. см = 1000 куб. см + 500 куб. см = 1500 куб. см
1 куб. дм 10 куб. см = 1010 куб. см
5 куб. дм 5 куб. см = 5005 куб. см
10 куб. дм 10 куб. см = 10010 куб. см

323. Вместимость чашки 250 куб. см. Сколько нужно взять таких чашек воды для того, чтобы получить 1 куб. дм воды?
Прежде чем отвечать на этот вопрос, заполни следующую таблицу.

Число чашек                 1      2      3    4         5
Вместимость (куб. см) 250 500 750 1000 1250

1 куб. дм = 1000 куб. см
Из таблицы видно, что нужно взять 4 чашки.

324. Аквариум прямоугольной формы имеет длину 6 дм, ширину 5 дм и высоту 4 дм. Этот аквариум заполнен водой наполовину. Каких размеров должен быть аквариум, чтобы этим количеством воды его можно было бы заполнить полностью?

Аквариум наполнен наполовину, то есть объём нового аквариума должен быть в 2 раза меньше. Уменьшение любой стороны аквариума в 2 раза приведёт к уменьшению его объёма в 2 раза. Например, длина 6 дм, ширина 5 дм и высота 2 дм.

325. Расположи в порядке возрастания следующие объёмы.
10500 куб. см 10 куб. дм 50 куб. см
10 куб. дм 5 куб. см 15000 куб. см
10550 куб. см 10 куб. дм 555 куб. см

Для сравнения величин все объёмы нужно выразить в кубических сантиметрах.
10 куб. дм 5 куб. см, 10 куб. дм 50 куб. см, 10500 куб. см, 10550 куб. см, 10 куб. дм 555 куб. см, 15000 куб. см

326. Выполни кратное сравнение двух данных объёмов.
10 куб. дм и 100 куб. см

Для выполнения кратного сравнения данных объёмов нужно выразить их в одинаковых единицах измерения – кубических сантиметрах.
10 куб. дм = 10000 куб. см
10000 куб. см : 100 куб. см = 100 раз

96

Ответы к стр. 96. Кубический дециметр и литр

327. «Маша, почему на мерной кружке около одного и того же деления с одной стороны написано 1 л, а с другой 1 куб. дм?» — спросил Миша.
Ответ Маши был таким: «Литр и кубический дециметр — это единицы объёма. А написаны они около одного и того же деления потому, что…»
Продолжи ответ Маши, опираясь на следующее соотношение.
1 л = 1 куб. дм

Эти единицы объёма равны между собой.

328. Сколько литров жидкости помещается в бак с прямоугольным дном площадью 6 кв. дм и высотой 1 дм? Какие размеры по длине и ширине может иметь дно этого бака?

6 кв. дм • 1 дм = 6 куб. дм = 6 л
6 кв. дм = 2 дм • 3 дм = 1 дм • 6 дм
Ответ: помещается 6 л воды, размеры дна могут быть 2 дм и 3 дм или 1 дм и 6 дм.

329. Металлический бак имеет форму куба. Длина его ребра 2 дм. Сколько литров воды помещается в этом баке?

2 дм • 2 дм • 2 дм = 8 куб. дм = 8 л
Ответ: в баке помещается 8 л воды.

330. Вместимость кастрюли 5500 куб. см. Можно ли в эту кастрюлю налить 5 л воды?

5500 куб. см = 5000 куб. см + 500 куб. см = 5 куб. дм + 500 куб. см = 5 л + 500 куб. см
Ответ: можно налить 5 л воды и останется свободным ещё 500 куб. см.

331. В двух одинаковых кастрюлях помещается 5 л воды. Определи вместимость одной такой кастрюли в кубических сантиметрах.

1) 5 л = 5 куб. дм = 5000 куб. см
2) 5000 куб. см : 2 = 2500 куб. см
Ответ: вместимость кастрюли 2500 куб. см.

332. Банка имеет вместимость 3 л. В неё налили 2300 куб. см молока. Сколько ещё кубических сантиметров молока нужно долить, чтобы наполнить банку?

1) 3 л = 3 куб. дм = 3000 куб. см
2) 3000 куб. см — 2300 куб. см = 700 куб. см
Ответ: нужно долить 700 куб. см молока.

97

Ответы к стр. 97. Литр и килограмм

333. В банку налили 1 л воды и поставили на одну чашу рычажных весов. На другую чашу поставили такую же пустую банку и гирю 1 кг. Весы оказались в состоянии равновесия. Что это означает?

Объем воды на левой чашке весов равен 1 л. Масса этой воды равна 1 кг, так как весы оказались в состоянии равновесия после того, как на левую и правую чашки рычажных весов поставили одинаковые пустые банки, а затем в одну банку налили 1 л воды, а в другую поставили гирю, массой 1 кг.

334. Сколько граммов в 1 кг? Если масса 1 л воды составляет 1 кг, то какую часть литра составляет 1 г воды?

1 кг = 1000 г, 1 л = 1 куб. дм = 1000 куб. см
1 кг = 1 л
1000 г = 1000 куб. см
1 г = 1 куб. см

335. Если бензин налить в воду, то этот бензин будет плавать сверху. Что легче: 1 л воды или 1 л бензина?

Поскольку бензин поднимается на поверхность воды, он легче воды, следовательно, 1 л бензина легче 1 л воды.

336. На комбинате расфасовали 100 кг мороженного в коробочки вместимостью 1 л. Для этого потребовалось 120 коробочек. Что тяжелее: 1 л этого мороженного или 1 л воды?

Если в коробки по 1 л разлить 100 кг воды (или 100 л воды), то потребуется 100 таких банок. Следовательно, 1 л воды тяжелее, чем 1 л мороженого: для мороженного потребовалось больше коробочек и 1 л мороженного весит меньше 1 кг.
Ответ: тяжелее 1 л воды.

337. Если растительное масло плавает на поверхности пресной воды, где масла будет больше: в 1 л или в 1 кг? Почему?

Растительное масло плавает на поверхности воды, следовательно, оно легче воды. 1 кг воды помещается в 1 л, а для того, чтобы поместить 1 кг вещества, которое легче воды, потребуется объем больше, чем 1 л. Следовательно, в 1 литре растительного масла меньше, чем в 1 кг.

98

Ответы к стр. 98. Разные задачи

338. Имеются банки вместимостью 2 л и 5 л. Как с помощью этих банок налить в кастрюлю 1 л воды из водопроводного крана?

Необходимо наполнить водой пятилитровую банку. Затем перелить из неё 2 л воды в двухлитровую банку. Вылить из двухлитровой банки воду и снова наполнить её двумя литрами из пятилитровой банки. Тогда в пятилитровой банке останется 1 л воды: 5 — 2 — 2 = 1 (л).

339. На почте продаётся 4 вида поздравительных открыток и 3 вида конвертов к ним. Маше нужно выбрать открытку и конверт и послать поздравление подруге.
Из скольких вариантов ей придётся делать выбор? Запиши каждый вариант с помощью шифра, состоящего из цифры и буквы. Цифрами 1, 2, 3, 4 обозначь номер открытки, а буквами А, Б, В — каждый вид конверта.

1-А, 1-Б, 1-В, 2-А, 2-Б, 2-В, 3-А, 3-Б, 3-В, 4-А, 4-Б, 4-В. Маше придётся выбирать из 12 возможных вариантов.
Более простой вариант решения задачи. Из четырех открыток нужно выбрать только одну, следовательно, число вариантов — 4. Каждую из четырёх открыток можно запаковать в один из трёх конвертов: 4 • 3 = 12 — вариантов.

340. Имеются банки вместимостью 2 л и 3 л. Как с помощью этих банок налить в бак 17 л воды из водопроводного крана.
Запиши решение этой задачи в виде суммы нескольких слагаемых, где в качестве слагаемых используются только числа 2 и 3, а значение суммы равно числу 17. Предложи три варианта решения.

1) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 = 17 (л)
2) 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 = 17 (л)
3) 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 17 (л)

341. В трёх ящиках лежат детали, изготовленные соответственно тремя рабочими. Один из рабочих изготовил детали, каждая из которых на 10 г тяжелее, чем должна быть по утверждённой норме. Два других рабочих изготовили стандартные детали с массой 900 г каждая. Из первого ящика взяли для контроля одну деталь, из второго — две, а из третьего — три. Эти шесть деталей взвесили на весах и получили 5420 г. Определи, в каком ящике лежат бракованные детали.

1) 900 • 6 = 5400 (г) — вес деталей по норме
2) 5420 — 5400 = 20 (г) — разница с весом по норме
3) 20 : 10 = 2 (д.) — бракованные
Ответ: взяли 2 бракованные детали из второго ящика.

99

Ответы к стр. 99

342. На четырёх автоматических линиях расфасовывали конфеты в упаковки по 300 г. На одной линии произошёл сбой, и упаковки стали получаться по 330 г. Как с помощью одного взвешивания определить, на какой линии произошёл сбой?

Необходимо взять для взвешивания с первой линии 1 пакет, со второй линии — 2 пакета, с третьей линии — 3 пакета, с четвёртой линии — 4 пакета.
1) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (п.) — взяли всего для взвешивания
2) 300 • 10 = 3000 (г) — вес пакетов по норме
3) 330 — 300 = 30 (г) — больше в одном пакете от нормы
После взвешивания отобранных пакетов необходимо вычесть из их массы вес пакетов по норме и разделить полученную разность на 30 — полученное число и будет номером линии, на которой произошёл сбой.

343. На следующей схеме изображены тропинки, по которым можно пройти от дома к берегу реки. Сколько всего имеется различных вариантов маршрута от дома до реки, если не проходить ещё раз по уже пройденному маршруту.

Необходимо подсчитать количество точек на берегу реки — их семь. Теперь нужно подсчитать количество отрезков из этих точек — их девять. Получается, что существует 9 возможных маршрутов, по которых можно от дома добраться до берега реки. Число точек на берегу реки (их 7), меньше, чем число маршрутов (их 9), так как к одной и той же точке в двух случаях из семи ведут два маршрута.

344. Изобразите в тетради в виде схемы, состоящей из точек и отрезков, их соединяющих, ситуацию, которая описана в формулировке задачи.
Сколько карандашей в 2-х упаковках, если в каждой упаковке находится по 3 коробки, а в каждой коробке лежит по 6 карандашей?
Запишите решение задачи в виде одного выражения. Вычислите ответ задачи и сравните его с тем числом, которое можно получить с помощью схемы.

2 • 3 • 6 = 36 (к.)
Ответ: 36 карандашей.

100

Ответы к стр. 100. Поупражняемся в измерении объёма

345. Назови номера фигур, которые имеют одинаковый объём, если они составлены из одинаковых кубиков.

Фигуры 3 и 4 состоят из 12 кубиков и имеют одинаковый объём.

101

Ответы к стр. 101

346. Рассмотри изображение геометрической фигуры и определи её объём в кубических сантиметрах, если она составлена из одинаковых кубиков, длина ребра каждого из которых равна 1 см.

Объём одного кубика равен: 1 см • 1 см • 1 см = 1 куб. см.
Количество кубиков в фигуре 30 штук. Тогда объём фигуры: 1 куб. см • 30 = 30 куб. см.

347. Коробка прямоугольной формы имеет длину 8 дм, ширину 5 дм и высоту 3 дм. Покажи на рисунке, как нужно размещать бруски прямоугольной формы в этой коробке, чтобы заполнить её полностью, если каждый брусок имеет длину 5 дм, ширину 2 дм и высоту 1 дм. Сколько таких брусков в этом случае помещается в коробке? Какую вместительность имеет коробка?

В коробке помещается 12 брусков.
Вместимость коробки: 8 дм • 5 дм • 3 дм = 120 куб. дм.

348. На рисунке изображена фигура, состоящая из трёх одинаковых кубов с длиной ребра 1 см. На рисунке в тетради дополни такую же фигуру до фигуры, имеющей объём 8 куб. см.

Объём одного кубика: 1 см • 1 см • 1 см = 1 куб. см. В новой фигуре должно быть 8 таких кубиков.

102

Ответы к стр. 102. Кто выполнил бо́льшую работу

349. Первый токарь за каждый час работы обрабатывает 5 деталей, а второй — за смену 42 детали. Кто из них выполняет бо́льшую работу за смену, если смена длится 8 ч? Сколько деталей обрабатывает первый токарь за смену?
Выполни разностное сравнение числа деталей, обработанных первым и вторым токарями за смену.

1) 5 • 8 = 40 (д.) — делает первый токарь
2) 42 — 40 = 2 (д.)
Ответ: второй токарь выполнил бо́льшую работу — он обрабатывает на 2 детали больше за смену, первый токарь обрабатывает 40 деталей за смену.

350. Миша прополол до обеда 6 грядок, а после обеда на 2 грядки больше. Маша прополола до обеда 5 грядок, а после обеда в 2 раза больше. Кто из детей за весь день выполнил бо́льшую работу, если считать все грядки одинаковыми?

1) 6 + 2 = 8 (г.) – прополол Миша после обеда
3) 5 • 2 = 10 (г.) – прополола Маша после обеда
2) 6 + 8 = 14 (г.) – прополол Миша за весь день
4) 5 + 10 = 15 (г.) – прополола Маша за весь день
5) 15 — 14 = 1 (г.)
Ответ: Маша выполнила бо́льшую работу — прополола на 1 грядку больше.

351. Одна бригада собрала клубнику с участка площадью 85 соток, а другая за это же время — с участка площадью 1 га. Какая бригада выполнила бо́льший объём работы за отведённое время?

Объем работы в данном случае измеряется площадью участка, обработанного за отведенное время. Необходимо привести площади обоих участков к одним единицам измерения — квадратным метрам.
85 соток = 8500 кв. м
1 га = 10000 кв. м
Ответ: бригада, собравшая клубнику с участка площадью 1 га, выполнила бо́льшую работу.

352. На старом оборудовании за смену изготавливают 45 деталей, а на новом — 90 деталей. Во сколько раз больше объём работы, выполняемой за смену на новом оборудовании, чем на старом? На сколько больше деталей можно изготовить на новом оборудовании, чем на старом, за 2 смены? За 3 смены?

1) 90 : 45 = 2 (р.) больше
2) 90 — 45 = 45 (д.) — больше за 1 смену
3) 45 • 2 = 90 (д.) — больше за 2 смены
4) 45 • 3 = 135 (д.) — больше за 3 смены
Ответ: в 2 раза, на 90 деталей за 2 смены, на 135 деталей за 3 смены.

353. Одна бригада разгрузила 3 т 500 кг удобрений, а другая — 35 ц таких же удобрений. Сравни между собой работу, выполненную этими бригадами.

Необходимо сравнить вес удобрений, которые разгрузили бригады за одно и то же время, выразив массы в одинаковых единицах измерения, например, в килограммах.
3 т 500 кг = 3500 кг
35 ц = 3500 кг
Ответ: бригады выполнили одинаковый объём работы.

103

Ответы к стр. 103. Производительность — это скорость выполнения работы

354. За 6 ч рабочий изготовил 72 детали. С какой ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬЮ в час работает этот рабочий, если число изготовленных деталей в час не изменяется?
Какова производительность этого рабочего за смену, если смена длится 8 ч, а производительность в час остаётся постоянной?

1) 72 : 6 = 12 (д.) — производительность в час
2) 12 • 8 = 96 (д.) — производительность за смену
Ответ: 12 деталей в час, 96 деталей в смену.

355. Сформулируй задачу по данной краткой записи.

                   Производительность Время работы Всего изготовили
1-й токарь   8 дет./ч                               8 ч                        ?
2-й токарь    7 дет./ч                              6 ч
Реши составленную задачу. Вычисли и запиши ответ.

Первый токарь работал 8 ч с производительностью 8 дет./ч, а второй – 6 ч с производительностью 7 дет./ч. Сколько всего деталей изготовили оба токаря?
1) 8 • 8 = 64 (дет.) – изготовил первый токарь
3) 7 • 6 = 42 (дет.) – изготовил второй токарь
2) 64 + 42 = 106 (дет.)
Ответ: всего изготовлено 106 деталей.

356. Составь краткую запись в виде таблицы к следующей задаче.
Первый контролёр за 1 ч проверяет 240 деталей. Производительность второго контролёра на 20 дет./ч больше. Сколько деталей может проверить каждый контролёр за 8 ч работы, если производительность каждого будет постоянной? С какой совместной производительностью работают эти контролёры?
Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.

                          Производительность Время работы Объём работы
1-й контролёр    240 дет./ч                          8 ч                         ?
2-й контролёр          ?,
                        на 20 дет./ч больше ↑           8 ч                        ?

1) 240 + 20 = 260 (дет./ч) – производительность 2-го контролёра
2) 240 • 8 = 1920 (дет.) – проверил 1-й контролёр
3) 260 • 8 = 2080 (дет.) – проверил 2-й контролёр
4) 240 + 260 = 500 (дет./ч) — совместная производительность
Ответ: 1920 деталей — 1-й контролёр, 2080 деталей — 2-й контролёр, 500 деталей в час — совместная производительность.

104

Ответы к стр. 104

357. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
На ткацкой фабрике за шестидневную рабочую неделю изготовили 48000 м ткани. Сколько ткани изготовят на этой фабрике за месяц, если в месяце 26 рабочих дней, а ежедневная производительность фабрики остаётся постоянной.

1) 48000 : 6 = 8000 (м/день) – производительность в день
2) 8000 • 26 = 208000 (м) – ткани изготовят за месяц
Ответ: 208000 м изготовят на фабрике за месяц.

358. Как изменится объём выполненной работы, если при том же рабочем времени производительность увеличится в 2 раза? Уменьшится в 3 раза?
Приведи по одному подтверждающему примеру.

3 дет./ч, за 6 часов 18 деталей
6 дет./ч, за 6 часов 36 деталей
9 дет./ч, за 6 часов 54 детали

Таким образом, если производительность увеличивается 2 раза, то при одном и том же времени выполнения работы, ее объем возрастает в 2 раза. Если производительность уменьшится в 3 раза, то объём выполненной работы уменьшится в 3 раза.

359. Производительность печатающего устройства 60 стр./мин. Вырази эту же производительность в стр./с и стр./ч.

Производительность 60 стр./мин, означает, что за 1 минуту устройство может напечатать 60 страниц.
1 мин = 60 с
1 ч = 60 мин
Значит, за 1 с производительность будет в 60 раз меньше, а за 1 час — в 60 раз больше.
60 стр./мин = 1 стр./с = 3600 стр./ч.

360. Какая копировальная машина работает с большей скоростью: машина с производительностью 2 стр./с или с производительностью 7000 стр./ч?

Для сравнения производительности нужно привести обе размерности к одним единицам измерения — стр./ч.
1 ч = 3600 с
Значит, за 1 ч производительность будет в 3600 раз больше: 2 стр./с • 3600 с = 7200 стр./ч
Ответ: машина с производительностью 2 стр./с работает с большей скоростью.

361. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Два контролёра готовой продукции совместно за 1 ч работы проверяют 500 деталей. С какой производительностью работает каждый контролёр, если производительность первого на 20 дет./ч меньше, чем второго?

1) 500 — 20 = 480 (дет./ч) — одинаковая производительность
2) 480 : 2 = 240 (дет./ч) — производительность первого контролёра
3) 240 + 20 = 260 (дет./ч) — производительность второго контролёра
Ответ: производительность первого контролёра 240 дет./ч, второго — 260 дет./ч.

362. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Токарь и его ученик вместе за 1 ч производят 60 деталей. С какой производительностью в час работает каждый из них, если производительность токаря в 3 раза больше, чем производительность ученика.

1) 3 + 1 = 4 (ч.) — всего
2) 60 : 4 = 15 (дет./ч) – производительность ученика
3) 15 • 3 = 45 (дет./ч) – производительность токаря
Ответ: 15 дет./ч — ученик, 45 дет./ч — токарь.

105

Ответы к стр. 105

363.  Чем похожи и чем отличаются формулировки следующих задач?
а. Стоимость 3 ч аренды спортивного зала составляет 360 руб. Какова цена аренды в час, если она постоянная?
б. Скорый поезд за 3 ч преодолел расстояние 360 км. С какой скоростью двигался поезд, если она была постоянной?
в. Бригада дорожных рабочих за 3 ч работы расчистила 360 кв.м дорожного полотна. С какой производительностью в час работала бригада, если её производительность постоянная?
Реши данные задачи. Вычисли и запиши ответы.
Чем похожи и чем отличаются между собой полученные решения?
Чем похожи и чем отличаются между собой полученные ответы?

Каждая из задач является простой задачей на нахождение, соответственно, цены, скорости, производительности.
Соответствующие числовые данные в этих задачах одинаковые.

а) 360 : 3 = 120 (руб.) - цена аренды в час
Ответ: 120 рублей в час.
б) 360 : 3 = 120 (км/ч) - скорость поезда
Ответ: 120 км/ч.
в) 360 : 3 = 120 (кв.м/ч) - производительность бригады
Ответ: 120 кв.м/ч.

Если сравнить решения этих задач и полученные ответы, то они будут одинаковыми в числовом плане (360 : 3 = 120), а отличаться будут только используемыми наименованиями.

364. Сформулируй задачи: одну на нахождение скорости, другую на нахождение производительности и ещё одну на нахождение расхода материала, решение которых может быть записано в виде выражения 450: 5. Для каждой из сформулированных задач вычисли и запиши ответы.

Учащимся предлагается самостоятельно сформулировать три задачи: одну – на нахождение скорости, другую – на нахождение производительности и еще одну – на нахождение цены, решение которых может быть записано в виде выражения 450 : 5. Действовать они должны с опорой на предыдущее задание. Как минимум, просто поменяйте в нем цифры на данные в задании 364.

365. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Сколько дней потребуется Маше для того, чтобы прочитать две книги, в одной из которых 240 страниц, а в другой — 210, если она будет читать со скоростью 50 страниц в день (стр./д.)?

Предлагается решить задачу на вычисление времени по известному объему выполненной работы (этот объем представлен в виде двух отдельных частей, которые предварительно нужно сложить) и известной производительности.

1) 240 + 210 = 450 (стр.) - в двух книгах
2) 450 : 50 = 9 (д.) - понадобится Маше
Ответ: 9 дней.

106

Ответы к стр. 106

366. Получи и запиши ответ на каждое требование задачи.
Одна бригада за 8 ч работы положила асфальт на площади 160 кв. м, а другая за это же время на площади 240 кв. м. С какой производительностью в час работала каждая бригада, если считать производительность постоянной? С какой производительностью в час работали совместно две бригады? Сколько квадратных метров дорожного полотна заасфальтировали бы за то же время две эти бригады, если бы работали с той же производительностью?

Учащиеся решают задачу, основу решения которой составляет умение вычислять производительность по известному объему выполненной работы и известному времени. Кроме этого, они вспомнят, как вычисляется совместная производительность (нужно складывать индивидуальные производительности, выраженные в одних и тех же единицах). В заключительной части этого задания нужно вычислить объем совместной выполненной работы за 8 ч. Сделать это можно двумя способами: либо складывая объемы выполненной работы за 8 ч каждой бригадой (160 + 240 = 400 (кв. м)), либо используя найденную совместную производительность (50•8 = 400 (кв. м)).

1) 160 : 8 = 20 (кв.м./ч) -  производительность одной бригады
2) 240 : 8 = 30 (кв.м./ч) -  производительность другой бригады
3) 20 + 30 = 50 (кв.м./ч) -  производительность двух бригад
4) 50•8 = 400 (кв. м) - заасфальтировали бы две бригады за 8 часов.

367. По следующей краткой записи сформулируй задачу.

Реши сформулированную задачу. Вычисли и запиши ответ.

Пример задачи: «Первая переводчица работает с производительностью 5 стр./ч, а вторая – на 2 стр./ч больше. Сколько страниц переведут они вместе, если первая будет работать 7 ч, а вторая – 5 ч?» 

1) 5 * 7 = 35 (стр.) - переведет первая переводчица
2) 5 + 2 = 7 (стр./ч) - производительность второй переводчицы
3) 7 * 5 = 35 (стр.) - переведет вторая переводчица
4) 35 + 35 = 70 (стр.) - переведут они вместе
Ответ: 70 страниц.

368. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Два токаря изготовили за смену 90 деталей. Производительность первого токаря на 2 дет./ч больше, чем второго. Сколько деталей изготовил каждый токарь за смену, если смена длится 8 ч?

Предлагается решить задачу, которая сводится к задаче «на сумму и разность». Для того чтобы произвести такое сведение данной задачи к знакомому учащимся типу задач, нужно сначала вычислить, на сколько больше деталей изготовил первый токарь за смену (за 8 ч). Так как производительность первого токаря на 2 дет./ч больше, чем второго, то за 8 ч первый токарь изготовит на 16 деталей больше, чем второй (2•8 = 16 (дет.)). После этого задача приобретает вид стандартной задачи «на сумму и разность», которую можно сформулировать так: «Два токаря изготовили за смену 90 деталей. При этом первый токарь изготовил на 16 деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый токарь за смену?» Для решения этой задачи сначала нужно вычислить удвоенное число деталей, которые изготовил второй токарь (90 – 16 = 74 (дет.)). После этого уже можно вычислить число деталей, которые изготовил за смену второй токарь (74 : 2 = 37 (дет.)) и которые изготовил первый токарь (37 + 16 = 53 (дет.)).

1) 2 * 8 = 16 (дет) - на столько больше изготовил первый токарь за смену
2) 90 – 16 = 74 (дет.) - удвоенное число деталей
3) 74 : 2 = 37 (дет.) - изготовил за смену второй токарь
4) 37 + 16 = 53 (дет.) - изготовил за смену первый токарь
Ответ: 53 детали и 37 деталей.

107

Ответы к стр. 107 . Отрезки, соединяющие вершины многоугольника

Данной темой мы открываем последний тематический блок первой части учебника. В нем будут рассмотрены вопросы геометрического характера. Начинаем мы с рассмотрения такого нового геометрического понятия, как диагональ многоугольника. Понятие диагонали будет в дальнейшем использовано при проведении разбиения многоугольника на треугольники.

369. Построй пятиугольник. Соедини каждую пару его вершин отрезком.
Обведи те отрезки, которые образуют границу пятиугольника. Как называются эти отрезки? Сколько отрезков осталось необведёнными? Эти отрезки называются диагоналями.
Сторона соединяет соседние вершины многоугольника. Какие вершины соединяет его диагональ?

При выполнении задания 369 учащиеся познакомятся с понятием диагонали многоугольника как отрезка, соединяющего вершины многоугольника, но не входящего в состав границы этого многоугольника, т. е. не являющегося стороной многоугольника. Для примера построения диагоналей многоугольника желательно рассматривать только выпуклые многоугольники, т. е. такие, для которых любая диагональ не выходит за границу этого многоугольника.

370. Сколько сторон и сколько диагоналей у четырёхугольника? У шестиугольника? У треугольника?

При выполнении задания  учащиеся на практике смогут установить зависимость между числом диагоналей и числом сторон рассматриваемого многоугольника.
Так, у четырехугольника две диагонали, у шестиугольника их уже девять, а у треугольника их нет совсем.

371. На какие два треугольника делит прямоугольник его диагональ? Сделай чертёж.

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника.

372. Сколько диагоналей выходит из одной вершины десятиугольника? Сделай чертёж.

Для ответа на этот вопрос учащиеся могут воспользоваться соответствующим чертежом, но могут обойтись и без чертежа. Для этого они должны понять, что из данной вершины десятиугольника можно провести диагонали в 7 вершин этого многоугольника, так как нельзя провести диагональ в эту же вершину, а также в две соседние.

373. Начерти многоугольник, у которого диагональ лежит на оси симметрии. Проведи эту диагональ в построенном многоугольнике.

Задание 373 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся должны вспомнить понятие «ось симметрии ». Многоугольником, у которого диагональ лежит на оси симметрии, может быть прямоугольник, в том числе квадрат, а может быть и произвольный ромб.

374. Может ли сторона многоугольника быть длиннее диагонали, если они выходят из одной и той же вершины? Проиллюстрируй свой ответ с помощью чертежа.

Задание относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается сравнить по длине сторону и диагональ, которые выходят из одной вершины многоугольника. На первый взгляд может показаться, что диагональ всегда длиннее стороны, и примеров тому можно привести достаточно много. На самом деле это не так: диагональ может быть и короче стороны.

375. Начерти многоугольник, у которого ровно 9 диагоналей.

Задание относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается начертить многоугольник, у которого ровно 9 диагоналей. В результате выполнения задания 370 учащиеся уже узнали, что у шестиугольника ровно 9 диагоналей. Поэтому начертить учащиеся могут любой выпуклый шестиугольник.

108

Ответы к стр. 108. Разбиение многоугольника на треугольники

При изучении темы учащиеся научатся разбивать данный многоугольник на треугольники как с помощью диагоналей, так и без их помощи.

376. В данном шестиугольнике проведи все возможные диагонали из одной его вершины. На какие фигуры эти диагонали разбивают шестиугольник? Сколько таких фигур получилось?

При выполнении задания 376 учащиеся научатся разбивать шестиугольник на треугольники с помощью диагоналей, проведенных из одной вершины. Таких треугольников получится четыре.

377. Начерти прямоугольник и разбей его на 4 треугольника.

В задании 377 учащимся предлагается сначала начертить прямоугольник, а потом разбить его на 4 треугольника. Сделать это можно с помощью двух диагоналей.

378. Восьмиугольник, изображённый на рисунке, нужно разбить на 6 треугольников. Покажи на рисунке в тетради, как это сделать.
Разбей такой же восьмиугольник на 8 треугольников.

В задании 378 предлагается разбить данный восьмиугольник на 6 треугольников. Сделать это можно с помощью диагоналей, проведенных из одной вершины. Для того чтобы разбить этот восьмиугольник на 8 треугольников, нужно выбрать некоторую внутреннюю точку восьмиугольника, и из нее провести отрезки в каждую вершину многоугольника.

379. Начерти остроугольный треугольник и разбей его на 3 треугольника.

В задании 379 учащимся предлагается начертить остроугольный треугольник и разбить его на три треугольника. Сделать это можно так: провести из вершины остроугольного треугольника два отрезка к противоположной стороне.

380. Начерти остроугольный треугольник и разбей его на 2 треугольника так, чтобы один из них был остроугольным, а другой — тупоугольным.

В задании 380 учащимся предлагается начертить остроугольный треугольник и разбить его на два треугольника так, чтобы один из них был остроугольным, а другой – тупоугольным. Сделать это можно следующим образом.

109

Ответы к стр. 109

381. Разбей прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Используя модель прямоугольника, сделанную из бумаги, убедись, что полученные прямоугольные треугольники равны.

В результате выполнения задания 381 учащиеся должны удостовериться в том, что диагональ разбивает прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.

382. Начерти остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Разбей каждый из треугольников на два прямоугольных треугольника. Как называется отрезок, с помощью которого такое разбиение можно выполнить?

В задании 382 учащимся предлагается разбить остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники на два прямоугольных треугольника. Сделать это они смогут, если проведут высоту соответственно из вершины острого угла, из вершины прямого угла, из вершины тупого угла.

383. Каждый из данных многоугольников разбей на 5 треугольников.

110

Ответы к стр. 110. Записываем числовые последовательности

Данной темой мы возвращаем учащихся к рассмотрению вопросов, относящихся к числовым последовательностям. Работа над предлагаемыми заданиями позволит учащимся научиться записывать числовые последовательности, вычисляя несколько первых членов данной последовательности, а также устанавливать арифметическую закономерность в предложенной последовательности геометрических фигур.

384. Последовательность начинается с числа 2, а каждое следующее число получается из предыдущего в два этапа: сначала предыдущее число нужно увеличить в 2 раза, а потом получившееся число нужно увеличить на 2.
Одна из трёх данных последовательностей составлена по этому правилу:
а) 2,6,18...  б) 2,6,10...  в) 2,6,14...

В задании 384 учащимся предлагается выбрать одну из трех данных последовательностей по известному первому члену последовательности и правилу получения следующего члена из предыдущего, которое состоит в выполнении двух действий (сначала умножения на число 2, а потом сложения с числом 2). Под указанные требования подходит только последовательность (в), причем это различие проявляется на третьем члене данных последовательностей.

385. Угадай, каким образом числа 1, 4, 9, 16 связаны с изображёнными на рисунке геометрическими фигурами.
Как должна выглядеть пятая геометрическая фигура в этом ряду? Изобрази её.
Каким должно быть пятое число в последовательности, которая составлена с учётом установленной зависимости?
Запиши установленную числовую последовательность, указав первые шесть чисел этой последовательности.

В процессе выполнения задания 385 учащиеся получают возможность познакомиться с последовательностью квадратов натуральных чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36 и т. д.) на примере рассмотрения последовательности соответствующих геометрических фигур с последующим переходом к арифметическому выражению представленной закономерности.

111

Ответы к стр. 111

386. Угадай, каким образом числа 1, 8, 27 связаны с изображёнными на рисунке геометрическими фигурами.
Каким должно быть четвёртое число в последовательности, которая составлена с учетом установленной зависимости? Запиши эту последовательность, указав первые четыре числа этой последовательности.

Задание 386 является логическим продолжением предыдущего задания. Только теперь речь идет не о последовательности квадратов натуральных чисел, а о последовательности кубов натуральных чисел со всеми вытекающими из этого факта последствиями: рассматривается последовательность кубов, составленных из 1, 8, 27 и т. д. одинаковых кубиков, что позволяет перейти к рассмотрению соответствующей арифметической закономерности, выражающейся последовательностью чисел 1, 8, 27, 64 и т. д.

387. Последовательность начинается с числа 3, а каждое следующее число получается из предыдущего в два этапа: сначала предыдущее число нужно увеличить в 3 раза, а потом получившееся число нужно увеличить на 3.
 Запиши первые пять чисел этой последовательности. Сравни свою последовательность с последовательностью, полученной соседом по парте.

В задании 387 учащимся предлагается поупражняться в вычислении нескольких (пяти) первых членов последовательности, заданной с помощью «двойного» правила (сначала предыдущее число нужно увеличить в 3 раза, а потом полученный результат увеличить на 3) и указания первого члена последовательности. С аналогичной ситуацией учащиеся уже сталкивались при решении задания 384, поэтому алгоритм действий им должен быть понятен, а заменить число 2 на число 3 в вычислительном плане не сложная проблема.

388. Последовательность начинается с числа 2, а каждое следующее число получается из предыдущего в два этапа: сначала предыдущее число нужно увеличить в 2 раза, а потом получившееся число нужно уменьшить на 2.
Запиши первые три числа этой последовательности. Сравни свою последовательность с последовательностью, полученной соседом по парте.

На первый взгляд в задании 388 учащимся предлагается поработать с последовательностью, которая устроена аналогично последовательности из задания 384, но здесь есть одно принципиальное отличие, которое выражается в том, что после увеличения предыдущего числа в 2 раза осуществляется процедура уменьшения (а не увеличения) полученного результата на 2. Учитывая, что первое число в этой последовательности равно 2, мы получаем последовательность, все члены которой равны числу 2. Учащихся не дол- жен смущать тот факт, что последовательность может состоять из бесконечного повторения одинаковых чисел. Им нужно объяснить, что такое вполне возможно. В данном случае это будет следующая последовательность чисел: 2, 2, 2, 2, 2 и т. д.

112

Ответы к стр. 112. Работа с данными

Тема имеет прямое отношение к той содержательной линии нашего курса, которую мы назвали информационной. С такими заданиями учащиеся уже сталкивались. Изучение данной темы предполагает проведение целенаправленной работы с данными в ситуации, когда эта работа является основной, а не сопутствующей. Предлагаемые задания могут быть использованы как дополнительные на разных уроках, так и при проведении тематического урока, построенного на этих заданиях. Их можно также использовать в качестве домашних заданий исследовательского характера.

389. В таблице представлены данные по некоторым видам внеклассных занятий в субботу.

Построй столбчатую диаграмму, иллюстрирующую число учеников двух первых классов, двух вторых, двух третьих и двух четвёртых классов, посещающих спортивные секции в этот день.
Построй диаграммы, отвечающие этим же условиям, для остальных видов внеклассных занятий.
Построй столбчатую диаграмму, иллюстрирующую число всех учеников начальной школы, посещающих каждый из данных видов внеклассных занятий в субботу.

Для построения диаграммы, иллюстрирующей число учеников в двух первых классах, двух вторых, двух третьих и двух четвертых классах, посещающих спортивные секции в субботу, нужно сначала вычислить необходимые число с помощью табличных данных: для первых классов это число равно 11, для вторых – 11, для третьих – 12, для четвертых – 16. После этого уже можно начинать строить столбчатую диаграмму, состоящую из четырех столбиков (по числу классов) соответствующей высоты (11, 11, 12 и 16). Аналогично выполняются и другие задания. Так, последнее задание требует сначала произвести сложение отдельно в каждом столбике данной таблицы, а уже потом осуществить построение столбчатой диаграммы со столбиками высотой 50, 21, 34 и 31, которые будут иллюстрировать число учеников начальной школы, занимающихся, соответственно, в спортивных секциях, в музыкальном кружке, в проектной деятельности «Человек и природа», в кружке изобразительного искусства.

113

Ответы к стр. 113

390. В таблице приведены данные по количеству учебных часов, которые отводятся на изучение соответствующего раздела программы по математике в начальной школе.

Сколько всего учебных часов отводится на изучение начального курса математики согласно данному тематическому планированию?
Сколько учебных недель будет продолжаться обучение, если в неделю должно быль 4 урока математики?
Построй диаграмму, отражающую количество часов, отведённое на изучение каждого раздела программы.
С помощью диаграммы произведи упорядочение разделов программы в порядке убывания количества учебных часов.

В задании 390 учащимся предлагается провести работу, аналогичную той, которую они проводили в предыдущем задании (анализ таблицы, получение необходимой информации из таблицы, построение диаграмм), но для работы предлагается использовать данные по количеству учебных часов, которые отводятся на изучение соответствующего раздела программы по математике в начальной школе. Для ответа на последний вопрос задания учащиеся должны упорядочить (в порядке убывания) числа, выражающие число учебных часов по каждому разделу программы (190, 110, 70, 50, 40, 40, 40). При этом последние три раздела программы можно указывать в любой последовательности.

114

Ответы к стр. 114

391. В таблице 1 представлены результаты выступления мальчиков 4-ro отряда по некоторым видам спартакиады летнего оздоровительного лагеря «Дружба».

В таблице 2 показано число очков, которые начисляются за то или другое место по каждому виду спортивных состязаний.

Место           1 2 3 4 5 6 7
Число очков 7 6 5 4 3 2 1

Составь таблицу 3, в которой будет показано, сколько очков в каждом виде спорта набрал каждый участник.
Составь столбчатую диаграмму, на которой будет видно, сколько очков в сумме набрал каждый участник за все четыре вида спортивных состязаний.
С помощью составленной диаграммы определи победителя и расставь остальных участников многоборья по занятым местам. Можешь составить соответствующую таблицу.

В задании учащимся предлагается построить таблицу, в которой будет показано, сколько очков в каждом виде спорта набрал каждый участник. Сделать это они смогут, если сначала проанализируют и сопоставят две таблицы на предмет выяснения того, сколько очков за каждый вид соревнования получил каждый участник. (Для этого сначала нужно определить, какое место он занял в этом соревновании, а уже потом – сколько очков он за это получил.) Завершается выполнение задания составлением итоговой таблицы по результатам спартакиады, в которой все участники расставлены по занятым ими местам.

                     Бег       Прыжки  Прыжки  Метание  Всего
                 на 200м  в длину   в высоту мяча         очков
1 Виктор Б.    2          3                2            3              10
2 Сергей Д.   1           2                3            2               8
3 Андрей З.   4          4                4             5              17
4 Борис К.     3          1                 1            1                6
5 Руслан Т.    6          5                 5            4              20
6 Сергей Ф.   5          7                 6            7              25
7 Максим Ш.  7          6                7            6               26

   26    25
|          __
|                  20      
|                              
|                          17
|                          __
|                              
|                                  10 
|                                           8
|                                                   6
|                                                       
|                                                        
|                                                         
|____________________________
   М    С.Ф    Р    А     В      С.Д   Б

На диаграме 1 клетка - 2 очка. Половина клетки (у нас полосочка, а вы закрашивайте половину) - 1 очко. 

1 место    Максим Ш.
2 место    Сергей Ф.
3 место    Руслан Т.
4 место    Андрей З.
5 место    Виктор Б.
6 место    Сергей Д.
7 место    Борис К. 

115-118 Словарь

Стр. 115-118. Словарь

В данном приложении содержится фрагмент толкового словаря математических терминов. Перечень терминов, которые включены в этот фрагмент, определяется программным материалом первой части учебника «Математика», а также значимостью и сложностью соответствующих понятий. Работа со словарем уже хорошо знакома учащимся, и мы продолжаем ее проводить. Те задания, при выполнении которых имеет смысл обратиться к данному словарю, специального обозначения не имеют, но в тексте самих заданий есть специальное указание на использование соответствующей статьи словаря. Мы совсем не исключаем, что некоторые учащиеся ознакомятся с содержанием словаря еще до того момента, когда соответствующая информация им потребуется. Такой познавательный интерес учащихся можно только поощрять, но считать такой подход обязательным нецелесообразно.

119

Ответы к стр. 119. Приложение 1. Тема: «Площадь прямоугольного треугольника»

Данная тема, как и две последующие, отнесены нами к разряду факультативных, поэтому они включены в приложение. Это объясняется тем, что материал этих тем предполагает углубленное изучение вопросов геометрического характера. При этом вопросы, которые в них рассматриваются, вполне доступны четвероклассникам, а их изучение имеет пропедевтическую значимость. Поэтому мы рекомендуем учителю изыскать возможность для рассмотрения этих тем. Результатом рассмотрения данной темы должно стать понимание учащимися того, как можно вычислить площадь прямоугольного треугольника, если опираться на площадь соответствующего прямоугольника.

1. При выполнении задания 1 учащиеся самостоятельно должны сформулировать способ получения прямоугольника из двух равных прямоугольных треугольников. Этот факт позволяет утверждать, что площадь такого прямоугольника в 2 раза больше, чем площадь соответствующего прямоугольного треугольника.

2. В задании 2 учащиеся еще раз должны обратить внимание на тот факт, о котором речь шла в предыдущем задании. Только теперь эти рассуждения сопровождаются еще и вычислениями. Вычислив сначала площадь прямоугольника (4•3 = 12 (кв. см)), учащиеся далее должны вычислить и площадь соответствующего прямоугольного треугольника (12 : 2 = 6 (кв. см)).

3. В задании 3 учащимся предлагается выбрать из данного набора те правила, с помощью которых можно вычислить площадь прямоугольного треугольника. К таким правилам относятся правила из пунктов а) и б).

120

Ответы к стр. 120

4. В задании 4 предлагается разрезать прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см на две части, из которых можно составить прямоугольник со сторонами 3 см и 2 см. На рис. 13 показано, как это можно сделать.

5. В задании 5 предлагается вычислить площадь каждого из закрашенных треугольников (все они прямоугольные), проведя необходимые измерения. Для выполнения этого задания учащиеся прежде всего должны обратить внимание на то, что площадь треугольника составляет половину от площади соответствующего прямоугольника. После этого нужно измерить стороны прямоугольников, далее вычислить площади этих прямоугольников и, наконец, вычислить площади соответствующих треугольников.

121

Ответы к стр. 121. Вычисление площади треугольника

При изучении этой темы учащиеся должны усвоить, что площадь произвольного треугольника можно вычислить на основе вычисления площади соответствующих прямоугольных треугольников, на которые можно разбить любой треугольник (см. задание 382).

6. При выполнении задания 6 учащиеся познакомятся со способом вычисления площади равнобедренного треугольника, который можно сформулировать в виде следующего правила: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения основания на высоту.

7. Результатом выполнения задания 7 должно стать понимание учащимися того, что площадь любого треугольника можно вычислять по формуле, описанной в предыдущем задании, а именно: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Обоснование этой формулы построено на сравнении площади треугольника с площадью соответствующего прямоугольника.

122

Ответы к стр. 122

8. В задании 8 учащимся предлагается выбрать из данного набора те правила, с помощью которых можно вычислить площадь треугольника. Такими правилами являются правила из пунктов а), б), г).

9. В задании 9 учащимся предлагается провести необходимые разбиения и измерения для того, чтобы вычислить площадь каждого закрашенного треугольника. Площадь каждого такого треугольника равна половине площади соответствующего прямоугольника (это легко установить с помощью соответствующих разбиений). Так как все прямоугольники имеют одинаковые размеры (4 см и 2 см), то площади всех треугольников будут равны (4 кв. см).

123

Ответы к стр. 123. Поупражняемся в вычислении площади

В этой теме дана подборка заданий на вычисление площади различных фигур и реальных объектов. В основе практически всех необходимых для решения заданий вычислений лежит формула площади прямоугольника. В последнем задании фигурирует и формула площади треугольника.

10. Учащимся предлагается вычислить площадь каждой из закрашенных фигур, выполнив предварительно необходимые измерения. На рисунке представлены многоугольники двух типов: без «отверстий» и с «отверстиями». Фигуры, которые не имеют «отверстий», могут быть разбиты на прямоугольники, площадь которых может быть легко вычислена после проведения необходимых измерений. Для фигур с «отверстиями» нужно применить другой способ: сначала нужно вычислить площадь всей фигуры, считая, что в ней нет «отверстий»; потом нужно вычислить площадь «отверстий»; наконец, с помощью вычитания полученных площадей нужно вычислить площадь искомой фигуры. Для вычисления площади «отверстий» там, где это требуется, их также нужно разбить на прямоугольники, а в случае, когда имеется два «отверстия» размером 2 см на 5 мм, лучше их объединить, получив общее «отверстие» размером 2 см на 1 см.

124

Ответы к стр. 124

11. Предлагается вычислить жилую площадь квартиры, которая складывается из площадей трех комнат. Размеры каждой комнаты можно узнать из данной таблицы. Так как комнаты имеют прямоугольную форму, то для вычисления их площади нужно воспользоваться формулой площади прямоугольника.

12. Для выполнения задания 12 сначала нужно сравнить площадь данного листа бумаги (7•7 = 49 (кв. см)) с общей площадью 50 «единичных» квадратов (1•50 = 50 (кв. см)). Так как общая площадь квадратов больше площади листа бумаги, то вырезать это число квадратов из данного листа бумаги нельзя ни при каком способе разрезания! Квадрат со стороной 2 см имеет площадь 4 кв. см. Поэтому максимальное число таких квадратов, которые можно вырезать из данного листа бумаги, если не учитывать возникающие при выкраивании ограничения, можно определить с помощью деления с остатком: 49 : 4 = 12 (ост. 1), т. е. в лучшем случае таких квадратов можно вырезать 12 штук. На самом деле их будет меньше. Реально удается вырезать только 9 «целых» квадратов (рис. 14). Если разрезать нужным образом оставшиеся полоски, то из их частей можно было бы сложить еще 3 таких квадрата (12 – 9 = 3).

13. Задание относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся сначала должны вычислить площадь листа бумаги прямоугольной формы (20•10 = 200 (кв. см)). После этого они должны вычислить площадь прямоугольного треугольника, предварительно установив, что катеты этого треугольника имеют длину 9 см и 12 см (сторона 15 см не может выступать в роли катета, так как она самая длинная из трех данных сторон). Площадь прямоугольного треугольника они могут вычислить, умножив длину одного катета на половину длины другого (9•6 = 54 (кв. см)). Теперь можно вычислить площадь оставшихся обрезков (200 – 54 = 146 (кв. см)).

125

Ответы к стр. 125. Приложение 2. Тема: «Геометрические фигуры и геометрические величины»

Предлагается подборка заданий, выполнение которых учащимися будет способствовать более глубокому пониманию существующих связей между геометрическими фигурами и геометрическими величинами. Предлагаемые задания можно использовать как на соответствующих тематических уроках, так и для организации специального урока по этой теме.

1. Для выполнения задания 1 от учащихся потребуется понимание того факта, что вместимость первого аквариума равна 1 куб. дм, а второго – 1 куб. м., а также знание соотношения между этими единицами вместимости (объема), которое выражается соотношением 1 куб. м = 1000 куб. дм. Если последнее соотношение не является для учащихся актуальным знанием, то можно предложить им вспомнить соотношения между 1 м и 1 дм, а также между 1 кв. м и 1 кв. дм, и провести рассуждения по аналогии. После того как учащиеся установят, что вместимость второго аквариума в 1 000 раз больше вместимости первого аквариума, они смогут дать ответ и на вопрос задания (вместимость второго аквариума 1 000 л).

2. Задание 2 по смыслу связано с предыдущим заданием. Для его выполнения учащиеся сначала должны построить (мысленно или на рисунке) модель куба, состоящую из 125 одинаковых кубиков. Такая модель должна содержать по 5 кубиков в каждом ряду. Тогда в одном слое будет 25 кубиков, а в 5 слоях – 125 кубиков. Если теперь по предложенному правилу строить (мысленно) аквариум из 125 «маленьких» аквариумов в форме куба вместимостью 1 л, то искомый аквариум будет иметь размеры 5 дм • 5 дм • 5 дм, а вместимость его будет равна 125 л.

3. В задании 3 учащимся предлагается поработать с разверткой куба. Сначала им можно предложить вспомнить и изобразить любую развертку куба, обратив их внимание на тот факт, что в развертке 4 квадрата должны располагаться в ряд, а еще два квадрата – по одному по разные стороны от этого ряда. Следуя этому правилу, не составляет особого труда разрезать данную фигуру на две развертки куба. Сделать это можно следующим образом:

126

Ответы к стр. 126

4. Для решения задания 4 учащиеся сначала должны сопоставить размеры коробки с размерами листов оберточной бумаги. Так как коробка имеет форму куба с длиной ребра 2 дм, то по периметру ее размер составляет 8 дм. Поэтому нам нужен оберточный лист, имеющий длину не менее 8 дм. Такой лист у нас есть (другой лист не подходит). Его размеры: длина – 8 дм, а ширина – 4 дм. Если коробку поставить так, чтобы по ширине листа до краев оставались одинаковые по размеру части (по 1 дм), то сначала можно обернуть коробку по периметру боковых граней (8 дм), соединив края листа «в стык» (закрыв полностью нижнюю, переднюю, верхнюю и заднюю грани), а потом загнуть боковые участки листа (по 1 дм) навстречу друг другу и «в стык» (они полностью закроют боковые грани. Оставшиеся «лишние уголки» можно отрезать, а можно за- гнуть. При этом изначально коробку можно располагать в любом месте полосы, которая имеет длину 8 дм, а ширину – 2 дм и которая оставляет по краям листа одинаковые полоски шириной 1 дм. Единственное требование состоит в том, чтобы дно коробки не выходило за пределы указанной полосы, что обеспечит параллельность ребер коробки и соответствующих краев (отрезков) оберточной бумаги.

5. Задание 5 логически связано с предыдущим заданием, так как потребуется работа по анализу формы и размеров куба. Для его решения учащиеся сначала должны вычислить длину ленты (без учета той длины, которая идет на завязывание банта). Учитывая способ перевязывания коробки, интересующая нас длина ленты составляет два периметра грани (см. рисунок в учебнике), т. е. она равна 240 см (30 см•4•2 = 240 см). После этого к найденной длине нужно прибавить 80 см (40 см •2 = 80 см), т. е. длину той части ленты, которая идет на завязывание банта. Таким образом, искомая длина ленты равна 320 см (240 см + 80 см = 320 см).

127

Ответы к стр. 127

6. Начать решение задания 6 имеет смысл с установления того факта, что длина 30 м укладывается ровно 3 раза в длине 90 м, а ширина 20 м укладывается ровно 4 раза в ширине 80 м. Это можно установить, опираясь только на арифметические знания, а можно провести соответствующую работу с планом участка, выполненным в масштабе 1:1 000 (в 1 см 1 000 см). Указания по построению такого плана даны в тексте задания. С помощью построенного плана и отмеченного выше арифметического факта без особого труда можно установить, что исходный участок можно разбить на 12 «маленьких» одинаковых участков прямоугольной формы (см. рисунок): (Показанный прямоугольник на рисунке должен иметь размеры 9 см на 8 см.) При таком разбиении каждый «маленький» участок будет иметь площадь 30 м •20 м = 600 кв. м (по 6 «соток»), и этих участков будет 12. Для того чтобы вычислить длину ограждения всех участков, нужно на плане подсчитать число отрезков длиной 30 м (этих отрезков будет 15) и число отрезков длиной 20 м (этих отрезков будет 16). Таким образом, общая длина ограждений составит 770 м (30 м•15 + 20 м•16 = 770 м).

7. Первым шагом в решении задания 7 должно стать понимание того факта, что площадь куска линолеума должна быть равна площади пола в кухне. Это следует из условия задания:
1) так как линолеум должен полностью застилать пол в кухне, то площадь куска линолеума не может быть меньше площади пола в кухне;
2) так как на линолеуме нет определенного узора и можно соединять любые части, то «лишних» обрезков не будет и кусок большей площади не потребуется.
Поэтому следует купить кусок линолеума длиной 4 м 50 см ( 3 м • 3 м = 9 кв. м и 9 кв. м : 2 м = 4 м 50 см).
От этого куска линолеума сначала нужно отрезать кусок в форме прямоугольника размером 3 м на 2 м и постелить его на пол в кухне таким образом, чтобы на полу осталась «свободная часть» в форме прямоугольника размером 3 м на 1 м.
Оставшуюся часть линолеума, которая имеет форму прямоугольника размером 2 м на 1 м 50 см, нужно разрезать пополам, получив два одинаковых куска прямоугольной формы размером 1 м 50 см на 1 м, из которых можно составить кусок в форме прямоугольника размером 3 м на 1 м.
Именно этим составным куском линолеума и можно закрыть оставшуюся часть пола в кухне.
Для того чтобы вычислить стоимость покупки, учащиеся сначала должны вспомнить, что потребовалось купить кусок линолеума длиной 4 м 50 см, а цена линолеума (это следует из условия задачи) составляет 2000 руб./м.
После этого не составляет большого труда вычислить стоимость покупки: 2000 руб./м • 4 м 50 см = 9 000 руб.
Если ученики будут испытывать затруднения из-за наличия в выражении длины куска не только метров, но и сантиметров, то вычисление стоимости можно произвести по частям: сначала вычислить стоимость куска длиной 4 метра (2 000 руб. • 4 = 8000 руб.),
потом вычислить стоимость куска длиной 50 см (2 000 руб. : 2 = 1 000 руб.)
и, наконец, сложить эти стоимости (8 000 руб. + 1 000 руб. = 9 000 руб.).

 

Конец первой части учебника.