В этой статье поговорим о четырехугольнике и о вписанной в него окружности. Само собой нас будет интересовать теория, то есть свойства, ну и конечно же практическое применение наших знаний. А так как речь идет в том числе и о ОГЭ, то приведены будут примеры возможных задач для сдачи этого самого ОГЭ.

Вспомним, что мы знаем про вписанную в четырехугольник окружность.

1) Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.

2) В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: АВ+СD=ВС+АD

3) Если в четырёхугольник вписана окружность, то площадь такого четырёхугольника можно вычислить по формуле:
S=√(р-а)(р-b)(р-с)(р-d)

4) Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр вписанной в четырёхугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В рассматриваемом задании нам пригодится пункт 2. Для трапеции всё то же самое, так как это тоже четырехугольник.

Варианты заданий из ФИПИ

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=7, BC=10, CD=14. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD=7+14-10=11

Ответ: 11

F4E03B

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=5, BC=9, CD=16. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD=5+16-9=12

Ответ: 12

3816E1

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=6, BC=8, CD=11. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 6 + 11 - 8 = 9

Ответ: 9

709006

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=4, BC=12, CD=21. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 4 + 21 - 12 = 13

Ответ: 13

A4486B

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=8, BC=20, CD=17. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 8 + 17 - 20 = 5

Ответ: 5

385365

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=11, BC=7, CD=12. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 11 + 12 - 7 = 16

Ответ: 16

613B01

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=12, BC=6, CD=13. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 12 + 13 - 6 = 19

Ответ: 19

EFA10C

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=10, BC=14, CD=22. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 10 + 22 - 14 = 18

Ответ: 18

0370EF

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=9, BC=13, CD=18. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 9 + 18 - 13 = 14

Ответ: 14

9EF990

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=14, BC=15, CD=23. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 14 + 23 - 15 = 22

Ответ: 22

4AB81B

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=11, BC=6, CD=9. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 11 + 9 - 6 = 14

Ответ: 14

1EB109

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=12, BC=4, CD=8. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 12 + 8 - 4 = 16

Ответ: 16

2137EB

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=9, BC=5, CD=7. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 9 + 7 - 5 = 11

Ответ: 11

3EC075

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=13, BC=4, CD=11. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 13 + 11 - 4 = 20

Ответ: 20

B702D4

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=7, BC=5, CD=17. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 7 + 17 - 5 = 19

Ответ: 19

51FCB4

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=10, BC=6, CD=12. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 10 + 12 - 6 = 16

Ответ: 16

31C2A9

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=11, BC=5, CD=13. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 11 + 13 - 5 = 19

Ответ: 19

1C5C6F

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=18, BC=9, CD=13. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 18 + 13 - 9 = 22

Ответ: 22

202F8B

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=14, BC=8, CD=12. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 14 + 12 - 8 = 18

Ответ: 18

D136EB

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB=14, BC=13, CD=22. Найдите AD.

Решение:

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 14 + 22 - 13 = 23

Ответ: 23

D852E5