Еще одна тематика задач которые вам могут встретиться на ОГЭ, так это задачи связанные с зависимостью между углом и стороной, которую надо найти. Здесь в самый раз применить гармонически функции, а именно sin и cos. Именно они и будут нашими палочками выручалочками, для того чтобы находить сторону по прилежащему и противолежащему углу.
Задачи будут приведены для наиболее характерных геометрических фигур, если так можно выразиться, для треугольников и четырехугольников. Ну что же, давайте к нашим заданиям из открытого банка ФИПИ, которые могут встретиться при сдаче вашего ОГЭ.
Задания типа "найдите сторону треугольника/трапеции по двум углам и стороне" из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, которые могут попасться вам на реальном экзамене в этом году.
Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ
В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC=6√2. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{6\sqrt2}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac12=\frac{6\cancel{\sqrt2\ast2}}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=6$
Ответ: 6
259003
В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC=8√2. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{8\sqrt2}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac12=\frac{8\cancel{\sqrt2\ast2}}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=8$
Ответ: 8
ED3166
В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC=3√6. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{3\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac{\sqrt3}2=\frac{3\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt{3)}}\ast\cancel2\ast\sqrt3}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=3\ast3=9$
Ответ: 9
77738E
В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC=4√6. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{4\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac{\sqrt3}2=\frac{4\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt{3)}}\ast\cancel2\ast\sqrt3}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=4\ast3=12$
Ответ: 12
CF68F7
В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC=6√6. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{6\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac{\sqrt3}2=\frac{6\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt{3)}}\ast\cancel2\ast\sqrt3}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=6\ast3=18$
Ответ: 18
37EFD3
В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC=5√6. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{5\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt3}2}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{5\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt2}\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel{\sqrt3}\ast\cancel2}=5\ast2=10$
Ответ: 10
A12702
В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC=7√6. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{7\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt3}2}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{7\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt2}\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel{\sqrt3}\ast\cancel2}=7\ast2=14$
Ответ: 14
358C45
В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC=11√2. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{11\sqrt2}{\displaystyle\frac12}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{11\sqrt2\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel2}=11\ast2=22$
Ответ: 22
1EC0C4
В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC=8√2. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{8\sqrt2}{\displaystyle\frac12}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{8\sqrt2\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel2}=8\ast2=16$
Ответ: 16
A1BB3A
В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC=10√2. Найдите AC.
Решение:
По теореме синусов:
$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$
АС = ВС/sinA * sinB
$АС=\frac{10\sqrt2}{\displaystyle\frac12}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{10\sqrt2\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel2}=10\ast2=20$
Ответ: 20
2BB84C
Задания с развернутым ответом
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD=26.
Решение:
Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих прямоугольниках, кроме прямого и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.
Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-150°=30°
Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH
CH=sinCDH*CD
CH=sin30*26
$CH=32\ast\frac12=16$
Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
AB=16/sin45
$AB=\frac{16}{\sin45}=\;\frac{16}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}=\frac{16\ast\sqrt2\ast\sqrt2}{\sqrt2}=16\ast\sqrt2$
Ответ: 16*√2
705153
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.
Решение:
Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих прямоугольниках, кроме прямого и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.
Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-120°=60°
Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH
CH=sinCDH*CD
CH=sin60*25
$CH=\sin60\ast25\\CH=\frac{\sqrt3}2\ast25=12,5\sqrt3\\$
Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
$AB=\frac{12,5\sqrt3}{\sin30}=\;\frac{12,5\sqrt3}{\displaystyle\frac12}=25\sqrt3$
Ответ: 25*√3
92214F
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD=40.
Решение:
Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих прямоугольниках, кроме прямого и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.
Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-120°=60°
Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH
CH=sinCDH*CD
CH=sin60*40
$CH=\sin60\ast40\\CH=\frac{\sqrt3}2\ast40=20\sqrt3\\$
Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
$AB=\frac{20\sqrt3}{\sin45}=\;\frac{20\sqrt3}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}=20\sqrt3\sqrt2=20\sqrt6$
Ответ: 20*√6
EE99B1
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD=34.
Решение:
Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих прямоугольниках, кроме прямого и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.
Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-120°=60°
Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH
CH=sinCDH*CD
CH=sin60*34
$CH=\sin60\ast34\\CH=\frac{\sqrt3}2\ast34=17\sqrt3\\$
Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
$AB=\frac{17\sqrt3}{\sin45}=\;\frac{17\sqrt3}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}=17\sqrt3\sqrt2=17\sqrt6$
Ответ: 17*√6
D4D0BC
