Следующие задания с расширенным ответом из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, могут вам попасться на реальном экзамене в этом году. В задаче необходимо найти длину отрезка в окружности которая пересекает стороны треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP.

Задания из банка ФИПИ к ОГЭ по математике, геометрия части 2

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=6, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{1.5\ast BC}=\frac{AK}{1.5}$

6:1,5=4

Ответ: 4

3A4E2D

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{2\ast BC}=\frac{AK}{2}$

14:2=7

Ответ: 7

23F177

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{1.2\ast BC}=\frac{AK}{1.2}$

18:1,2=15

Ответ: 15

27E2F1

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=7, а сторона AC в 1,4 раза больше стороны BC.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{1.4\ast BC}=\frac{AK}{1.4}$

7:1,4=5

Ответ: 5

3BDDCB

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=16, а сторона AC в 1,6 раза больше стороны BC.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{1.6\ast BC}=\frac{AK}{1.6}$

16:1,6=10

Ответ: 10

E847C5

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=36, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{1.8\ast BC}=\frac{AK}{1.8}$

36:1,8=20

Ответ: 20

9A2CC6

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=21, а сторона BC в 1,5 раза меньше стороны AB.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{1.8\ast BC}=\frac{AK}{1.8}$

36:1,8=20

Ответ: 20

AD1CCC

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=9, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{3\ast BC}=\frac{AK}{3}$

9:3=3

Ответ: 3

853489

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=34, а сторона BC в 2 раза меньше стороны AB.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{2\ast BC}=\frac{AK}{2}$

34:2=17

Ответ: 17

DDE606

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=30, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.

Решение:


Поскольку четырёхугольник KPCB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, ∠KBC + ∠KPC=180 градусов. Углы APK и KPC  — смежные, следовательно, ∠APK + ∠KPC=180 градусов. Из приведённых равенств, получаем, что ∠KBC=∠APK. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, следовательно, треугольники подобны, откуда:

KP/BC  = AK/AC = AP/AB 
AK/AC = KP/BC, найдём KP: 

$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{AC}\\KP=\frac{AK\ast BC}{1.2\ast BC}=\frac{AK}{1.2}$

30:1,2=25

Ответ: 25

A39656