На этой странице можно будет найти ответы к одному из возможных школьных пособий, которые вполне могут быть и у вас. Если так произошло, то это замечательно, ведь вы сейчас без труда сможете найти ответы к домашним заданиям по матеше, школьники их называют ГДЗ, то есть готовые домашние задания, что весьма логично и отчасти не точно, ведь они те то что готовые, они решенные и быть может более правильно было бы называть их РГЗ;)
Ну так вот, мы приведем решения для рабочей тетради по математике, 1 части за 6 класс авторов Мерзляк, Полонский, Якир. Сами ответы будут приведены по номерам, то есть выбираем нужный номер согласно тетради, смотрим на ответы к нему, здесь все как всегда, ничего примечательного.
Для просмотра ответа выберите нужную вкладку и кликните по ней. Откроется страница с ответами.
ГДЗ ответы по математика за 6 класс, рабочая тетрадь, 1 часть, Мерзляк, Полонский, Якир
...кликаем, смотрим
§1 номер №1
-
§1. Делители и кратное. Номер №1
Заполните пропуски.
1) Натуральное число a делится нацело на натуральное число b, если _ такое, что справедливо равенство _
2) Если натуральное число a делится нацело на натуральное число b, то число a называют _ числа b, а число b называют _ числа a.
3) Для любого натурального числа a каждое из чисел _ ..., является кратным числа a.
4) Наименьшим делителем любого натурального числа a является число _, а наибольшим − _
5) Число _ является делителем любого натурального числа.
6) Наименьшим кратным натурального числа a является _
7) Если каждое из чисел a и b делится нацело на число k, то их сумма a + b _
8) Если ни число a и ни число b не делится нацело на число k, то их сумма a + b может _, а может и _ нацело на число k.
9) Если число a делится нацело на число k, а число b _, то сумма a + b не делится нацело на число k.
Решение
1) Натуральное число a делится нацело на натуральное число b, если существует натуральное c такое, что справедливо равенство a = bc.
2) Если натуральное число a делится нацело на натуральное число b, то число a называют кратным числа b, а число b называют делителем числа a.
3) Для любого натурального числа a каждое из чисел a, 2a, 3a, 4a, 5a ..., является кратным числа a.
4) Наименьшим делителем любого натурального числа a является число 1, а наибольшим − само это число a.
5) Число 1 является делителем любого натурального числа.
6) Наименьшим кратным натурального числа a является само число a.
7) Если каждое из чисел a и b делится нацело на число k, то их сумма a + b делится нацело на k.
8) Если ни число a и ни число b не делится нацело на число k, то их сумма a + b может делиться, а может и не делится нацело на число k.
9) Если число a делится нацело на число k, а число b не делится нацело на k, то сумма a + b не делится нацело на число k. 2
-
Номер №2
Подчеркните числа, которые являются делителями числа 36:
3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 24, 36.
Решение
36 : 3 = 12
36 : 4 = 9
36 : 6 = 6
36 : 8 = 4 (ост. 4)
36 : 9 = 4
36 : 10 = 3 (ост. 6)
36 : 12 = 3
36 : 15 = 2 (ост. 6)
36 : 18 = 2
36 : 24 = 1 (ост. 12)
36 : 36 = 1
Ответ: 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 24, 36. 3
-
Номер №3
Выберите из чисел 14, 18, 24, 30, 42, 54, 72, 112, 156 те, которые:
1) кратны 6;
2) не кратны 4.
Решение 1
18 : 6 = 3
24 : 6 = 4
30 : 6 = 5
42 : 6 = 7
54 : 6 = 9
72 : 6 = 12
156 : 6 = 26
Ответ: 18, 24, 30, 42, 54, 72, 156.
Решение 214 : 4 = 3 (ост. 2)
18 : 4 = 4 (ост. 2)
30 : 4 = 7 (ост. 2)
42 : 4 = 10 (ост. 2)
54 : 4 = 13 (ост. 2)
Ответ: 14, 18, 30, 42, 54. 4
-
Номер №4
Запишите все делители данного числа.
1) Делители 14: _
2) Делители 16: _
3) Делители 19: _
4) Делители 48: _
Решение 1
14 : 1 = 14
14 : 2 = 7
14 : 7 = 2
14 : 14 = 1
Ответ: делители 14: 1, 2, 7, 14.
Решение 2
16 : 1 = 16
16 : 2 = 8
16 : 4 = 4
16 : 8 = 2
16 : 16 = 1
Ответ: делители 16: 1, 2, 4, 8, 16.
Решение 3
19 : 1 = 19
19 : 19 = 1
Ответ: делители 19: 1, 19.
Решение 4
48 : 1 = 48
48 : 2 = 24
48 : 3 = 16
48 : 4 = 12
48 : 6 = 8
48 : 8 = 6
48 : 12 = 4
48 : 16 = 3
48 : 24 = 2
48 : 48 = 1
Ответ: делители 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. 5
-
Номер №5
Запишите какие−либо четыре числа, кратные данному числу.
1) Кратные 4: _
2) Кратные 14: _
3) Кратные 19: _
4) Кратные 60: _
Решение 1
4 * 1 = 4
4 * 2 = 8
4 * 3 = 12
4 * 4 = 16
Ответ: кратные 4: 4, 8, 12, 16.
Решение 2
14 * 1 = 14
14 * 2 = 28
14 * 3 = 42
14 * 4 = 56
Ответ: кратные 14: 14, 28, 42, 56.
Решение 3
19 * 1 = 19
19 * 2 = 38
19 * 3 = 57
19 * 4 = 76
Ответ: кратные 19: 19, 38, 57, 76.
Решение 4
60 * 1 = 60
60 * 2 = 120
60 * 3 = 180
60 * 4 = 240
Ответ: кратные 60: 60, 120, 180, 240. 6
-
Номер №6
Запишите все двузначные числа, кратные 17.
Решение
17 * 1 = 17
17 * 2 = 34
17 * 3 = 51
17 * 4 = 68
17 * 5 = 85
17 * 6 = 102 − не подходит, так как число не двузначное.
Ответ: 17, 34, 51, 68, 85. 7
-
Номер №7
Запишите все трехзначные числа, кратные 115.
Решение
115 * 1 = 115
115 * 2 = 230
115 * 3 = 345
115 * 4 = 460
115 * 5 = 575
115 * 6 = 690
115 * 7 = 805
115 * 8 = 920
115 * 9 = 1035 − не подходит, так как число не трехзначное.
Ответ: 115, 230, 345, 460, 575, 690, 805, 920. 8
-
Номер №8
Укажите какое−либо число, являющееся делителем каждого из чисел:
1) 15 и 35;
2) 18 и 24;
3) 30 и 50;
4) 11 и 33.
Решение 1
Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Делители числа 35: 1, 5, 7, 35.
Ответ: 5
Решение 2
Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Ответ: 2, 3, 6.
Решение 3
Делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Делители числа 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50.
Ответ: 2, 5, 10.
Решение 4
Делители числа 11: 1, 11.
Делители числа 33: 1, 3, 11, 33.
Ответ: 11 9
-
Номер №9
Укажите какое−либо число, кратное каждому из чисел:
1) 3 и 7;
2) 4 и 8;
3) 6 и 8;
4) 12 и 18.
Решение 1
3 * 7 = 21
7 * 3 = 21
Ответ: 21
Решение 2
4 * 4 = 16
8 * 2 = 16
Ответ: 16
Решение 3
6 * 4 = 24
8 * 3 = 24
Ответ: 24
Решение 4
12 * 3 = 36
18 * 2 = 36
Ответ: 36 10
-
Номер №10
Запишите все значения x, являющиеся делителем числа 78, при которых верно неравенство 6 < x < 38.
Решение
6 < x < 38
78 : 13 = 6
78 : 26 = 3
Ответ: x = 13; 26. 11
-
Номер №11
Запишите все значения x, кратные числу 7, при которых верно неравенство 22 < x < 40.
Решение
22 < x < 40
7 * 1 = 7 < 22 − не удовлетворяет условию;
7 * 2 = 14 < 22 − не удовлетворяет условию;
7 * 3 = 21 < 22 − не удовлетворяет условию;
7 * 4 = 28
7 * 5 = 35
7 * 6 = 42 > 40 − не удовлетворяет условию.
Ответ: x = 28; 35. 12
-
Номер №12
При делении числа a на 8 получили остаток 6. Какому условию должно удовлетворять число b, чтобы сумма a + b была кратна 8?
Решение
a : 8 = n (ост. 6), тогда:
a = 8n + 6Допустим:
a + b = 16n − сумма кратна 8, тогда:
8n + 6 + b = 16n
b = 16n − 8n − 6
b = 8n − 6
Ответ: b = 8n − 6, где n − натуральное число. 13
-
Номер №13
Укажите, верно ли утверждение.Утверждение Да/Нет Если сумма делится нацело на число a, то каждое слагаемое делится нацело на число a Если один из множителей делится нацело на число a, то произведение делится нацело на число a Если ни один из множителей не делится нацело на число a, то произведение не делится нацело на число a Решение
Утверждение Да/Нет Если сумма делится нацело на число a, то каждое слагаемое делится нацело на число a Нет, например: (7 + 8) : 5 = 15 : 5 = 3, где a = 5. Получается, что сумма 15 делится на число a = 5, но ни слагаемое 7, ни слагаемое 8 не делятся на число a = 5. Если один из множителей делится нацело на число a, то произведение делится нацело на число a Да Если ни один из множителей не делится нацело на число a, то произведение не делится нацело на число a Да 14
-
Номер №14
Встретились семеро друзей и пожали друг другу руку. Сколько всего было рукопожатий?
Решение
Каждый из друзей пожал руку шести своим друзьям, тогда:
6 * 7 = 42 − удвоенное количество рукопожатие, так как при одном рукопожатии участвуют сразу два друга, значит:
42 : 2 = 21 (рукопожатие) − было сделано всего.
Ответ: 21 рукопожатие §2 номер 15
-
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Номер №15
Заполните пропуски.
1) Если запись натурального числа оканчивается цифрой _, то оно делится нацело на 10.
2) Если запись натурального числа оканчивается _ цифрой, отличной от _, то число не делится нацело на 10.
3) Если натуральное число разделить на 10, то остаток будет равен числу, записанному _
4) Натуральные числа, которые _ называют четными.
5) Натуральные числа, которые не делятся нацело на 2, называют _
6) Цифры _ называют четными, а цифры _ − нечетными.
7) Если запись натурального числа оканчивается _ то это число делится нацело на 2.
8) Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число _
9) Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на _
10) Если запись натурального числа оканчивается _, отличной от _, то это число не делится нацело на 5.
Решение
1) Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то оно делится нацело на 10.
2) Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то число не делится нацело на 10.
3) Если натуральное число разделить на 10, то остаток будет равен числу, записанному в разряде единиц.
4) Натуральные числа, которые делятся нацело на 2 называют четными.
5) Натуральные числа, которые не делятся нацело на 2, называют нечетными.
6) Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 − нечетными.
7) Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой то это число делится нацело на 2.
8) Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится нацело на 2.
9) Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.
10) Если запись натурального числа оканчивается цифрой, отличной от 0 или 5, то это число не делится нацело на 5. 16
-
Номер №16
Из чисел 38, 469, 365, 740, 759. 4535, 2220, 3170, 9145, 12618 делится нацело:
1) на 10 − _
2) на 2 − _
3) на 5 − _
Решение 1
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то оно делится нацело на 10. Значит делятся нацело на 10:
740, 2220, 3170.
Решение 2
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой то это число делится нацело на 2. Значит делятся нацело на 2:
38, 740, 2220, 3170, 12618.
Решение 3
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5. Значит делятся нацело на 5:
365, 740, 4535, 2220, 3170, 9145. 17
-
Номер №17
Поставьте в квадрате после каждого утверждения знак "+", если оно верно, или знак "−", если оно неверно.
1) Если число кратно 5, то оно кратно 10. ☐
2) Если число кратно 10, то оно кратно 5. ☐
3) Если число делится нацело на 2 и на 5, то оно делится нацело на 10. ☐
Решение 1
Если число кратно 5, то оно кратно 10. −
Так как числа оканчивающиеся на цифру 5 кратны пяти, но не кратны десяти.
Решение 2
Если число кратно 10, то оно кратно 5. +
Так как числа кратные десяти обязательно оканчиваются на 0, а любое число оканчивающиеся на 0 кратно пяти.
Решение 3
Если число делится нацело на 2 и на 5, то оно делится нацело на 10. +
Если число делится нацело на 2 и на 5, то его можно представить в виде: (2 * 5)n = 10n, где n − целое число. 10n будет делится нацело на 10, так число 10n − кратно десяти. 18
-
Номер №18
Запишите в порядке возрастания четыре первых нечетных двузначных числа, которые делятся нацело на 5.
Решение
Нечетное двузначное число делится нацело на 5, если оно оканчивается на 5, значит:
15, 25, 35, 45 − четыре первых нечетных двузначных числа, которые делятся нацело на 5. 19
-
Номер №19
Запишите в порядке убывания три последних трехзначных числа, которые кратны 10.
Решение
Число кратно 10, если оно оканчивается на 0, тогда:
970, 980, 990 − три последних трехзначных числа, которые кратны 10. 20
-
Номер №20
Запишите все нечетные значения x, при которых верно неравенство 269 < x < 288.
Решение
Натуральные числа, которые оканчивается на цифры 1, 3, 5, 7, 9 называются нечетными, тогда при 269 < x < 288, x = 271, 273, 275, 277, 279, 281, 283, 285, 287. 21
-
Номер №21
Запишите все значения x, кратные числу 5, при которых верно неравенство 169 < x < 195.
Решение
Число кратно пяти, если оно оканчивается на 5 или на 0.
Тогда при 169 < x < 195, x = 170, 175, 180, 185, 190. 22
-
Номер №22
Запишите все значения x, кратные числу 10, при которых верно неравенство 510 < x < 593.
Решение
Число кратно десяти, если оно оканчивается на 0. Тогда при 510 < x < 593, x = 520, 530, 540, 550, 560, 570, 580, 590. 23
-
Номер №23
Не повторяя цифры в записи числа, запишите наибольшее:
1) пятизначное число, кратное 10;
2) шестизначное число, кратное 5;
3) семизначное число, кратное 2.
Решение 1
Число кратно десяти, если оно оканчивается на 0, тогда:
98760 − наибольшее пятизначное число, кратное 10.
Решение 2
Число кратно 5, если оно оканчивается на 0 или на 5, тогда:
987650 − наибольшее шестизначное число, кратное 5.
Решение 3
Число кратно 2, если оно оканчивается на четную цифру, тогда:
9876542 − наибольшее семизначное число, кратное 2. 24
-
Номер №24
Запишите все четырехзначные числа, кратные числу 5, для записи которых используют цифры 2, 0, 5, 6 (цифры в записи числа не могут повторяться).
Решение
Число кратно 5, если оно оканчивается на 0 или на 5, тогда кратны числу 5 будут следующие числа:
2065; 2605; 6025; 6205; 2560; 2650; 5620; 5260; 6250; 6520. 25
-
Номер №25
Найдите наибольшее двузначное число a, при котором значение выражения a − 43 делится нацело на 5.
Решение
Число делится нацело на 5, если оно оканчивается на 0 или на 5. Значит разность последней цифры числа a и последней цифры числа 43 должна оканчиваться на 0 или на 5.
Пусть x − последняя цифра числа a, тогда:
x − 3 = 0
x = 3
или
x − 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Наибольшее двузначное число, оканчивающееся на цифру 3 или 8 − это число 98.
Проверяем:
98 − 43 = 55 − делится нацело на 5, так как оканчивается на 5.
Ответ: 98 26
-
Номер №26
Найдите наименьшее трехзначное число b, при котором значение выражения 243 + b делится нацело на 10.
Решение
Число делится нацело на 10, если оно оканчивается на 0. Тогда сумма последней цифры числа 243 и последней цифры числа b должна оканчиваться на 0, а значит должна быть равна 10.
Пусть x − последняя цифра числа b, тогда:
3 + x = 10
x = 10 − 3
x = 7
Наименьшее трехзначное число, которое оканчивается на 7 − это число 107.
Проверяем:
243 + 107 = 350 − делится нацело на 10, так как оканчивается на 0.
Ответ: 107 27
-
Номер №27
Четной или нечетной будет сумма девяти натуральных слагаемых, если:
1) шесть слагаемых четные, а остальные − нечетные;
2) шесть слагаемых нечетные, а остальные − четные?
Решение 1
Пусть:
2n, 4n, 6n, 8n, 10n, 12n − шесть четных слагаемых;
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 − три нечетных слагаемых.
Тогда их сумма:
2n + 4n + 6n + 8n + 10n + 12n + 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 48n + 9 − число нечетное, так как 48n − число четное, а 9 − число нечетное. А сумма четного и нечетного чисел всегда число нечетное.
Ответ: нечетная
Решение 2
Пусть:
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9, 2n + 11 − шесть нечетных слагаемых;
2n, 4n, 6n − три четных слагаемых.
Тогда их сумма:
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 + 2n + 11 + 2n + 4n + 6n = 24n + 36 = 2(12n + 18) − число четное, так как один из множителей равен 2, а значит число делится нацело на 2.
Ответ: четная 28
-
Номер №28
Делится ли нацело на 5 значение выражения 115 + 65
Решение
Запись значения выражения 115 оканчивается цифрой 1.
Запись значения выражения 65 оканчивается цифрой 6.
Тогда:
1 + 6 = 7 − последняя цифра значения выражения 115 + 65, значит значение данного выражения не делится нацело на 5, так как не оканчивается на цифры 0 или 5.
Ответ: нет, не делится. 29
-
Номер №29
Можно ли заплатить без сдачи 30 р. с помощью 9 монет по 1 р. и по 5 р.?
Решение
Пусть x (монет) − было по 5 рублей, тогда:
9 − x (монет) − было по 1 рублю;
5x (рублей) − сумма монет по 5 рублей;
9 − x (рублей) − сумма монет по 1 рублю.
Так как сумма монет должна равняться 30, можно составить уравнение:
5x + (9 − x) = 30
5x + 9 − x = 30
5x − x = 30 − 9
4x = 21
x = 21 : 4
x = 5 (ост.1) (монет) − было по 5 рублей, что невозможно. Значит заплатить без сдачи 30 р. с помощью 9 монет по 1 р. и по 5 р. невозможно.
Ответ: нет, нельзя. 30
-
Номер №30
Можно ли заплатить без сдачи 35 р. с помощью 10 монет по 1 р. и по 5 р.?
Решение
Пусть x (монет) − было по 5 рублей, тогда:
10 − x (монет) − было по 1 рублю;
5x (рублей) − сумма монет по 5 рублей;
10 − x (рублей) − сумма монет по 1 рублю.
Так как сумма монет должна равняться 35, можно составить уравнение:
5x + (10 − x) = 35
5x + 10 − x = 35
5x − x = 35 − 10
4x = 25
x = 25 : 4
x = 6 (ост.1) (монет) − было по 5 рублей, что невозможно. Значит заплатить без сдачи 35 р. с помощью 10 монет по 1 р. и по 5 р. невозможно.
Ответ: нет, нельзя. §3 номер 31
-
§3 Номер №31
Заполните пропуски.
1) Если _ числа делится нацело на 9, то и само число _
2) Если сумма цифр не делится нацело на 9, то и само число _
3) Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и _
4) Если _ числа _ нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.
Решение
1) Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится на 9.
2) Если сумма цифр не делится нацело на 9, то и само число не делится на 9.
3) Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится на 3.
4) Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3. 32
-
Номер №32
Заполните таблицу (поставьте знак "+" в случае утвердительного ответа или знак "−" в ином случае).Число 2736 6438 1443 5665 7417 2412 8910 Кратно 9 Кратно 3 Кратно 2 и 3
Решение
Найдем сумму цифр в числах:
2 + 7 + 3 + 6 = 18 − сумма цифр числа 2736;
6 + 4 + 3 + 8 = 21 − сумма цифр числа 6438;
1 + 4 + 4 + 3 = 12 − сумма цифр числа 1443;
5 + 6 + 6 + 5 = 22 − сумма цифр числа 5665;
7 + 4 + 1 + 7 = 19 − сумма цифр числа 7417;
2 + 4 + 1 + 2 = 9 − сумма цифр числа 2412;
8 + 9 + 1 + 0 = 18 − сумма цифр числа 8910.
Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится на 9. Тогда числа кратные 9:
2736, 2412, 8910.
Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится на 3. Тогда числа кратные 3:
2736, 6438, 1443, 2412, 8910.
Если число оканчивается на четную цифру, то оно делится на 2. Тогда числа кратные 2 и 3:
2736, 6438, 2412, 8910.
Ответ:Число 2736 6438 1443 5665 7417 2412 8910 Кратно 9 + - - - - + + Кратно 3 + + + - - + + Кратно 2 и 3 + + - - - + + 33
-
Номер №33
Заполните пропуски.
1) Наименьшим двухзначным числом, которое делится нацело на 9, является число _
2) Наименьшим трехзначным числом, которое делится нацело на 3, является число _
3) Наибольшим четырехзначным числом, которое делится нацело на 9, является число _
4) Наименьшим числом, для записи которого использована только цифра 1 и которое делится нацело на 9, является число _
Решение
Заполните пропуски.
1) Наименьшим двухзначным числом, которое делится нацело на 9, является число 18.
2) Наименьшим трехзначным числом, которое делится нацело на 3, является число 102.
3) Наибольшим четырехзначным числом, которое делится нацело на 9, является число 9999.
4) Наименьшим числом, для записи которого использована только цифра 1 и которое делится нацело на 9, является число 111111111. 34
-
Номер №34
Какие из чисел 3540, 2601, 7335, 6228, 4023, 5949 делятся нацело на 3, но не делятся нацело на ни на 2, ни на 5?
Решение
Число делится на 2, если оно оканчивается на четную цифру, тогда числа:
3540, 6228 − делятся нацело на 2.
Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или на 5, тогда числа:
3540, 7335 − делятся нацело на 5.
Найдем сумму цифр оставшихся чисел:
2 + 6 + 0 + 1 = 9 − сумма цифр числа 2601;
4 + 0 + 2 + 3 = 9 − сумма цифр числа 4023;
5 + 9 + 4 + 9 = 27 − сумма цифр числа 5949.
Числа 2601, 4023, 5949 делятся нацело на 3, так как сумма их цифр делится нацело на 3.
Ответ: 2601, 4023, 5949. 35
-
Номер №35
Запишите в квадрате одну из цифр 0, 7 или 5, чтобы получилось число, кратное 3.
1) 14☐2;
2) 9☐15.
Решение 1
1 + 4 + ☐ + 2 = 7 + ☐ − сумма цифр числа 14☐2.
Чтобы число делилось нацело на 3, нужно чтобы сумма его цифр делилась нацело на 3.
Тогда:
7 + 0 = 7 − не делится на 3;
7 + 7 = 14 − не делится на 3;
7 + 5 = 12 − делится на 3.
Значит ☐ = 5.
Ответ: 1452
Решение 2
9 + ☐ + 1 + 5 = 15 + ☐ − сумма цифр числа 9☐15.
Чтобы число делилось нацело на 3, нужно чтобы сумма его цифр делилась нацело на 3.
Тогда:
15 + 0 = 15 − делится на 3;
15 + 7 = 22 − не делится на 3;
15 + 5 = 20 − не делится на 3.
Значит ☐ = 0.
Ответ: 9015 36
-
Номер №36
Запишите все значения a, кратные числу 9, при которых верно неравенство 134 < a < 152.
Решение
Число кратно 9, если сумма его цифр равна 9. Найдем наименьшее число a кратное 9, удовлетворяющее условию.
1 + 3 + 5 = 9 − сумма цифр числа 135, значит данное число кратно 9.
Следовательно прибавляя 9 начиная от числа 135 можно найти остальные числа, кратные 9:
135 + 9 = 144
144 + 9 = 153 > 152 − не удовлетворяет условию.
Ответ: a = 135, 144. 37
-
Номер №37
Запишите все значения b, кратные числу 3, при которых верно неравенство 234 < b < 252.
Решение
Число кратно 3, если сумма его цифр равна 3. Найдем наименьшее число b кратное 3, удовлетворяющее условию.
2 + 3 + 5 = 10 − сумма цифр числа 235, значит данное число не кратно 3;
2 + 3 + 6 = 11 − сумма цифр числа 236, значит данное число не кратно 3;
2 + 3 + 7 = 12 − сумма цифр числа 237, значит данное число кратно 3.
Следовательно прибавляя 3 начиная от числа 237 можно найти остальные числа, кратные 3:
237 + 3 = 240
240 + 3 = 243
243 + 3 = 246
246 + 3 = 249
249 + 3 = 252 − не удовлетворяет условию.
Ответ: b = 237, 240, 243, 246, 249. 38
-
Номер №38
Из цифр 3, 4, 5, 6 составьте два различных трехзначных числа, каждое из которых кратно 3, при этом в числе каждую из цифр используйте не более одного раза.
Решение
Число кратно 3, если сумма его цифр равна 3. В искомом трехзначном числе не может быть одновременно цифры 3 и 6. Так как их сумма кратна трем и если прибавить третье число 4 или 5, то сумма цифр трехзначного числа не будет равна кратна 3. Тогда:
3 + 4 + 5 = 12 − сумма цифр числа 345, значит данное число кратно 3;
6 + 4 + 5 = 15 − сумма цифр числа 645, значит данное число кратно 3.
Ответ: 345, 645. 39
-
Номер №39
Запишите в квадрате цифру, чтобы получить число. кратное 9.
1) 8☐3;
2) ☐55;
3) 381☐;
4) 84☐50.
Решение 1
8 + ☐ + 3 = 11 + ☐ − сумма цифр числа 8☐3.
Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Следующее число кратное 9 после числа 11, это число 18, тогда:
11 + ☐ = 18
☐ = 18 − 11
☐ = 7
Ответ: 873
Решение 2
☐ + 5 + 5 = ☐ + 10 − сумма цифр числа ☐55.
Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Следующее число кратное 9 после числа 10, это число 18, тогда:
☐ + 10 = 18
☐ = 18 − 10
☐ = 8
Ответ: 855
Решение 3
3 + 8 + 1 + ☐ = 12 + ☐ − сумма цифр числа 381☐.
Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Следующее число кратное 9 после числа 12, это число 18, тогда:
12 + ☐ = 18
☐ = 18 − 12
☐ = 6
Ответ: 3816
Решение 4
8 + 4 + ☐ + 5 + 0 = 17 + ☐ − сумма цифр числа 84☐50.
Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Следующее число кратное 9 после числа 17, это число 18, тогда:
17 + ☐ = 18
☐ = 18 − 17
☐ = 1
Ответ: 84150 40
-
Номер №40
Какую цифру можно поставить вместо звездочки, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):
1) 64*58;
2) 736*2?Решение 1
6 + 4 + * + 5 + 8 = * + 23 − сумма цифр числа 64*58.
Число кратно 3, если сумма его цифр кратна 3. Следующее число кратное 3 после числа 23, это число 24, тогда:
* + 23 = 24
* = 24 − 23
* = 1 − один из возможных случаев.
Прибавляя по 3 к числу 1 можно найти остальные возможные случаи:
1 + 3 = 4
4 + 3 = 7
7 + 3 = 10 − не подходит, так как число двузначное.
Ответ: 64158, 64458, 64758.
Решение 2
7 + 3 + 6 + * + 2 = * + 15 − сумма цифр числа 736*2.
Число кратно 3, если сумма его цифр кратна 3. Число 15 кратно 3, тогда:
* + 15 = 15
* = 15 − 15
* = 0 − один из возможных случаев.
Прибавляя по 3 к числу 0 можно найти остальные возможные случаи:
0 + 3 = 3
3 + 3 = 6
6 + 3 = 9
9 + 3 = 12 − не подходит, так как число двузначное.
Ответ: 73602, 73632, 73662, 73692. 41
-
Номер №41
Запишите наименьшее четырехзначное число, которое делится нацело:
1) на 2 и на 3;
2) на 3 и на 5;
3) на 3 и на 10;
4) на 2 и на 9;
5) на 5 и на 9;
6) на 9 и на 10.
Решение 1
Число одновременно делится на 2 и на 3, если оно четное и сумма его цифр кратна 3.
1000 − наименьшее четырехзначное четное число.
1 + 0 + 0 + 0 = 1 − сумма цифр числа 1000 − не кратно 3.
1002 − следующее наименьшее четырехзначное четное число.
1 + 0 + 0 + 2 = 3 − сумма цифр числа 1002 − кратно 3.
Ответ: 1002
Решение 2
Число одновременно делится на 3 и на 5, если оно оканчивается на цифру 0 или 5 и сумма его цифр кратна 3.
1000 − наименьшее четырехзначное число, оканчивающееся на 0 или на 5.
1 + 0 + 0 + 0 = 1 − сумма цифр числа 1000 − не кратно 3.
1005 − следующее наименьшее четырехзначное, оканчивающееся на 0 или на 5.
1 + 0 + 0 + 5 = 6 − сумма цифр числа 1005 − кратно 3.
Ответ: 1005
Решение 3
Число одновременно делится на 3 и на 10, если оно оканчивается на цифру 0 и сумма его цифр кратна 3.
1000 − наименьшее четырехзначное число, оканчивающееся на 0.
1 + 0 + 0 + 0 = 1 − сумма цифр числа 1000 − не кратно 3.
1010 − следующее наименьшее четырехзначное, оканчивающееся на 0.
1 + 0 + 1 + 0 = 2 − сумма цифр числа 1010 − не кратно 3.
1020 − следующее наименьшее четырехзначное, оканчивающееся на 0.
1 + 0 + 2 + 0 = 3 − сумма цифр числа 1020 − кратно 3.
Ответ: 1020
Решение 4
1000 − наименьшее четырехзначное четное число.
1 + 0 + 0 + 0 = 1 − сумма цифр числа 1000 − не кратно 9.
Пусть последняя цифра числа 1000 равна x, тогда данное число примет вид 100x.
Число одновременно делится на 2 и на 9, если оно четное и сумма его цифр кратна 9. Следующее после единицы число кратное девяти равно 9, тогда:
1 + 0 + 0 + x = 9
x = 9 − 1
x = 8
Значит искомое число 1008 − четное и кратно 9.
Ответ: 1008
Решение 5
1000 − наименьшее четырехзначное число, оканчивающееся на 0 или на 5.
1 + 0 + 0 + 0 = 1 − сумма цифр числа 1000 − не кратно 9.
Пусть две последние цифры числа 1000 равны ab, тогда данное число примет вид 10ab.
Число одновременно делится на 3 и на 5, если оно оканчивается на цифру 0 или 5 и сумма его цифр кратна 9. Следующее после единицы число кратное девяти равно 9, тогда:
1 + 0 + a + b = 9
a + b = 9 − 1
a + b = 8 − значит сумма двух последних цифр числа 1000 должна быть равна 8, при этом число b = 0 или 5, так как искомое число должно оканчиваться на 0 или 5.
Пусть b = 0, тогда:
a + 0 = 8
a = 8
1080 − искомое число.
Пусть b = 5, тогда:
a + 5 = 8
a = 8 − 5
a = 3
1035 − искомое число.
1035 < 1080, значит наименьшее искомое число 1035 − оканчивается на 5 и сумма его цифр кратна 9.
Ответ: 1035
Решение 6
1000 − наименьшее четырехзначное число, оканчивающееся на 0.
1 + 0 + 0 + 0 = 1 − сумма цифр числа 1000 − не кратно 9.
Пусть две последние цифры числа 1000 равны ab, тогда данное число примет вид 10ab.
Число одновременно делится на 9 и на 10, если оно оканчивается на цифру 0 и сумма его цифр кратна 9. Следующее после единицы число кратное девяти равно 9, тогда:
1 + 0 + a + b = 9
a + b = 9 − 1
a + b = 8 − значит сумма двух последних цифр числа 1000 должна быть равна 8, при этом число b = 0, так как искомое число должно оканчиваться на 0, тогда:
a + 0 = 8
a = 8
Значит искомое число 1080 − оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 9
Ответ: 1080 42
-
Номер №42
К числу 14 допишите слева и справа по одной цифре, чтобы получившееся число было кратно 15 (рассмотрите все возможные случаи).
Решение
Пусть первая цифра искомого четырехзначного числа равна a, а последняя цифра равна b, тогда:
a14b − искомое число.
15 = 3 * 5, поэтому число кратно 15, когда оно одновременно кратно 3 и кратно 5. Значит число должно оканчиваться на 0 или на 5 и сумма его цифр должна быть кратна 3.
a + 1 + 4 + b = a + 5 + b − сумма цифр числа a14b.
Следующее число после пяти кратное трем равно 6, тогда:
Пусть b = 0:
a + 1 + 4 + 0 = 6
a + 5 = 6
a = 6 − 5
a = 1
Число 1140 − подходит.
Пусть b = 5:
a + 1 + 4 + 5 = 6
a + 10 = 6
a = 6 − 10 − не подходит.
Следующее число после шести кратное трем равно 9, тогда:
Пусть b = 0:
a + 1 + 4 + 0 = 9
a + 5 = 9
a = 9 − 5
a = 4
Число 4140 − подходит.
Пусть b = 5:
a + 1 + 4 + 5 = 9
a + 10 = 9
a = 9 − 10 − не подходит.
Следующее число после девяти кратное трем равно 12, тогда:
Пусть b = 0:
a + 1 + 4 + 0 = 12
a + 5 = 12
a = 12 − 5
a = 7
Число 7140 − подходит.
Пусть b = 5:
a + 1 + 4 + 5 = 12
a + 10 = 12
a = 12 − 10
a = 2
Число 2145 − подходит.
Следующее число после двенадцати кратное трем равно 15, тогда:
Пусть b = 0:
a + 1 + 4 + 0 = 15
a + 5 = 15
a = 15 − 5
a = 10 − не подходит, так как первая цифра не может быть двузначной.
Пусть b = 5:
a + 1 + 4 + 5 = 15
a + 10 = 15
a = 15 − 10
a = 5
Число 5145 − подходит.
Следующее число после пятнадцати кратное трем равно 18, тогда:
Пусть b = 0:
a + 1 + 4 + 0 = 18
a + 5 = 18
a = 18 − 5
a = 13 − не подходит, так как первая цифра не может быть двузначной.
Пусть b = 5:
a + 1 + 4 + 5 = 18
a + 10 = 18
a = 18 − 10
a = 8
Число 8145 − подходит.
Следующее число после восемнадцати кратное трем равно 21, тогда:
Пусть b = 0:
a + 1 + 4 + 0 = 21
a + 5 = 21
a = 21 − 5
a = 16 − не подходит, так как первая цифра не может быть двузначной.
Пусть b = 5:
a + 1 + 4 + 5 = 21
a + 10 = 21
a = 21 − 10
a = 11 − не подходит, так как первая цифра не может быть двузначной.
Ответ: 1140, 4140, 7140, 2145, 5145, 8145. 43
-
Номер №43
К числу 26 допишите слева и справа по одной цифре, чтобы получившееся число было кратно 45 (рассмотрите все возможные случаи).
Решение
Пусть первая цифра искомого четырехзначного числа равна a, а последняя цифра равна b, тогда:
a26b − искомое число.
45 = 9 * 5, поэтому число кратно 45, когда оно одновременно кратно 9 и кратно 5. Значит число должно оканчиваться на 0 или на 5 и сумма его цифр должна быть кратна 9.
a + 2 + 6 + b = a + 8 + b − сумма цифр числа a14b.
Следующее число после восьми кратное девяти равно 9, тогда:
Пусть b = 0:
a + 2 + 6 + 0 = 9
a + 8 = 9
a = 9 − 8
a = 1
Число 1260 − подходит.
Пусть b = 5:
a + 2 + 6 + 5 = 9
a + 13 = 6
a = 6 − 13 − не подходит.
Следующее число после девяти кратное девяти равно 18, тогда:
Пусть b = 0:
a + 2 + 6 + 0 = 18
a + 8 = 18
a = 18 − 8
a = 10 − не подходит, так как первая цифра не может быть двузначной.
Пусть b = 5:
a + 2 + 6 + 5 = 18
a + 13 = 18
a = 18 − 13
a = 5
Число 5265 − подходит.
Следующее число после восемнадцати кратное девяти равно 27, тогда:
Пусть b = 0:
a + 2 + 6 + 0 = 27
a + 8 = 27
a = 27 − 8
a = 19 − не подходит, так как первая цифра не может быть двузначной.
Пусть b = 5:
a + 2 + 6 + 5 = 27
a + 13 = 27
a = 27 − 13
a = 14 − не подходит, так как первая цифра не может быть двузначной.
Ответ: 1260, 5265. 44
-
Номер №44
Запишите трехзначное число, первая цифра которого 1, делящееся нацело на 9 и на 5, но не делящееся нацело на 2.
Решение
Пусть вторая цифра искомого трехзначного числа равна a, а последняя цифра равна b, тогда:
1ab − искомое число.
Чтобы число делилось на 9 и на 5, оно должно оканчиваться на 0 или на 5 и сумма его цифр должна быть кратна 9. Но так как по условию число не должно делится на 2, значит искомое число должно быть нечетным, следовательно оно не может оканчиваться на 0. Тогда b = 5.
1a5 − искомое число.
1 + a + 5 = a + 6 − сумма цифр числа 1a5.
Следующее число после шести кратное девяти равно 9, тогда:
1 + a + 5 = 9
a + 6 = 9
a = 9 − 6
a = 3
Значит 135 − искомое число, делящееся нацело на 9 и на 5, но не делящееся нацело на 2.
Ответ: 135 45
-
Номер №45
Запишите трехзначное число, первая цифра которого 5, делящееся нацело на 9, на 5 и на 2.
Решение
Пусть вторая цифра искомого трехзначного числа равна a, а последняя цифра равна b, тогда:
5ab − искомое число.
Чтобы число делилось на 9 и на 5, оно должно оканчиваться на 0 или на 5 и сумма его цифр должна быть кратна 9. Но так как по условию число должно делится на 2, значит искомое число должно быть четным, следовательно оно не может оканчиваться на 5. Тогда b = 0.
5a0 − искомое число.
5 + a + 0 = a + 5 − сумма цифр числа 5a0.
Следующее число после пяти кратное девяти равно 9, тогда:
5 + a + 0 = 9
a + 5 = 9
a = 9 − 5
a = 4
Значит 540 − искомое число, делящееся нацело на 9, на 5 и на 2.
Ответ: 540 46
-
Номер №46
Делится ли нацело на 3 значение выражения:
1) 1014 − 1;
2) 1010 + 5?
Решение 1
Значением выражения 1014 является число, запись которого состоит из цифры 1 и четырнадцати цифр 0. Тогда значением выражения 1014 − 1 является число, запись которого состоит из четырнадцати цифр 9.
9 * 14 = 3 * 3 * 14 = 3 * 42 − значит сумма цифр числа 1014 − 1 кратна 3, значит и само выражение кратно 3.
Ответ: да, делится
Решение 2
Значением выражения 1010 является число, запись которого состоит из цифры 1 и десяти цифр 0. Тогда значением выражения 1010 + 5 является число, запись которого состоит из цифры 1, девяти цифр 0 и одной цифры 5.
1 + 9 * 0 + 5 = 6 − значит сумма цифр числа 1010 + 5 кратна 3, значит и само выражение кратно 3.
Ответ: да, делится 47
-
Номер №47
В семье четыре сына. У каждого − одна сестра. Сколько всего детей в семье?
Решение
Так как у каждого сына только одна сестра, значит в семье всего одна сестра.
4 + 1 = 5 (детей) − всего в семье.
Ответ: 5 детей §4 номер 48
-
Номер №48
Заполните пропуски.
1) Натуральное число называют _, если оно имеет только два натуральных делителя: _
2) Наименьшим простым число является число _
3) Натуральное число называют _, если оно имеет больше двух натуральных делителей.
4) Число 1 не относят ни к _, ни к _ числам.
5) Любое составное число можно представить в виде произведения _, т.е. _ на простые множители.
Решение
1) Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.
2) Наименьшим простым число является число 2.
3) Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух натуральных делителей.
4) Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам.
5) Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, т.е. разложить на простые множители. 49
-
Номер №49
Подчеркните числа, которые являются простыми:
2, 5, 8, 11, 16, 17, 20, 26, 27, 30, 31, 32, 37, 39.
Решение
2 − простое;
5 − простое;
8 = 2 * 4 − составное;
11 − простое;
16 = 4 * 4 − составное;
17 − простое;
20 = 4 * 5 − составное;
26 = 2 * 13 − составное;
27 = 3 * 9 − составное;
30 = 3 * 10 − составное;
31 − простое;
32 = 4 * 8 − составное;
37 − простое;
39 = 3 * 13 − составное.
Ответ: 2, 5, 8, 11, 16, 17, 20, 26, 27, 30, 31, 32, 37, 39. 50
-
Номер №50
Запишите все делители данного числа и обведите те из них, которые являются простыми числами:
1) делители 14;
2) делители 19;
3) делители 60.
Решение 1
14 = 1 * 14
14 = 2 * 7
Делители числа 14: 1, 2, 7, 14.
Решение 2
19 = 1 * 19
Делители числа 19: 1, 19.
Решение 3
60 = 1 * 60
60 = 2 * 30
60 = 3 * 20
60 = 4 * 15
60 = 5 * 12
60 = 6 * 10
Делители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 51
-
Номер №51
Запишите натуральное число в виде произведения простых множителей.
1) 14 = _
2) 20 = _
3) 38 = _
4) 40 = _
5) 55 = _
6) 78 = _
Решение 1
14 | 2
7 | 7
1 |14 = 2 * 7
Решение 2
20 | 2
10 | 2
5 | 5
1 |20 = 2 * 2 * 5
Решение 3
38 | 2
19 | 19
1 |
38 = 2 * 19
Решение 4
40 | 2
20 | 2
10 | 2
5 | 5
1 |
40 = 2 * 2 * 2 * 5
Решение 5
55 | 5
11 | 11
1 |
55 = 5 * 11
Решение 6
78 | 2
39 | 3
13 | 13
1 |78 = 2 * 3 * 13
52
-
Номер №52
Разложите число на простые множители.
1)
128|
128 =
2)
420|
420 =
3)
560|
560 =
4)
2745|
2745 =
Решение 1
128| 2
64 | 2
32 | 2
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 |128 = 27
Решение 2420 | 2
210 | 2
105 | 3
35 | 5
7 | 7
1 |420 = 22 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7
Решение 3
560 | 2
280 | 2
140 | 2
70 | 2
35 | 5
7 | 7
1 |560 = 24 ∗ 5 ∗ 7
Решение 4
2745 | 3
915 | 3
305 | 5
61 | 61
1 |2745 = 32 ∗ 5 ∗ 61
53
-
Номер №53
Поставьте в квадрате после каждого утверждения знак "+", если оно верно, или знак "−", если оно неверно.
1) Каждое натуральное число является или простым, или составным. ☐
2) Если натуральное число не является простым, то оно составное. ☐
3) Если натуральное число не является простым и оно больше 1, то оно составное. ☐
4) Каждое четное число является составным. ☐
Решение
1) Каждое натуральное число является или простым, или составным. - Так как натуральное число 1 — не является ни простым, ни составным числом.
2) Если натуральное число не является простым, то оно составное. - Так как натуральное число 1 — не является ни простым, ни составным числом.
3) Если натуральное число не является простым и оно больше 1, то оно составное. +
4) Каждое четное число является составным. - Так как четное число 2 − простое. 54
-
Номер №54
Запишите все простые числа, которые больше 21 и меньше 42.
Решение
23, 29, 31, 37, 41. 55
-
Номер №55
Запишите все составные числа, которые больше 50 и меньше 68.
Решение
51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66. 56
-
Номер №56
Простым или составным числом будет произведение (поставьте знак "+" в соответствующей графе таблицы)?Произведение 17 * 1 6 * 7 11 * 23 1 * 39 1 * 79 Простое Составное
Решение
17 * 1 = 17 − простое;
6 * 7 − составное, так как уже будут делители 6 и 7;
11 * 23 − составное, так как уже будут делители 11 и 23;
1 * 39 − составное. так как 39 = 3 * 13;
1 * 79 = 79 − простое.Ответ:
Произведение 17 * 1 6 * 7 11 * 23 1 * 39 1 * 79 Простое + + Составное + + + 57
-
Номер №57
Запишите все делители числа, равного произведению 2 * 2 * 3 * 17.
Решение
2 * 2 * 3 * 17 = 204
2 * 2 = 4
2 * 3 = 6
2 * 2 * 3 = 12
2 * 17 = 34
3 * 17 = 51
2 * 2 * 17 = 68
2 * 3 * 17 = 102
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 34, 51, 68, 102, 204. 58
-
Номер №58
Найдите частное от деления числа a на число b, если:
1) a = 2 * 3 * 3 * 3 * 19, b = 2 * 3 * 3 * 19;
2) a = 2 * 5 * 5 * 7 * 11 * 13, b = 5 * 7 * 13.
Решение 1
a = 2 * 3 * 3 * 3 * 19, b = 2 * 3 * 3 * 19.
a : b = a/b = 2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 19/2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 19 = 3
Ответ: 3
Решение 2
a = 2 * 5 * 5 * 7 * 11 * 13, b = 5 * 7 * 13.
a : b = a/b = 2 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 11 ∗ 13/5 ∗ 7 ∗ 13 = 2 ∗ 5 ∗ 11 = 10 ∗ 11 = 110
Ответ: 3 59
-
Номер №59
Мальчики собрали 145 грибов, причем каждый из них собрал одно и то же количество грибов. Сколько всего было мальчиков и сколько грибов собрал каждый из них?
Решение
Разложим число 145 на простые множители:
145 | 5
29 | 29
1 |145 = 5 * 29
Так как число содержит только два простых множителя, значит могло быть:
1) 5 мальчиков, каждый из которых собрал по 29 грибов;
2) 29 мальчиков, каждый из которых собрал по 5 грибов.
Ответ: 5 мальчиков по 29 грибов или 29 мальчиков по 5 грибов. §5 номер 60
-
Номер №60
Заполните пропуски.
1) Наибольшее натуральное число, на которое _ натуральных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел.
2) Наибольший общий делитель чисел a и b обозначают так: _
3) Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел _, то их называют взаимно простыми.
4) Любые два _ являются взаимно простыми.
5) Если число a − _ числа b, то НОД (a; b) = a.
Решение
1) Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел.
2) Наибольший общий делитель чисел a и b обозначают так: НОД(a;b).
3) Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.
4) Любые два простых числа являются взаимно простыми.
5) Если число a − делитель числа b, то НОД (a; b) = a. 61
-
Номер №61
Найдите наибольший общий делитель.
1) НОД (6;15) = _
2) НОД (18;24) = _
3) НОД (24;40) = _
4) НОД (14;28) = _
5) НОД (8;15) = _
6) НОД (120;150) = _
Решение 1
6 |2
3 |3
1 |
6 = 2 * 3
15 |3
5 |5
1 |
15 = 3 * 5
НОД (6;15) = 3
Решение 2
18 |2
9 |3
3 |3
1 |
18 = 2 * 3 * 3
24 |2
12 |2
6 |2
3 |3
1 |
24 = 2 * 2 * 2 * 3
НОД (18;24) = 2 * 3 = 6
Решение 3
24 |2
12 |2
6 |2
3 |3
1 |
24 = 2 * 2 * 2 * 340 |2
20 |2
10 |2
5 |5
1 |
40 = 2 * 2 * 2 * 5
НОД (24;40) = 2 * 2 * 2 = 8
Решение 4
14 |2
7 |7
1 |
14 = 2 * 728 |2
14 |2
7 |7
1 |
28 = 2 * 2 * 7
НОД (14;28) = 2 * 7 = 14
Решение 5
8 |2
4 |2
2 |2
1 |
8 = 2 * 2 * 215 |3
5 |5
1 |
15 = 3 * 5
НОД (8;15) = 1
Решение 6
120 |2
60 |2
30 |2
15 |3
5 |5
1 |
120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5
150 |2
75 |3
25 |5
5 |5
1 |
150 = 2 * 3 * 5 * 5
НОД (120;150) = 2 * 3 * 5 = 30 62
-
Номер №62
Найдите наибольший общий делитель чисел a и b, если:
1) a = 22 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 17 , b = 23 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 11 ∗ 19;
2) a = 25 ∗ 32 ∗ 73 ∗ 13 ∗ 232 , b = 35 ∗ 7 ∗ 132 ∗ 23.
Решение 1
a = 22 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 17 , b = 23 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 11 ∗ 19
НОД (a;b) = 22 ∗ 32 ∗ 5 = 4 ∗ 9 ∗ 5 = 20 ∗ 9 = 180
Решение 2
a = 25 ∗ 32 ∗ 73 ∗ 13 ∗ 232 , b = 35 ∗ 7 ∗ 132 ∗ 23
НОД (a;b) = 32 ∗ 7 ∗ 13 ∗ 23 = 9 ∗ 7 ∗ 13 ∗ 23 = 63 ∗ 13 ∗ 23 = 819 ∗ 23 = 18837
Вычисления:
× 63
13
+189
63
819
× 819
23
+ 2457
1638
18837 63
-
Номер №63
Найдите наибольший общий делитель данных чисел, разложив их предварительно на простые множители:
1) 588 и 630;
2) 264 и 396;
3) 2295 и 408;
4) 1092 и 2574.
Решение 1
588 |2
294 |2
147 |3
49 |7
7 |7
1 |
588 = 2 * 2 * 3 * 7 * 7
630 |2
315 |3
105 |3
35 |5
7 |7
1 |
630 = 2 * 3 * 3 * 5 * 7
НОД (588;630) = 2 * 3 * 7 = 42
Ответ: НОД (588;630) = 42
Решение 2
264 |2
132 |2
66 |2
33 |3
11 |11
1 |
264 = 2 * 2 * 2 * 3 * 11
396 |2
198 |2
99 |3
33 |3
11 |11
1 |
396 = 2 * 2 * 3 * 3 * 11
НОД (264;396) = 2 * 2 * 3 * 11 = 12 * 11 = 132
Ответ: НОД (264;396) = 132
Решение 3
2295 |3
765 |3
255 |3
85 |5
17 |17
1 |
2295 = 3 * 3 * 3 * 5 * 17
408 |2
204 |2
102 |2
51 |3
17 |17
1 |
408 = 2 * 2 * 2 * 3 * 17
НОД (2295;408) = 3 * 17 = 51
Ответ: НОД (2295;408) = 51
Решение 4
1092 |2
546 |2
273 |3
91 |7
13 |13
1 |
1092 = 2 * 2 * 3 * 7 * 13
2574 |2
1287 |3
429 |3
143 |11
13 |13
1 |
2574 = 2 * 3 * 3 * 11 * 13
НОД (1092;2574) = 2 * 3 * 13 = 6 * 13 = 78
Ответ: НОД (1092;2574) = 78 64
-
Номер №64
Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 14, 15, 39 и 56.
Решение
14 |2
7 |7
1 |
14 = 2 * 715 |3
5 |5
1 |
15 = 3 * 5
39 |3
13 |13
1 |
39 = 3 * 13
56 |2
28 |2
14 |2
7 |7
1 |
56 = 2 * 2 * 2 * 7
Ответ: пары взаимно простых чисел:
14 и 15; 14 и 39; 15 и 56; 39 и 56. 65
-
Номер №65
К числу 48 подберите какое−либо однозначное число x, чтобы числа 48 и x были взаимно простыми.
Решение
48| 2
24| 2
12| 2
6 |2
3 |3
1 |
48 = 2 4 ∗ 3
Ответ: возможны 2 случая:
1) числа 48 и 5 взаимно простые;
2) числа 48 и 7 взаимно простые. 66
-
Номер №66
Запишите какие−либо три пары чисел, наибольший общий делитель которых равен 6.
Решение
1)
6 = 2 * 3
12 = 2 * 2 * 3
НОД(6;12) = 2 * 3 = 62)
18 = 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
НОД(18;24) = 2 * 3 = 63)
30 = 2 * 3 * 5
36 = 2 * 2 * 3 * 3
НОД(30;36) = 2 * 3 = 6Ответ:
1) 6 и 12;
2) 18 и 24;
3) 30 и 36. 67
-
Номер №67
Запишите все правильные дроби со знаменателем 12, у которых числитель и знаменатель − взаимно простые числа.
Решение
Разложим число 12 на простые множители:
12 |2
6 |2
3 |3
1 |
12 = 2 * 2 * 3
Тогда у дробей:
1/12 , 5/12 , 7/12 , 11/12 числитель и знаменатель − взаимно простые числа.
Ответ: 1 , 5 , 7 , 11.
12 12 12 12 68
-
Номер №68
Запишите все неправильные дроби с числителем 20, у которых числитель и знаменатель − взаимно простые числа.
Решение
Разложим число 20 на простые множители:
20 |2
10 |2
5 |5
1 |
20 = 2 * 2 * 5
Тогда у дробей:
20/1 , 20/3 , 20/7 , 20/11 , 20/13 , 20/17 , 20/19 числитель и знаменатель − взаимно простые числа.
Ответ: 20 , 20 , 20 , 20 , 20 , 20 , 20 , 20
1 3 7 9 11 13 17 19 69
-
Номер №69
Докажите, что числа 260 и 693 − взаимно простые.
Решение
Доказательство.
Разложим данные числа на простые множители:
260 |2
130 |2
65 |5
13 |13
1 |
260 = 2 * 2 * 5 * 13
693 |3
231 |3
77 |7
11 |11
1 |
693 = 3 * 3 * 7 * 11
НОД(260;693) = 1
У чисел 260 и 693 нет общих делителей, кроме единицы, значит данные числа взаимно простые. 70
-
Номер №70
Докажите, что числа 136 и 255 не являются взаимно простыми.
Решение
Доказательство.
Разложим данные числа на простые множители:
136 |2
68 |2
34 |2
17 |17
1 |
136 = 2 * 2 * 2 * 17
255 |3
85 |5
17 |17
1 |
255 = 3 * 5 * 17
НОД(136;255) = 17
У чисел 136 и 255 есть общий делителей, кроме единицы равный 17, значит данные числа не являются взаимно простыми. 71
-
Номер №71
Для подарков первоклассников приобрели 60 ручек, 84 фломастера и 108 цветных карандашей. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно из них составить, если необходимо использовать все приобретенные предметы?
Решение
Разложим количество каждого вида предметов на простые множители:
60 |2
30 |2
15 |3
5 |5
1 |
60 = 2 * 2 * 3 * 5
84 |2
42 |2
21 |3
7 |7
1 |
84 = 2 * 2 * 3 * 7
108 |2
54 |2
27 |3
9 |3
3 |3
1 |
108 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3НОД(64;84;108) = 2 * 2 * 3 = 12 − наибольшее количество одинаковых подарков которое можно составить, если необходимо использовать все приобретенные предметы.
Ответ: 12 подарков 72
-
Номер №72
В коробке лежат 10 белых и 5 красных шаров. Какое наименьшее количество шаров надо наугад вынуть из коробки, чтобы среди них было 2 шара:
1) белых;
2) красных;
3) разного цвета;
4) одного цвета?
Решение 1
Если первые 5 шаров окажутся красными, то в коробке останутся только белые шары. Значит 2 следующих шара обязательно будут белыми, тогда:
5 + 2 = 7 − наименьшее количество шаров которое надо наугад вынуть из коробки, чтобы среди них было 2 белых шара.
Ответ: 7 шаров
Решение 2
Если первые 10 шаров окажутся белыми, то в коробке останутся только красные шары. Значит 2 следующих шара обязательно будут красными, тогда:
10 + 2 = 12 − наименьшее количество шаров которое надо наугад вынуть из коробки, чтобы среди них было 2 красных шара.
Ответ: 12 шаров
Решение 3
Если первые 10 шаров окажутся белыми, то в коробке останутся только красные шары. Значит следующий шар обязательно будет красным, тогда:
10 + 1 = 11 − наименьшее количество шаров которое надо наугад вынуть из коробки, чтобы среди них было 2 шара разного цвета.
Ответ: 11 шаров
Решение 4
Если первые два шара будут разны цветов, то третий шар обязательно составит пару либо с белым, либо с красным шаром, тогда:
2 + 1 = 3 − наименьшее количество шаров которое надо наугад вынуть из коробки, чтобы среди них было 2 шара одинакового цвета.
Ответ: 3 шара §6 номер 73
-
Номер №73
Заполните пропуски.
1) Наименьшее натуральное число, которое _ натуральных чисел, называют наименьшим общим этих кратных чисел.
2) Наименьшее общее кратное чисел a и b обозначают так: _
3) Если число a − _ числа b, то НОК (a;b) = b.
4) Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно _
Решение
1) Наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из двух данных натуральных чисел, называют наименьшим общим этих кратных чисел.
2) Наименьшее общее кратное чисел a и b обозначают так: НОК(a;b).
3) Если число a − делитель числа b, то НОК (a;b) = b.
4) Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению. 74
-
Номер №74
Найдите наименьшее общее кратное.
1) НОК (6;9) = _
2) НОК (8;10) = _
3) НОК (7;14) = _
4) НОК (70;10) = _
5) НОК (7;8) = _
6) НОК (6;25) = _
Решение 1
НОК (6;9) = 18
Решение 2
НОК (8;10) = 40
Решение 3
НОК (7;14) = 14
Решение 4
НОК (70;10) = 70
Решение 5
НОК (7;8) = 56
Решение 6
НОК (6;25) = 150 75
-
Номер №75
Найдите наименьшее общее кратное чисел a и b, если:
1) a = 2 ∗ 32 ∗ 5 , b = 2 ∗ 33 ∗ 7;
2) a = 24 ∗ 32 ∗ 52 , b = 23 ∗ 34 ∗ 5.
Решение 1
НОК (a;b) = 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 7 = 10 ∗ 27 ∗ 7 = 70 ∗ 27 = 1890
Вычисления:*27
70
1890
Решение 2
НОК (a;b) = 24 ∗ 34 ∗ 52 = 16 ∗ 81 ∗ 25 = 400 ∗ 81 = 32400
Вычисления:*25
16
+150
25
400*81
4000
324000 76
-
Номер №76
Найдите наименьшее общее кратное данных чисел, разложив их предварительно на простые множители:
1) 56 и 84;
2) 72 и 90.
Решение 1
56 |2
28 |2
14 |2
7 |7
1 |
56 = 23 ∗ 784 |2
42 |2
21 |3
7 |7
1 |
84 = 22 ∗ 3 ∗ 7
Н О К ( 56 ; 84 ) = 23 ∗ 3 ∗ 7 = 8 ∗ 21 = 168
Ответ: НОК(56;84) = 168
Решение 2
72 |2
36 |2
18 |2
9 |3
3 |3
1 |
72 = 23 ∗ 32
90 |2
45 |3
15 |3
5 |5
1 |
90 = 2 ∗ 32 ∗ 5
Н О К ( 72 ; 90 ) = 2 3 ∗ 3 2 ∗ 5 = 8 ∗ 9 ∗ 5 = 40 ∗ 9 = 360
Ответ: НОК(72;90) = 360 77
-
Номер №77
Найдите наименьше общее кратное знаменателей дробей:
1) 4/9 и 7/12;
2) 17/24 и 5/16;
3) 1/6 , 1/8 и 1/12;
4) 23/40 и 7/25.
Решение 1
9 = 32
12 = 22 ∗ 3
Н О К ( 9 ; 12 ) = 22 ∗ 32 = 4 ∗ 9 = 36
Ответ: НОК(9;12) = 36
Решение 2
24 = 23 ∗ 3
16 = 24
Н О К ( 16 ; 24 ) = 2 4 ∗ 3 = 16 ∗ 3 = 48
Ответ: НОК(6;24) = 48
Решение 3
6 = 2 * 3
8 = 23
12 = 22 ∗ 3
Н О К ( 6 ; 8 ; 12 ) = 23 ∗ 3 = 8 ∗ 3 = 24
Ответ: НОК(6;8;12) = 24
Решение 4
40 = 23 ∗ 5
25 = 52
Н О К ( 25 ; 40 ) = 23 ∗ 52 = 8 ∗ 25 = 200
Ответ: НОК(25;40) = 200 78
-
Номер №78
Запишите какие−либо три пары чисел, наименьшее общее кратное которых равно 72.
Решение
Разложим число 72 на простые множители:
72 |2
36 |2
18 |2
9 |3
3 |3
1 |
72 = 23 ∗ 32
Найдем числа, делители которых равны только 2 и 3.
8 = 23
9 = 32
18 = 2 ∗ 32
24 = 23 ∗ 3
Составим три пары чисел, наименьшее общее кратное которых равно 72:
1) 8 и 9;
2) 9 и 24;
3) 8 и 18. 79
-
Номер №79
Найдите наименьшее общее кратное:
1) первых шести натуральных чисел;
2) первых шести четных чисел;
3) первых шести нечетных чисел;
4) первых шести составных чисел.
Решение 1
Н О К ( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ) = 1 ∗ 22 ∗ 3 ∗ 5 = 4 ∗ 3 ∗ 5 = 12 ∗ 5 = 60
Решение 2
Н О К ( 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ) = 23 ∗ 3 ∗ 5 = 8 ∗ 15 = 120
Решение 3
Н О К ( 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ) = 1 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 11 = 9 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 11 = 45 ∗ 77 = 3465
Вычисления:
× 45
77
+315
315
3465
Решение 4
Н О К ( 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ) = 23 ∗ 32 ∗ 5 = 8 ∗ 9 ∗ 5 = 40 ∗ 9 = 360 80
-
Номер №80
Длина шага отца равна 80 см, а сына − 50 см. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов?
Решение
Найдем НОК(50;80):
50 |2
25 |5
5 |5
1 |
50 = 2 ∗ 52
80 |2
40 |2
20 |2
10 |2
5 |5
1 |
80 = 24 ∗ 5
Н О К ( 50 ; 80 ) = 24 ∗ 52 = 16 ∗ 25 = 400 (см) = 4 (м) − наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов.
Ответ: 4 метра 81
-
Номер №81
Петя ходит в компьютерный клуб один раз в 4 дня, Миша − в 5 дней, а Вася − в 6 дней. Они встретились в клубе в четверг. Через сколько дней в какой день недели они встретятся в следующий раз?
Решение
1) Н О К ( 4 ; 5 ; 6 ) = 2 2 ∗ 3 ∗ 5 = 4 ∗ 15 = 60 (дней) − пройдет до следующей встречи;
2) 60 : 7 = 8 (ост.4) значит 8 недель и четыре дня пройдет до следующей встречи.
Так как последний раз мальчики встретились в четверг, значит отсчет 8 недель начинается с пятницы и восьмая неделя заканчивается в четверг. Посчитаем еще четыре дня: пятница, суббота, воскресенье, понедельник. Значит мальчики встретятся во вторник.
Ответ: через 60 дней во вторник 82
-
Номер №82
Две бригады цветоводов высадили одинаковое количество кустов роз. Первая бригада посадила розы по 18 кустов в ряд, а вторая − по 12 кустов. Сколько кустов посадила каждая бригада, если известно, что их было больше 100 и меньше 120?
Решение
12 = 22 ∗ 3
18 = 2 ∗ 32
Н О К = ( 12 ; 18 ) = 22 ∗ 32 = 4 ∗ 9 = 36 (кустов) − не подходит, так как по условию каждая бригада посадила больше 100 и меньше 120 кустов, тогда:
36 * 2 = 72 (кустов) − не подходит;
36 * 3 = 108 (кустов) − подходит;
36 * 4 = 148 (кустов) − не подходит.
Ответ: 108 кустов посадила каждая бригада 83
-
Номер №83
В каждый квадрат впишите по одной цифре, чтобы умножение полученных чисел было выполнено верно:
1) ☐☐ * ☐ = 406;
2) ☐☐ * ☐☐ = 609.
Решение 1
☐☐ * ☐ = 406
Разложим число 406 на простые множители:
406 |2
203 |7
29 |29
1 |
406 = 2 * 7 * 29
Так как первый множитель число двузначное, а второй множитель число однозначное, то возможны следующие варианты:
(29 * 7) * 2 = 203 * 2 = 406 − не подходит, так как первый множитель число двузначное;
(29 * 2) * 7 = 58 * 7 = 406 − подходит.
Ответ: 58 * 7 = 406
Решение 2
☐☐ * ☐☐ = 609
Разложим число 609 на простые множители:
609 |3
203 |7
29 |29
1 |
609 = 3 * 7 * 29
Так как оба множителя числа двузначные, то возможны следующие варианты:
(3 * 7) * 29 = 21 * 29 = 609 − подходит;
29 * (3 * 7) = 29 * 21 = 609 − подходит.
Ответ: 21 * 29 = 609 или 29 * 21 = 609 §7 номер 84
-
Номер №84
На координатном луче отметьте точки, соответствующие числам:
1/12 , 2/12 , 3/12 , 4/12 , 5/12 , 6/12 , 7/12 , 8/12 , 9/12 , 10/12 , 11/12 , 12/12 , 1/6 , 2/6 , 3/6 , 4/6 , 5/6 , 6/6 , 1/4 , 2/4 , 3/4 , 4/4 , 1/3 , 2/3 , 3/3 , 1/2 , 2/2.
Какие из этих чисел изображаются на луче одной и той же точкой? Запишите соответствующие равенства.
Решение
На луче одной и той же точкой изображаются следующие числа:
1) 1/6 = 2/12;
2) 1/4 = 3/12;
3) 1/3 = 2/6 = 4/12;
4) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 6/12;
5) 2/3 = 4/6 = 8/12;
6) 3/4 = 9/12;
7) 5/6 = 10/12;
8) 2/2 = 3/3 = 4/4 = 6/6 = 12/12 = 1. 85
-
Номер №85
Заполните пропуски.
1) Если числитель и _ дроби умножить на _ натуральное число, то получится равная ей дробь.
2) Если числитель и знаменатель и знаменатель дроби разделить на _, то получится равная ей дробь.
Решение
1) Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
2) Если числитель и знаменатель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, то получится равная ей дробь. 86
-
Номер №86
Каждую из данных дробей замените равной ей дробью, знаменатель которой равен 18.
1) 1/3 = /18;
2) 1/2 = /18;
3) 5/6 = /18;
4) 21/54 = /18;
5) 1/9 = /18;
6) 14/36 = /18.
Решение 1
1/3 = 1 ∗ 6/3 ∗ 6 = 6/18
Решение 2
1/2 = 1 ∗ 9/2 ∗ 9 = 9/18
Решение 3
5/6 = 5 ∗ 3/6 ∗ 3 = 15/18
Решение 4
21/54 = 21 : 3/54 : 3 = 7/18
Решение 5
1/9 = 1 ∗ 2/9 ∗ 2 = 2/18
Решение 6
14/36 = 14 : 2/36 : 2 = 7/18 87
-
Номер №87
Запишите какие−либо три дроби, равные 1 8.
Решение
1/8 = 1 ∗ 2/8 ∗ 2 = 1 ∗ 3/8 ∗ 3 = 1 ∗ 4/8 ∗ 4
1/8 = 2/16 = 3/24 = 4/32
Ответ: 2/16 , 3/24 , 4/32. 88
-
Номер №88
От числа, записанного в кружке, проведите стрелку к равному ему числу, записанному в квадрате.
Решение
28/49 = 28 : 7/49 : 7 = 4/7
60/100 = 60 : 20/100 : 20 = 3/5
26/65 = 26 : 13/65 : 13 = 2/5
1/11 = 1 ∗ 4/11 ∗ 4 = 4/44
2/3 = 2 ∗ 8/3 ∗ 8 = 16/24
Ответ:
89
-
Номер №89
Среди дробей 4/14 , 3/9 , 4/16 , 10/35 , 17/51 , 16/48 , 15/30 , 14/49 , 12/30 , 28/98 , 63/189 , 7/21 , 6/21 найдите дроби равные соответственно 1 3 и 2 7, и запишите их в таблицу.1/3 2/7 Решение
4/14 = 4 : 2/14 : 2 = 2/7
3/9 = 3 : 3/9 : 3 = 1/3
4/16 = 4 : 4/16 : 4 = 1/4
10/35 = 10 : 5/35 : 5 = 2/7
17/51 = 17 : 17/51 : 17 = 1/3
16/48 = 16 : 16/48 : 16 = 1/3
15/30 = 15 : 15/30 : 15 = 1/2
14/49 = 14 : 7/49 : 7 = 2/7
12/30 = 12 : 6/30 : 6 = 2/5
28/98 = 28 : 14/98 : 14 = 2/7
63/189 = 63 : 63/189 : 63 = 1/3
7/21 = 7 : 7/21 : 7 = 1/3
6/21 = 6 : 3/21 : 3 = 2/7Ответ:
1/3 3/9 17/51 16/48 63/189 7/21 2 7 4/14 10/35 14/49 28/98 6/21 90
-
Номер №90
Впишите пропущенное значение числителя или знаменателя, при котором данная запись будет верной.
1) 4/5 = /25;
2) 3/7 = 9/;
3) 42/63 = /9;
4) 15/55 = 3/.
Решение 1
4/5 = /25 = /5 ∗ 5 = 4 ∗ 5/5 ∗ 5 = 20/25
Ответ: 4/5 = 20/25
Решение 2
3/7 = 9/ = 3 ∗ 3/ = 3 ∗ 3/7 ∗ 3 = 9 21
Ответ: 3/7 = 9/21
Решение 3
42/63 = /9 = /63 : 7 = 42 : 7/63 : 7 = 6/9
Ответ: 42/63 = 6/9
Решение 4
15/55 = 3/ = 15 : 5/ = 15 : 5/55 : 5 = 3/11
Ответ: 15/55 = 3/11 91
-
Номер №91
Запишите:
1) число 2 в виде дроби, знаменатель которой равен 6;
2) число 5 в виде дроби, знаменатель которой равен 3;
3) число 10 в виде дроби, знаменатель которой равен 13;
4) число 7 в виде дроби, знаменатель которой равен 15.
Решение 1
2 = 2/1 = 2 ∗ 6/1 ∗ 6 = 12/6
Ответ: 12/6
Решение 2
5 = 5/1 = 5 ∗ 3/1 ∗ 3 = 15/3
Ответ: 15 3
Решение 3
10 = 10/1 = 10 ∗ 13/1 ∗ 13 = 130/13
Ответ: 130/13
Решение 4
7 = 7/1 = 7 ∗ 15/1 ∗ 15 = 105/15
Ответ: 105/15 92
-
Номер №92
Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение m, при котором верно равенство:
1) m/8 = 15/24;
2) m/72 = 7/8.
Решение 1
m/8 = 15/24
Разделим числитель и знаменатель дроби 15 24 на 3:
15/24 = 15 : 3/24 : 3 = 5/8
m/8 = 5/8
m = 5
Ответ: m = 5
Решение 2
m/72 = 7/8
Умножим числитель и знаменатель дроби 7 8 на 9:
7/8 = 7 ∗ 9/8 ∗ 9 = 63/72
m/72 = 63/72
m = 63
Ответ: m = 63 93
-
Номер №93
Решите уравнение:
1) 35/x + 5 = 7/15;
2) 4 x − 2/63 = 2/9.
Решение 1
35/x + 5 = 7/15
35/x + 5 = 7 ∗ 5/15 ∗ 5
35/x + 5 = 35/75
x + 5 = 75
x = 75 − 5
x = 70
Ответ: 70
Решение 2
4 x − 2/63 = 2/9
4 x − 2/63 = 2 ∗ 7/9 ∗ 7
4 x − 2/63 = 14/63
4x − 2 = 14
4x = 14 + 2
4x = 16
x = 16 : 4
x = 4
Ответ: 4 94
-
Номер №94
В каждой из двух корзин было 12 яблок. Коля взял несколько яблок из первой корзины, а Оля взяла из второй столько яблок, сколько их осталось в первой. Сколько яблок осталось в двух корзинах вместе?
Решение
Пусть x (яблок) − взял Коля из первой корзины, тогда:
12 − x (яблок) − осталось в первой корзины, значит такое же количество взяла Оля из второй корзины;
12 − (12 − x) = 12 − 12 + x = x (яблок) − осталось во второй корзине;
12 − x + x = 12 (яблок) − осталось в двух корзинах вместе.
Ответ: 12 яблок §8 номер 95
-
Номер №95
Заполните пропуски.
1) _ числителя и знаменателя дроби на _ называют сокращением дроби.
2) Дробь, _ которой − _ числа, называют несократимой.
3) Если сократить дробь на _ числителя и знаменателя, то получится несократимая дробь.
Решение
1) Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель называют сокращением дроби.
2) Дробь, числитель и знаменатель которой − взаимно простые числа, называют несократимой.
3) Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получится несократимая дробь. 96
-
Номер №96
Сократите дробь.
1) 3/15 =
2) 12/30 =
3) 14/49 =
4) 10/35 =
5) 20/44 =
6) 64/80 =
Решение 1
3/15 = 3 : 3/15 : 3 = 1/5
Решение 2
12/30 = 12 : 6/30 : 6 = 2/5
Решение 3
14/49 = 14 : 7/49 : 7 = 2/7
Решение 4
10/35 = 10 : 5/35 : 5 = 2/7
Решение 5
20/44 = 20 : 4/44 : 4 = 5/11
Решение 6
64/80 = 64 : 16/80 : 16 = 4/5 97
-
Номер №97
Восстановите запись.
1) 60/100 = /10 = /5
2) /72 = 3/12 = 1/
Решение 1
60/100 = 6/10 = 3/5
Решение 2
18/72 = 3/12 = 1/4 98
-
Номер №98
Обведите несократимые дроби.
11/18 , 9/27 , 6/77 , 5/32 , 36/729 , 10/121.
Решение
11/18 − несократимая дробь;
9/27 = 9 : 9/27 : 9 = 1/3;
6/77 − несократимая дробь;
5/32 − несократимая дробь;
36/729 = 36 : 9/729 : 9 = 4/81;
10/121 − несократимая дробь.
Ответ: 11/18, 9/27, 6/77, 5/32, 36/729, 10/121. 99
-
Номер №99
Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и результат, если возможно, сократите.
1) 0,6 =
2) 0,18 =
3) 0,72 =
4) 0,34 =
5) 0,21 =
6) 0,124 =Решение 1
0,6 = 6/10 = 6 : 2/10 : 2 = 3/5
Решение 2
0,18 = 18/100 = 18 : 2/100 : 2 = 9/50
Решение 3
0,72 = 72/100 = 72 : 4/100 : 4 = 18/25
Решение 4
0,34 = 34/100 = 34 : 2/100 : 2 = 17/50
Решение 5
0,21 = 21/100
Решение 6
0,124 = 124/1000 = 124 : 4/1000 : 4 = 31/250 100
-
Номер №100
Выполните действие и сократите результат.
1) 5/18 + 7/18 =
2) 5/12 + 4/12 =
3) 2 15/56 + 4 13/56 =
4) 7 47/48 − 3 17/48 =
Решение 1
5/18 + 7/18 = 5 + 7/18 = 12/18 = 12 : 6/18 : 6 = 2/3
Решение 2
5/12 + 4/12 = 5 + 4/12 = 9/12 = 9 : 3/12 : 3 = 3/4
Решение 3
2 15/56 + 4 13/56 = (2+4) + 15+13/56 = 6 28/56 = 6 28 : 28/56 : 28 = 6 1/2
Решение 4
7 47/48 − 3 17/48 = (7−3) + 47−17/48 = 4 30/48 = 4 30 : 6/48 : 6 = 4 5/8 101
-
Номер №101
Найдите среди дробей 9/18 , 3/4 , 1/2 , 12/24 , 12/16 , 15/20 равные и запишите соответствующие равенства.
Решение
9/18 = 9 : 9/18 : 9 = 1/2
12/24 = 12 : 12/24 : 12 = 1/2
12/16 = 12 : 4/16 : 4 = 3/4
15/20 = 15 : 5/20 : 5 = 3/4
Ответ:
9/18 = 12/24 = 1/2
12/16 = 15/20 = 3/4 102
-
Номер №102
Заполните пропуски.
1) 5 мин = 5/60 ч = 1/12 ч;
2) 24 мин = ч = ч;
3) 42 мин = ч = ч;
4) 45 мин = ч = ч.
Решение 1
5 мин = 5/60 ч = 1/12 ч
Решение 2
24 мин = 24/60 ч = 2/5 ч
Решение 3
42 мин = 42/60 ч = 7/10 ч
Решение 4
45 мин = 45/60 ч = 3/4 ч 103
-
Номер №103
Сократите:
1) 4 ∗ 3/27 ∗ 8 =
2) 12 ∗ 14/35 ∗ 15 =
3) 17 ∗ 22/55 ∗ 34 =
4) 12 ∗ 14/35 ∗ 15 =
5) 8 ∗ 13 ∗ 45/15 ∗ 24 ∗ 39 =
6) 9 ∗ 14 + 9 ∗ 5/18 ∗ 38 = 9 ∗ ( 14 + 5 )/ 18 ∗ 38 = 9 ∗ 19/18 ∗ 38 =
7) 15 ∗ 21/15 ∗ 32 − 15 ∗ 4 =
8) 42 ∗ 17 − 16 ∗ 17/51 ∗ 7 + 51 ∗ 6 =
Решение 1
104
-
Номер №104
Дробь x 48 сократили на 6 и получили дробь 5 y. Найдите значения x и y.
Решение
x : 6/48 : 6 = 5/y
x : 6/8 = 5/y
x : 6 = 5
x = 5 * 6
x = 30
y = 8
Ответ: x = 30 и y = 8 105
-
Номер №105
Сократите (буквами обозначены натуральные числа).
1) 7a/21 a =
2) 36c/48 =
3) 16xy/40xy =
4) 72mn/108np =
Решение 1
7a/21a = 7a/3∗7a = 1/3
Решение 2
36c/48 = 3c∗12/4 ∗ 12 = 3c/4
Решение 3
16xy/40xy = 2∗8xy/5∗8xy = 2/5
Решение 4
72mn/108np = 2m∗36n/3p∗36n = 2m/3p 106
-
Номер №106
Какую часть суток составляет интервал времени с 11 ч 50 мин до 15 ч 14 мин?
Решение
15 ч 14 мин − 11 ч 50 мин = 14 ч 74 мин − 11 ч 50 мин = 3 ч 24 мин = (3 * 60 + 24) мин = (180 + 24) мин = 204 мин
204/24∗60 = 34/24∗10 = 17/12∗10 = 17/120 часть суток составляет интервал времени с 11 ч 50 мин до 15 ч 14 мин.
Ответ: 17
120 часть суток 107
-
Номер №107
В классе 27 учащихся, 9 из них ходят в футбольную секцию, 6 − в баскетбольную секцию, а 14 учащихся не занимаются ни в одной из этих секций. Сколько учащихся класса занимаются и футболом и баскетболом?
Решение
1) 27 − 14 = 13 (учащихся) − занимаются в секциях;
2) 9 + 6 = 15 (учащихся) − занимаются либо футболом, либо баскетболом;
3) 15 − 13 = 2 (учащихся) − занимаются и футболом и баскетболом.
Ответ: 2 учащихся §9 номер 108
-
Номер №108
Заполните пропуски.
1) Общий знаменатель двух дробей − это _ их знаменателей.
2) Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:
а) найти _ знаменателей данных дробей;
б) найти _ для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на _ данных дробей;
в) умножить _ каждой дроби на ее _
3) Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо _, а затем применить правило _
Решение
1) Общий знаменатель двух дробей − это общее кратное их знаменателей.
2) Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:
а) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей;
б) найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
в) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
3) Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. 108
-
Номер №109
Приведите:
1) дробь 3/4 к знаменателю 12;
2) дробь 5/9 к знаменателю 36;
3) дробь 10/23 к знаменателю 46;
4) дробь 11/12 к знаменателю 96.
Решение 1
3/4 = 3∗3/4∗3 = 9/12
Решение 2
5/9 = 5∗4/9∗4 = 20/36
Решение 3
10/23 = 10∗2/23∗2 = 20/46
Решение 4
11/12 = 11∗8/12∗8 = 88/96 110
-
Номер №110
Приведите дробь 3/7 к знаменателю: 14, 21, 35, 63, 140.
3/7 = /14;
3/7 = /21;
3/7 =;
3/7 =;
3/7 =.
Решение
3/7 = 3∗2/7∗2 = 6/14;
3/7 = 3∗3/7∗3 = 9/21;
3/7 = 3∗5/7∗5 = 15/35;
3/7 = 3∗9/7∗9 = 27/63;
3/7 = 3∗20/7∗20 = 60/140. 111
-
Номер №111
Приведите данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
1) 1/4 и 1/14;
1/4 = 28;
1/14 = 28;
2) 4/15 и 7/10;
4/15 =;
7/10 =;
3) 4/9 и 11/12;
4/9 =;
11/12 =;
4) 3/8 и 5/9;
3/8 =;
5/9 =.
Решение 1
1/4 и 1/14;
1/4 = 7/28;
1/14 = 2/28.
Решение 2
4/15 и 7/10;
4/15 = 8/30;
7/10 = 21/30.
Решение 3
4/9 и 11/12;
4/9 = 16/36;
11/12 = 33/36.
Решение 4
3/8 и 5/9;
3/8 = 27/72;
5/9 = 40/72. 112
-
Номер №112
Сравните дроби.
1) 7/9 и 5/6;
2) 11/16 и 7/12;
3) 5/16 и 3/8;
4) 8/11 и 3/4;
5) 19/21 и 5/6;
6) 9/25 и 7/20.Решение 1
7/9 и 5/6
7/9 = 2/18
5/6 = 15/18
2/18 < 15/18, значит 7/9 < 5/6.
Решение 2
11/16 и 7/12
11/16 = 33/48
7/12 = 28/48
33/48 > 28/48, значит 11/16 > 7/12.
Решение 3
5/16 и 3/8
3/8 = 6/16
5/16 < 6/16, значит 5/16 < 3/8.
Решение 4
8/11 и 3/4
8/11 = 32/44
3/4 = 33/44
32/44 < 33/44, значит 8/11 < 3/4.
Решение 5
19/21 и 5/6
19/21 = 38/42
5/6 = 35/42
38/42 > 35/42, значит 19/21 > 5/6.
Решение 6
9/25 и 7/20
9/25 = 36/100
7/20 = 35/100
36/100 > 35/100, значит 9/25 > 7/20. 113
-
Номер №113
Расположите в порядке возрастания числа: 5/12 , 3/8 , 13/24 , 4/9.
Решение
Приведем данные дроби к наименьшему общему знаменателю:
114
-
Номер №114
Расположите в порядке убывания числа: 7 15 , 23 30 , 5 12 , 11 20 , 3 4.
Решение
Приведем данные дроби к наименьшему общему знаменателю:
115
-
Номер №115
Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:
1) 5/8 < x 56 < 19/28;
2) 4/15 < x/45 < 4/9.
Решение 1
116
-
Номер №116
Запишите все дроби со знаменателем 24, которые больше 1/3, но меньше 1/2.
Решение
117
-
Номер №117
Укажите какие−либо два числа, каждое из которых:
1) больше 4/9, но меньше 5/9;
2) больше 1/8, но меньше 1/7.
Решение 1
118
-
Номер №118
Миша и Юра играли в баскетбол. Миша сделал 14 бросков и попал в кольцо 8 раз, а Юра − 16 бросков и попал в кольцо 10 раз. У кого из мальчиков лучше результативность попадания в кольцо?
Решение
У Миши точные броски составляют 8/14 = 4/7 − всех сделанных им бросков.
У Юры точные броски составляют 10/16 = 5/8 − всех сделанных им бросков.
4/7 = 32/56
5/8 = 35/56
32/56 < 35/56, значит:
4/7 < 5/8 − следовательно результативность попадания в кольцо у Юры выше.
Ответ: результативность Юры выше 119
-
Номер №119
Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство x/18 < 10/27.
Решение
120
-
Номер №120
Саша, Петя и Вася играли в футбол и попали мячом в окно. Саша сказал: "Это не я разбил окно", а Петя заявил: "Это Вася разбил окно". Одно из этих утверждений верно, а другое − нет. Кто из мальчиков разбил окно?
Решение
1) Пусть Саша сказал правду, значит окно разбил либо Вася, либо Петя. Но так как по условию одно утверждение верно, а второе неверно, значит Петя врет. Следовательно Петя разбил окно.
2) Пусть Саша врет, значит он и разбил окно. Но если Саша врет, значит Петя говорит правду и тогда Вася разбил окно. Следовательно этот вариант невозможен.
Ответ: Петя разбил окно §10 номер 121
-
Номер №121
Заполните пропуски.
1) Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к _, а затем применить правило _
2) Для дробей выполняются _ и _ свойства сложения.
Решение
1) Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к к общему знаменателю, а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
2) Для дробей выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения. 122
-
Номер №122
Вычислите.
1) 1 6 / 5 + 3 5 / 6 = 30 + 30 =
2) 11 12 − 1 4 / 3 = 11 12 − 12 =
3) 5 14 / 2 + 3 4 / 7 = 28 + 28 =
4) 13 24 − 5 16 =
5) 7 8 + 3 10 =
6) 11 15 / 3 + 2 9 / − 3 5 / = 45 + 45 − 45 =
Решение 1
123
-
Номер №123
Найдите сумму.
1) 3 7/16 + 2 5/32 = 3 + 7/16 + 2 + 5/32 = ( + ) + ( − + − ) =
2) 1 1/12 + 3 4/9 =
3) 4 1/6 + 5 3/14 + 6 2/21 =
Решение 1
124
-
Номер №124
Вычислите значение выражения.
1) 5 16/21 − 2 5/9 =
2) 9 5/6 − 4 9/16 =
Решение 1
125
-
Номер №125
Вычислите.
1) 1 − 13 21 = 21 − 13 21 =
2) 4 − 2 9 = 3 9 − 2 9 =
3) 7 − 1 13 16 =
4) 10 − 5 3 7 =
Решение 1
1 − 13/21 = 21/21 − 13/21 = 8/21
Решение 2
4 − 2/9 = 3 9/9 − 2/9 = 3 7/9
Решение 3
7 − 1 13/16 = 6 16/16 − 1 13/16 = 5 3/16
Решение 4
10 − 5 3/7 = 9 7/7 − 5 3/7 = 4 4/7 126
-
Номер №126
Выполните вычитание.
1) 5 8/51 − 3 5/17 = 5 8/51 − 3 15/51 = 4 59/51 − 3 15/51 =
2) 4 2/9 − 1 17/36 =
3) 6 2/3 − 2 6/7 =
4) 3 1/6 − 2 3/8 =
5) 9 7/20 − 4 9/25 =
6) 7 4/15 − 5 5/9 =Решение 1
127
-
Номер №127
В одном бочонке было 13/20 кг квашеной капусты, а в другом − 11/15 кг квашеной капусты. В каком бочонке капусты больше и на сколько килограммов?
Решение
13/20 = 39/60
11/15 = 44/60
39/60 < 44/60, значит:
13/20 < 11/15 − во втором бочонке квашеной капусты было больше;
44/60 − 39/60 = 5/60 = 1/12 (кг) − на столько квашеной капусты было больше во втором бочонке, чем в первом.
Ответ: на 1/12 кг квашеной капусты было больше во втором бочонке 128
-
Номер №128
Петя играл на компьютере 7/12 ч, что на 1/3 ч меньше времени, потраченного им на выполнение домашнего задания по математике. Сколько всего часов он потратил на игру на компьютере и выполнение домашнего задания по математике?
Решение
129
-
Номер №129
Решите уравнение:
1)
x + 1 4/9 = 4 2/7
x = 4 2/7 − 1 4/9
x = 4 /63 − 1 /63
x = 3 /63 − 1 /63
x =
2)
6 11/12 − x = 3 7/9
x = 6 11/12 − 3 7/9
3)
x − 1 3/10 = 2 6/35
Решение 1
130
-
Номер №130
Собственная скорость лодки равна 12 1/6 км/ч, а скорость течения реки − 1 1/4 км/ч. Найдите скорость лодки по течению реки и ее скорость против течения.
Решение
131
-
Номер №131
Вычислите значение выражения, используя свойства сложения.
1) 7/18 + 11/24 + 5/18 + 13/24 = ( 7/18 + 5/18 ) + ( + ) =
2) 11/50 + 8/15 + 2/15 + 14/50 =
3) 1 3/32 + 3 7/72 + 2 5/32 + 4 1/36 =
Решение 1
132
-
Номер №132
Решите уравнение:
1) (x + 4/7 ) − 9/14 = 1/4
x + 4/7 = 1/4 + 9/14
2) ( x − 17/36 ) + 9/40 = 13/30
3) 2 3/4 − ( x − 3 1/8 ) = 1 1/6
4) 7 5/9 − ( 3 4/27 − x ) = 2 5/6
Решение 1
133
-
Номер №133
Выполните действия.
1) 6 4/15 − 2 1/9 + 1 3/10 = 6 /90 − 2 /90 + 1 /90 =
2) 7 2/3 − 5 5/36 + 3 3/8 =
3) 10 9/22 − 3 7/11 − 4 8/33 =
4) 12 17/42 − ( 3 1/4 + 4 1/6 ) =
5) 15 − ( 6 4/35 − 2 3/14 ) =
Решение 1
134
-
Номер №134
Маша потратила 1/8 своих денег на покупку конфет, 5/12 − на тетради, 7/24 − на книгу по истории, а оставшиеся деньги − на книгу по математике. Какую часть денег потратила Маша на книгу по математике?
Решение
1) 1/8 + 5/12 + 7/24 = 3/24 + 10/24 + 7/24 = 13/24 + 7/24 = 20/24 = 5/6 (денег) − потратила Маша на конфеты, тетради и книгу по истории;
Все деньги равны единице, тогда:
2) 1 − 5/6 = 6/6 − 5/6 = 1/6 (денег) − потратила Маша на книгу по математике.
Ответ: 1/6 всех денег 135
-
Номер №135
Миша может съесть дыню за 6 мин, а Вася − за 8 мин. Какую часть дыни они съедят вместе за 1 мин? За 2 мин?
Решение
За 1 мин Миша съедает 1 6 дыни, а Вася 1 8 дыни.
Вместе за 1 мин они съедят:
1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24 (дыни);
Вместе за 2 мин они съедят:
7/24 + 7/24 = 14/24 = 7/12 (дыни).
Ответ: 7/24 дыни; 7/12 дыни. 136
-
Номер №136
Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Первый автомобиль преодолевает расстояние между этими городами за 3 ч, а второй − за 4 ч. Встретились ли автомобили, если они были в дороге: 1) 1 ч; 2 ч?
Решение
137
-
Номер №137
Бассейн можно наполнить водой через первую трубу за 6 ч, а через вторую − за 10 ч. Какая часть бассейна останется не заполненной водой через 1 ч, если открыть обе трубы?
Решение
За 1 ч через первую трубу наполняется водой 1 6 бассейна, а через вторую 1/10 бассейна.
1) 1/6 + 1/10 = 5/30 + 3/30 = 8/30 = 4/15 (бассейна) − заполнится за 1 час из обоих труб;
Весь бассейн равен 1, тогда:
2) 1 − 4/15 = 15/15 − 4/15 = 11/15 (бассейна) − останется не заполненной водой через 1 ч, если открыть обе трубы.
Ответ: 11/15 бассейна 138
-
Номер №138
Двое рабочих изготовили вместе некоторое количество деталей за 4 ч. Если бы работал только один из них, то он изготовил бы это количество деталей за 6 ч. Какую часть работы выполнял каждый рабочий за 1 ч?
Решение
Вся работа равна единице, тогда:
1/4 (работы) − выполняют за 1 час оба рабочих, работая вместе;
1/6 (работы) − выполняет за 1 час один из рабочих;
1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12 (работы) − выполняет за 1 час второй рабочий.
Ответ: 1/6 работы и 1/12 работы. 139
-
Номер №139
Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений.
1) ( 7 5/19 + 3 7/24 ) − 4 5/19 = ( 7 5/19 − 4 5/19 ) + 3 7/24 =
2) ( 13 2/17 + 6 12/35 ) − 5 12/35 =
3) 12 11/21 − ( 3 2/13 + 8 11/21 ) = ( 12 11/21 − ) − =
4) 20 21/43 − ( 9 21/43 + 2 15/37 ) =
Решение 1
140
-
Номер №140
Упростите выражение (буквами обозначены натуральные числа).
1) 4a/9b + a/12b =
2) 7m/45n − 4m/27n =
Решение 1
141
-
Номер №141
Вычислите значение выражения.
1) 1 10 ∗ 11 + 1 11 ∗ 12 + 1 12 ∗ 13 + . . . + 1 49 ∗ 50 = 1 10 − 1 11 + 1 11 − 1 12 + . . . + 1 49 − 1 50 =
2) 3 2 ∗ 5 + 3 5 ∗ 8 + 3 8 ∗ 11 + . . . + 3 32 ∗ 35 =
Решение 1
142
-
Номер №142
Докажите, что:
1) 1 11 + 1 12 + 1 13 + 1 14 + 1 15 > 1 3
2) 1 51 + 1 52 + 1 53 + к + 1 99 + 1 100 > 1 2
§11 номер 143
-
Номер №143
Заполните пропуски.
1) Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее _ умножить _, а _ оставить без изменений.
2) Произведением двух дробей является _, числитель которой равен _, а знаменатель − _
3) Чтобы умножить два смешанных числа, надо сначала _ их в виде _, а затем воспользоваться правилом _
4) a b ∗ c d = c d _ − _ свойство умножения.
5) ( a b ∗ c d ) ∗ p q = _ − сочетательное свойство умножения.
6) ( a b + c d ) ∗ p q = _ − распределительное свойство умножения.
7) ( a b − c d ) ∗ p q = _ − распределительное свойство умножения относительно _
Решение
1) Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.
2) Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению, а знаменатель − произведению знаменателей данных дробей.
3) Чтобы умножить два смешанных числа, надо сначала представить их в виде правильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.
144
-
Номер №144
Выполните умножение.
1) 3 ∗ 5 16 =
2) 7 24 ∗ 8 =
3) 13 15 ∗ 30 =
4) 18 ∗ 7 12 =
Решение 1
3 ∗ 5/16 = 3∗5/16 = 15/16
Решение 2
7/24 ∗ 8 = 7∗8/24 = 7∗1/3 = 7/3 = 2 1/3
Решение 3
13/15 ∗ 30 = 13∗30/15 = 13∗2/1 = 26
Решение 4
18 ∗ 7/12 = 18∗7/12 = 3∗7/2 = 21/2 = 10 1/2 145
-
Номер №145
В пустые кружки впишите произведение числа 45 64 и указанных чисел.
Решение
Ответ:
146
-
Номер №146
Расшифруйте фамилию русского математика, писателя, первой женщины − члена−корреспондента Петербургской академии наук.А 2 9 ∗ 4 7 = К 3 8 ∗ 5 6 = С 14 15 ∗ 3 7 = В 18 55 ∗ 11 18 = Л 21 32 ∗ 12 35 = О 19 40 ∗ 8 57 = Я 15 22 ∗ 4 27 = Е 41 54 ∗ 63 82 = 5 16 1 15 1 5 8 63 9 40 7 12 1 5 2 5 5 16 8 63 10 99 Ответ: Ковалевская
Решение
5/16 1/15 1/5 8/63 9/40 7/12 1/5 2/5 5/16 8/63 10/99 К О В А Л Е В С К А Я Ответ: Ковалевская
147
-
Номер №147
Выполните умножение.
1) 2 6/7 ∗ 2 4/5 =
2) 2 3/8 ∗ 1 13/19 =
3) 5 1/16 ∗ 1 11/45 =
4) 2 1/3 ∗ 1 3/14 =
Решение 1
2 6/7 ∗ 2 4/5 = 20/7 ∗ 14/5 = 20∗14/7∗5 = 4∗2/1∗1 = 8
Решение 2
2 3/8 ∗ 1 13/19 = 19/8 ∗ 32/19 = 19∗32/8∗19 = 1∗4/1∗1 = 4
Решение 3
5 1/16 ∗ 1 11/45 = 81/16 ∗ 56/45 = 81∗56/16∗45 = 9∗7/2∗5 = 63/10 = 6 3/10
Решение 4
2 1/3 ∗ 1 3/14 = 7/3 ∗ 17/14 = 7∗17/3∗14 = 1∗17/3∗2 = 17/6 = 2 5/6 148
-
Номер №148
Заполните цепочку вычислений.
1)
2)
Решение 1
1) 2/7 + 1/14 = 2∗2+1/14 = 4+1/14 = 5/14
2) 5/14 ∗ 7/10 = 5∗7/14∗10 = 1∗1/2∗2 = 1/4
3) 1/4 ∗ 1/4 = 1∗1/4∗4 = 1/16
4) 1/16 ∗ 32 = 1∗32/16 = 2/1 = 2
5) 2 − 1 5/13 = 1 13/13 − 1 5/13 = 8/13
Ответ:
Решение 2
1) 11/18 − 1/9 = 11−1∗2/18 = 11−2/18 = 9/18 = 1/2
2) 1/2 ∗ 2 2/3 = 1/2 ∗ 8/3 = 1∗8/2∗3 = 1∗4/1∗3 = 4/3 = 1 1/3
3) 1 1/3 ∗ 1/2 = 4/3 ∗ 1/2 = 4∗1/3*2 = 2∗1/3∗1 = 2/3
4) 2/3 + 5/6 = 2∗2+5/6 = 4+5/6 = 9/6 = 3/2 = 1 1/2
5) 1 1/2 ∗10 = 3/2 ∗ 10 = 3∗10/2 = 3∗5/1 = 15
Ответ:
149
-
Номер №149
Найдите значение выражения.
1) ( 16 27 − 5 9 ) ∗ 3 10 =
а) 16 27 − 5 9 =
б)
2) 16 27 − 5 9 ∗ 3 10 =
а) 5 9 ∗ 3 10 =
б)
3) ( 6 − 2 2 7 ∗ 1 5 44 ) ∗ 2 17 19 =
Решение 1
150
-
Номер №150
Какой путь проедет мотоциклист за 2 1/3 ч, если его скорость составляет 78 км/ч?
Решение
2 1/3 ∗ 78 = 7/3 ∗ 78 = 7∗26 = 182 (км) − проедет мотоциклист.
Ответ: 182 км
Вычисления:
× 26
7
182 151
-
Номер №151
Из одного города в другой одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового автомобиля равна 61 7 20 км/ч, а скорость грузового − 49 4 15 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 4 5 ч после начала движения?
Решение
Ответ: 58 км 152
-
Номер №152
Из одного порта в противоположных направлениях одновременно вышли теплоход и катер. Теплоход двигался со скоростью 24 11 15 км/ч, а катер − 30 1 6 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 2 9 ч после начала движения?
Решение
Ответ: 122 км 153
-
Номер №153
Вычислите.
1) (2/7) 2 =
2) (2/3) 3 =
3) (1/5) 3 =
4) (3 1/3) 2 =
Решение 1
154
-
Номер №154
Найдите значение выражения.
1) 1 2/3 ∗ 3 − ( 1 1/3 + 2 2/9 ) ∗ 3/16 =
2) 1 3/5 ∗ 3 1/3 + (1 − 3/8) ∗ (1 − 1/3) =
3) 1 3/16 ∗ 8 − 2 1/42 ∗ 2 6/17 − 1 11/28 ∗ 1 3/13 =Ответы:
155
-
Номер №155
Вычислите значение выражения, используя распределительное свойство умножения.
1) 4 2/7 ∗ 5 11/15 − 4 2/7 ∗ 2 7/15 = 4 2/7 ∗ ( − ) =
2) 2 1/4 ∗ 7 13/18 − 2 1/4 ∗ 6 5/18 =
3) 2 3/11 ∗ 2 7/15 − 2 3/11 ∗ 7/10 + 1 1/6 ∗ 2 3/11 =Ответы:
156
-
Номер №156
Упростите выражение.
1) 8/25 a ∗ 5/56 b = ( 8/25 ∗ 5/56 ) a b =
2) 4 4/9 m ∗ 2 5/8 n =
3) 5 1/3 x ∗ 9 y =
Ответы:
157
-
Номер №157
От двух станций одновременно навстречу друг другу отправились два поезда. Первый поезд шел со скоростью 42 3/5 км/ч, а второй − со скоростью в 1 2/3 раза большей. Найдите расстояние между станциями, если поезда встретились через 1 7/8 ч после начала движения.
Решение
Ответ: 213 км 158
-
Номер №158
Велосипедист ехал со скоростью 8 1/4 км/ч, а мотоциклист − со скоростью в 8 8/9 раза большей, и догнал велосипедиста через 1/3 5 ч после начала движения. Каким было расстояние между велосипедистом и мотоциклистом сначала, если они начали двигаться одновременно?
Решение
Ответ: 104 2/15 км 159
-
Номер №159
Выполните умножение (буквами обозначены натуральные числа).
1) 3x/8 ∗ 4/9y =
2) 8mn/15 ∗ 25k/32m =
3) 7a/8b ∗ 8b/7a =
4) 24xy/17z ∗ 34z/15y =
Решение 1
160
-
Номер №160
Сравните. не выполняя умножения.
1) 9/16 ☐ 9/16 ∗ 5/4;
2) 14/15 ☐ 14/15 ∗ 8/9;
3) 6/7 ∗ 5/23 ☐ 6/23 ∗ 5/7.
Решение 1
161
-
Номер №161
Может ли быть простым числом сумма четырех последовательных натуральных чисел? Ответ обоснуйте.
Решение
Пусть:
n − 1 − первое число;
n − второе число;
n + 1 − третье число;
n + 2.
Найдем сумму данных чисел:
(n − 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = n − 1 + n + n + 1 + n + 2 = 4n + 2 = 2(2n + 1) − сумма четырех последовательных чисел является число четным, отличным от числа 2. Следовательно данная сумма не может быть простым числом.
Ответ: нет. не может §12 номер 162
-
Номер №162
Заполните пропуски.
1) Чтобы найти дробь от числа, можно _
2) Чтобы найти проценты от числа, можно представить _ на эту дробь.
Решение
1) Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.
2) Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь. 163
-
Номер №163
Найдите:
1) 4/15 от числа 60;
2) 6/23 от числа 46/51;
3) 3/7 от числа 1 5/9.
Решение 1
60 ∗ 4/15 = 4*4/1 = 16
Решение 2
46/51 ∗ 6/23 = 2/17 ∗ 2/1 = 4/17
Решение 3
1 5/9 ∗ 3/7 = 14/9 ∗ 3/7 = 2/3 ∗ 1/1 = 2/3 164
-
Номер №164
Найдите:
1) 30% от числа 24;
2) 10% от числа 5/6;
3) 12% от числа 70.
Решение 1
30% = 0,3
24 ∗ 0,3 = 24∗3/10 = 12∗3/5 = 36/5 = 7 1/5
Решение 2
10% = 0,1
5/6 ∗ 0,1 = 5/6 ∗ 1/10 = 1/6 ∗ 1/2 = 1/12
Решение 3
12% = 0,12
70 ∗ 0,12 = 70 ∗ 12/100 = 70∗3/25 = 14∗3/5 = 42/5 = 8 2/5 165
-
Номер №165
На книжной полке стоят 24 книги, из них 3/8 составляют словари. Сколько словарей стоит на полке?
Решение
24∗ 3/8 = 3∗ 3/1 = 9 (словарей) − стоит на полке.
Ответ: 9 словарей 166
-
Номер №166
Велосипедист проехал за два дня 45 км. В первый день он проехал 5/9 всего пути. Сколько километров он проехал во второй день?
Решение
1) 45 ∗ 5/9 = 5∗5/1 = 25 (км) − проехал велосипедист в первый день;
2) 45 − 25 = 20 (км) − проехал велосипедист во второй день.
Ответ: 20 км 167
-
Номер №167
Сколько граммов соли содержится в 360 г двадцатипроцентного раствора соли?
Решение
20% = 0,2
360 ∗ 0,2 = 360 ∗ 20/100 = 360∗1/5 = 72 (г) − соли содержится в растворе.
Ответ: 72 г 168
-
Номер №168
В школе 1200 учащихся, из них 54% составляют мальчики. Сколько девочек учится в этой школе?
Решение
1) 100% − 54% = 46% − составляют девочки;
2) 46% = 0,46
1200 ∗ 0,46 = 1200∗46/100 = 12∗46/1 = 552 (девочки) − учится в этой школе.
Ответ: 552 девочки
Вычисления:× 12
46
+ 72
48
552 169
-
Номер №169
Продолжительность художественного фильма 1 ч 20 мин. Во время его показа демонстрировали рекламу, продолжительность которой составляла 3 16 продолжительности фильма. Сколько времени занял показ художественного фильма с рекламой?
Решение
1 ч 20 мин = 60 мин + 20 мин = 80 мин
1) 80 ∗ 3/16 = 5*3/1 = 15 (мин) − длилась реклама;
2) 1 ч 20 мин + 15 мин = 1 ч 35 мин − занял показ художественного фильма с рекламой.
Ответ: 1 ч 35 мин 170
-
Номер №170
Юля, Оля и Маша собрали 112 грибов. Юля собрала 3/7 всех грибов, Оля − 5/14 всех грибов, а Маша − остальные грибы. Сколько грибов собрала Маша?
Решение
1) 3/7 + 5/14 = 3∗2+5/14 = 6+5/14 = 11/14 всех грибов собрали Юля и Оля;
2) 112 ∗ 11/14 = 8 ∗ 11/1 = 88 (грибов) − собрали Юля и Оля;
3) 112 − 88 = 24 (гриба) − собрала Маша.
Ответ: 24 гриба 171
-
Номер №171
Из 800 учащихся школы 85% занимаются в разных кружках и секциях, а 15% из них − в футбольной секции. Сколько учащихся занимаются футболом?
Решение
85% = 0,85; 15% = 0,15.
1) 800 ∗ 0,85 = 800∗85/100 = 8∗85 = 680 (уч.) − занимаются в разных кружках и секциях;
2) 680 ∗ 0,15 = 680∗15/100 = 68∗15/10 = 68∗3/2 = 34∗3 = 102 (уч.) − занимаются футболом.
Ответ: 102 учащихся 172
-
Номер №172
Собрали 36 кг ягод, из которых 75% составляла клубника. Из 2/3 собранной клубники сварили варенье. Сколько килограммов клубники использовали для приготовления варенья?
Решение
75% = 0,75 = 3/4
1) 36 ∗ 3/4 = 9∗3 = 27 (кг) − клубники собрали;
2) 27 ∗ 2/3 = 9∗2 = 18 (кг) − клубники использовали для приготовления варенья.
Ответ: 18 кг 173
-
Номер №173
За три дня на птицеферме вылупилось 1200 цыплят. В первый день вылупилось 11/30 всех цыплят, а во второй − 9/19 остатка. Сколько цыплят вылупилось в третий день?
Решение
1) 1200 ∗ 11/30 = 40 ∗ 11 = 440 (цып.) − вылупилось в первый день;
2) 1200 − 440 = 760 (цып.) − вылупилось во второй и третий дни;
3) 760 ∗ 9/19 = 40 ∗ 9 = 360 (цып.) − вылупилось во второй день;
4) 760 − 360 = 400 (цып.) − вылупилось в третий день.
Ответ: 400 цыплят 174
-
Номер №174
Длина одной стороны треугольника 16 см, длина второй составляет 0,85 длины первой, а длина третьей − 15/17 длины второй. Вычислите периметр треугольника.
Решение
1) 16 ∗ 0,85 = 16∗85/100 = 16∗17/20 = 4∗17/5 = 68/5 = 13 3/5 (см) − длина второй стороны;
2) 13 3/5 ∗ 15/17 = 68/5 ∗ 15/17 = 4/1 ∗ 3/1 = 12 (см) − длина третьей стороны;
3) 16 + 13 3/5 + 12 = 41 3/5 (см) − периметр треугольника.
Ответ: 41 3/5 см 175
-
Номер №175
От веревки длиной 100 м отрезали кусок, длина которого составляет 10% длины веревки, потом 50% остатка, а затем − 50% получившегося остатка. Какова длина оставшейся веревки?
Решение
10% = 1/10
50% = 1/2
1) 100 ∗ 1/10 = 100/10 = 10 (м) − веревки отрезали в первый раз;
2) 100 − 10 = 90 (м) − веревки осталось;
3) 90 ∗ 1/2 = 90/2 = 45 (м) − веревки отрезали во второй раз и такой же длины кусок остался;
4) 45 ∗ 1/2 = 45/2 = 22 1/2 (м) − веревки отрезали в третий раз и такой же длины кусок остался.
Ответ: 22 1/2 м 176
-
Номер №176
Как изменилась цена товара: увеличилась или уменьшалась и на сколько процентов, если вначале ее снизили на 30%, а затем повысили на 30%?
Решение
Пусть начальная цена товара составляла x р. После понижения новая цена составила 100% − 30% = 70% = 0,7 начальной цены и была равна 7/10 Х р. После повышения окончательная цена составила 130% = 1,3 промежуточной цены и стала равной 1 3/10 ∗ 7/10 x = 13/10 ∗ 7/10 x = 91/100 = 0,91 x руб. Следовательно, цена товара понизилась на 100% − 91% = 9%.
Ответ: на 9% 177
-
Номер №177
Как изменилась цена товара: увеличилась или уменьшилась и на сколько процентов, если вначале ее повысили на 100%, а затем снизили на 50%?
Решение
Пусть сначала цена товара составляла x руб. После повышения новая цена составила 100% + 100% = 200% = 2 начальной цены и составила 2x руб. После понижения окончательная цена составила 50% = 50/100 = 1/2 цены после повышения и стала равной 2x ∗ 1/2 = x руб. Следовательно, цена товара осталась прежней.
Ответ: цена не изменилась 178
-
Номер №178
В саду растет меньше 40 деревьев. Груши составляют 1/18 всех деревьев, абрикосы − 1/6 всех деревьев, яблони − 3 4 всех деревьев, а остальные деревья − вишни. Сколько вишен растет в саду?
Решение
Количество деревьев кратно числам 18, 6 и 4.
НОК (4;6;18) = 36 < 40 − удовлетворяет условию задачи. Следовательно в саду всего 36 деревьев.
Тогда:
1) 1/18 ∗ 36 = 2 (груши) − растет в саду;
2) 1/6 ∗ 36 = 6 (абрикосов) − растет в саду;
3) 3/4 ∗ 36 = 3 ∗ 9 = 27 (яблонь) − растет в саду;
4) 36 − (2 + 6 + 27) = 36 − 35 = 1 (вишня) − растет в саду.
Ответ: 1 вишня 179
-
Номер №179
В кружках расставьте числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы их сумма на каждой стороне треугольника была равна 20.
Решение
180
-
Номер №180
Можно ли разложить 30 яблок на 3 кучки так, чтобы в каждой кучке было нечетное количество яблок? Ответ обоснуйте.
Решение
Пусть:
2n + 1 − нечетное количество яблок в первой кучке;
2n + 3 − нечетное количество яблок во второй кучке;
2n + 5 − нечетное количество яблок в третьей кучке.
Найдем сумму всех яблок:
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 6n + 9 − число нечетное, значит нельзя разложить 30 яблок на 3 кучки так, чтобы в каждой кучке было нечетное количество яблок, так как сумма трех нечетны чисел является нечетным числом, а число 30 − четное.
Ответ: нет, нельзя. 181
-
Номер №181
Длина проволоки равна 40 см. Станок−автомат каждую секунду отрезает от проволоки кусок длиной 2 см. Через сколько секунд он разрежет всю проволоку?
Решение
1) 40 : 2 = 20 (кусков) − проволоки получится;
2) Чтобы разрезать всю проволоку на куски потребуется сделать 19 отрезов, так как после девятнадцатого отреза получится сразу 2 куска проволоки: 19−й и 20−й, значит:
19 * 1 = 19 (секунд) − потребуется станку, чтобы разрезать всю проволоку.
Ответ: 19 секунд §13 номер 182
-
Номер №182
Заполните пропуски.
1) Два числа, _, называют взаимно обратными.
2) Числом, обратным самому себе, является число _
3) Для числа _ обратного числа не существует.
4) Обратным числу _ является число b a.
5) Если n − натуральное число, то обратным ему является число _
Решение
1) Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
2) Числом, обратным самому себе, является число 1.
3) Для числа 0 обратного числа не существует.
4) Обратным числу a/b является число b/a.
5) Если n − натуральное число, то обратным ему является число 1/n. 183
-
Номер №183
Запишите число, обратное числу:
1) 5 7;
2) 1 12;
3) 1 3 8;
4) 9;
5) 1;
6) 0,29.
Ответы
184
-
Номер №184
Впишите в прямоугольник пропущенное число.
1) 3/4 ∗ ☐ = 1;
2) ☐ ∗ 1/6 = 1;
3) 17 * ☐ = 1;
4) ☐ ∗ 2 1/3 = 1.
Ответы
185
-
Номер №185
Найдите число, обратное:
1) сумме чисел 9/25 и 7/15;
2) разности чисел 4 1/4 и 2 5/6.Ответы
§14 номер 186
-
Номер №186
Заполните пропуски.
1) Чтобы разделить одну дробь на другую, надо _
2) : a/b = b/a
3) : a/b = 0
4) На _ делить нельзя.
Решение
1) Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю..
2) 1 : a/b = b/a
3) 0 : a/b = 0
4) На 0 делить нельзя. 187
-
Номер №187
Расшифруйте фамилию выдающегося русского математика и механика XIX века, основателя Петербургской математической школы, авторы более 70 научных работ, подготовившего за 35 лет педагогической деятельности много ученых, члена Петербургской, Берлинской, Болонской, Парижской, Шведской академией наук, члена Лондонского королевского общества, почетного члена многих других русских и иностранных научных обществ.Ш 2 9 : 3 5 = 2 9 ∗ 5 3 = Ы 3 49 : 9 14 = Ч 16 33 : 48 55 = Б 8 25 : 32 75 = Е 3 4 : 1 12 = В 7 15 : 7 30 = 5 9 9 3 4 2 21 10 27 9 2 Решение
5/9 9 3/4 2/21 10/27 9 2 Ч Е Б Ы Ш Е В Ответ: Чебышев
188
-
Номер №188
Найдите частное.
1) 9 : 4/5 = 9 ∗ 5/4 =
2) 12 : 6/7 =
3) 15 : 10/11 =
4) 1 : 16 17 =
5) 7/13 : 4 = 7/13 ∗ 1/4 =
6) 12/19 : 3 =
7) 4 1/6 : 5/9 = 25/6 : 5/9 =
8) 9/16 : 1 1/2 =
9) 1 5/7 : 3 3/4 = 12/7 : 15/4 =
10) 5 1/2 : 3 2/3 =
Ответы
189
-
Номер №189
Заполните цепочку вычислений.
Решение
Ответ:
190
-
Номер №190
В пустые кружки впишите произведение или частное числа 7 18 и указанных чисел.
Решение
Ответ:
191
-
Номер №191
Найдите значение выражения.
1) (5/6 − 11/14 ) : 3 7 =
а) 5/6 − 11/14 =
б) : 3/7 =
2) 16 : 1 11/13 − 1 1/4 : 15/58 =
а) 16 : 1 11/13 = 16 : 24 13 =
б) 1 1/4 : 15/58 =
в)
3) ( 8 − 1 3/13 : 1 17/39 ) : 5 5/14 =
а) 1 3/13 : 1 17/39 = 16/13 :
Ответы
192
-
Номер №192
Решите уравнение.
1) 4/5 x = 8/15
x = 8/15 : 4 5
x =
x =
2) 7x = 3/8
3) 3/11 x = 9
4) x : 1 13/14 = 1 17/18
5) 2 5/8 : x = 1 19/20
6) 1 8/9 x = 6,8
Ответы
193
-
Номер №193
Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений.
Решение
Ответ:
194
-
Номер №194
Найдите скорость автомобиля, если за 1 7/18 ч он проехал 112 1/2 км.
Решение
112 1/2 : 1 7/18 = (224/2+1/2) : (18/18+7/18) = 225/2 : 25/18 = 225*18/2*50 = 4050/50 = 81 (км/ч) − скорость автомобиля.
Ответ: 81 км/ч 195
-
Номер №195
Сколько стоит 1 кг печенья, если за 1 3/5 кг заплатили 216 р.?
Решение
216 : 1 3/5 = 216 : 8/5 = 216 ∗ 5/8 = 27 ∗ 5 = 135 (р.) − стоит 1 кг печенья.
Ответ: 135 рублей 196
-
Номер №196
Вычислите значение выражения.
1) ( 3 4/9 − 1 16/21 ) : 1 11/42 − 1 5/7 : 6 =
а) 3 4/9 − 1 16/21 = 3 /63 − 1 /63 =
2) (4 2/3 : 3 1/2 − 3 1/2 : 4 2/3 ) : 1 17/18 =
Ответы
197
-
Номер №197
Лодка проплыла 21 1/3 км по течению реки за 1 1/3 ч. На сколько больше времени займет обратный путь, если скорость течения составляет 1 1/3 км/ч?
Решение
Ответ: на 16 минут 198
-
Номер №198
Решите уравнение.
1) 1/3 x + 1/4 x − 1/5 x = 1 8/15
20/60 x + 60 x − 60 x = 1 8/15
23/60 x = 15
x =
x =
x =
2) 1 8/9 x + 2 2/15 = 4 29/30
1 8/9 x = 4 29/30 − 2 2/15
3) 2 1/3 − 1/24 x = 13/16
4) 6 1/6 x − 11/18 = 5/12
Ответы
199
-
Номер №199
Через первую трубу в бассейн можно наполнить водой за 3 ч, а через вторую − за 6 ч. Какая часть бассейна наполнится водой, если на 1 ч открыть только первую трубу? Только вторую трубу?
Какая часть бассейна наполнится водой, если на 1 ч открыть одновременно обе трубы?
За сколько часов наполнится водой весь бассейн, если открыть одновременно обе трубы?
Решение
Весь бассейн равен единице, тогда:
Ответ: 1/3 часть; 1/6 часть; 1/2 часть; за 2 часа. 200
-
Номер №200
Первая бригада мастеров может отремонтировать школу за 30 дней, а вторая − за 45 дней. За сколько дней они отремонтируют школу, работая вместе?
Решение
Объем ремонтных работ, которые надо выполнить, примем за 1. За 1 день первая бригада выполняет 1 30 часть объема ремонтных работ, а вторая − 1 45 часть объема ремонтных работ.
Ответ: за 18 дней 201
-
Номер №201
Расстояние между двумя селами велосипедист преодолевает за 4 ч, а пешеход − за 12 ч. Они отправились из этих сел одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
Решение
Все расстояние между селами примем за 1, тогда:
Ответ: через 3 часа 202
-
Номер №202
На ферму завезли корма, которых хватит коровам на 24 дня, а козам − на 48 дней. На сколько дней хватит этих кормов коровам и козам вместе?
Решение
Примем все количество корма за 1, тогда:
Ответ: на 16 дней 203
-
Номер №203
Две бригады могут отремонтировать дорогу за 20 дней совместной работы. Первая из них, работая самостоятельно, может выполнить этот ремонт за 36 дней. За сколько дней может самостоятельно отремонтировать дорогу вторая бригада?
Решение
Объем ремонтных работ, которые надо выполнить, примем за 1, тогда:
1) 1/20 (часть) − ремонтных работ выполняют обе бригады совместно за 1 день;
2) 1/36 (часть) − ремонтных работ выполняет первая бригада за 1 день;
3) 1/20 − 1/36 = 9/180 − 5/180 = 4/180 = 1/45 (часть) − ремонтных работ выполняет вторая бригада за 1 день;
4) 1 : 1/45 = 1 ∗ 45/1 = 45 (дней) − будет ремонтировать дорогу вторая бригада.
Ответ: за 45 дней 204
-
Номер №204
Бассейн можно наполнить водой через первую трубу за 1 день, через вторую − за 2 дня, через третью − за 3 дня, через четвертую − за 4 дня. За какое время наполнится бассейн водой, если одновременно открыть все четыре трубы?
Решение
Примем весь объем бассейна за 1, тогда:
1) 1/1 = 1 (бассейн) − наполнится через первую трубу за 1 день;
2) 1/2 (бассейна) − наполнится через вторую трубу за 1 день;
3) 1/3 (бассейна) − наполнится через третью трубу за 1 день;
4) 1/4 (бассейна) − наполнится через четвертую трубу за 1 день;
5) 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 12/12 + 6/12 + 4/12 + 3/12 = 25/12 (бассейна) − наполнится через все четыре трубы за 1 день;
6) 1 : 25/12 = 12/25 (дня) − будет заполнятся бассейн, если одновременно открыть все четыре трубы.
Ответ: за 12/25 дня 205
-
Номер №205
Первый тракторист может вспахать поле за 9 ч, а второй − за 12 ч. Первый тракторист работал 3 ч, а потом его сменил второй и закончил пахоту. За сколько часов было вспахано поле?
Решение
Примем площадь поля за 1.
За 1 ч первый тракторист вспахивает 1/9 поля, а второй 1/12 поля.
За 3 ч первый тракторист вспахал 3 9 = 1 3 поля.
1 − 1/3 = 3/3 − 1/3 = 2/3 поля осталось вспахать второму трактористу;
2/3 : 1/12 = 2/3 ∗ 12/1 = 2/1 ∗ 4/1 = 8 часов вспахивал поле второй тракторист;
3 + 8 = 11 часов всего потребовалось на вспашку поля.
Ответ: за 11 часов 206
-
Номер №206
Выполните деление (буквами обозначены натуральные числа).
1) 3a/25 : 9b/35 =
2) 13x/7y : 26x/21y =
3) 45ab/19 c : 27a/76c =
Решение 1
3a/25 : 9b/35 = 3a/25 ∗ 35/9b = a/5∗7/3b = 7a/15b
Решение 2
13x/7y : 26x/21y = 13x/7y ∗ 21y/26x = 1/1 ∗ 3/2 = 1 1/2
Решение 3
45ab/19c : 27a/76c = 45ab/19c ∗ 76c/27a = 5b/1 ∗ 4/3 = 20b/3 207
-
Номер №207
Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на 6/11 и на 8/15 в результате получим натуральное число.
Решение
Так как при делении дробей делитель будет заменен на обратное делителю число, то найдем наименьшее общее кратное чисел 6 и 8.
Н О К ( 6 ; 8 ) = 2 3 ∗ 3 = 8 ∗ 3 = 24 − искомое натуральное число.
Проверка:
24 : 6/11 = 24∗11/6 = 4∗11/1 = 44 − получили натуральное число;
24 : 8/15 = 24∗15/8 = 3∗15/1 = 45 − получили натуральное число.
Ответ: 24 208
-
Номер №208
Лифт с первого на второй этаж движется 5 с. Сколько секунд он будет подниматься без остановки:
1) с первого этажа на десятый;
2) с четвертого этажа на двенадцатый?
Решение 1
1) 10 − 1 = 9 (пролетов) − между этажами должен преодолеть лифт;
2) 9 * 5 = 45 (с) − будет подниматься без остановки лифт с первого этажа на десятый.
Ответ: 45 секунд
Решение 2
1) 12 − 4 = 8 (пролетов) − между этажами должен преодолеть лифт;
2) 8 * 5 = 40 (с) − будет подниматься без остановки лифт с четвертого этажа на двенадцатый.
Ответ: 40 секунд §15 номер 209
-
Номер №209
Заполните пропуски.
1) Чтобы найти число по заданному значению его дроби, можно _
2) Чтобы найти число по его процентам, можно _
Решение
1) Чтобы найти число по заданному значению его дроби, можно данное значение разделить на эту дробь.
2) Чтобы найти число по его процентам, можно представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь. 210
-
Номер №210
Найдите число, если:
1) 1/4 его равна 12;
2) 2/7 его равны 14;
3) 7/9 его равны 42.
Решение 1
12 : 1/4 = 12 ∗ 4 = 48
Решение 2
14 : 2/7 = 14 ∗ 7/2 = 7∗7 = 49
Решение 3
42 : 7/9 = 42 ∗ 9/7 = 6∗9 = 54 211
-
Номер №211
Найдите число, если:
1) 12% его равны 60;
2) 70% его равны 35;
3) 110% его равны 66.
Ответ
212
-
Номер №212
Какова длина отрезка, если 4/5 длины этого отрезка равны 40 см?
Решение
40 : 4/5 = 40 ∗ 5/4 = 10∗5 = 50 (см) − длина отрезка.
Ответ: 50 см 213
-
Номер №213
Пете 8 лет, что составляет 2/9 возраста его отца. Сколько лет отцу?
Решение
8 : 2/9 = 8 ∗ 9/2 = 4 ∗ 9 = 36 (лет) − отцу.
Ответ: 36 лет 214
-
Номер №214
Лена прочла 48 страниц, ей осталось прочитать 7/23 страниц книги. Сколько страниц в книге?
Решение
Примем всю книгу за 1, тогда:
1/) 1 − 7/23 = 23/23 − 7/23 = 16/23 (книги) − прочитала Лена;
2) 48 : 16/23 = 48 ∗ 23/16 = 3 ∗ 23 = 69 (страниц) − всего в книге.
Ответ: 69 страниц 215
-
Номер №215
При помоле масса муки составляет 80% массы перемолотой пшеницы. Сколько пшеницы надо смолоть, чтобы получить 560 кг муки?
Решение
80% = 0,8
560 : 0,8 = 560:8/10 = 560 : 4/5 = 560∗5/4 = 140 ∗ 5 = 700 (кг) − пшеницы надо смолоть, чтобы получить 560 кг муки.
Ответ: 700 кг 216
-
Номер №216
Раствор содержит 42 г соли, что составляет 7% его массы. Найдите массу раствора.
Решение
7% = 0,07
42 : 0,07 = 42 : 7/100 = 42∗100/7 = 6 ∗ 100 = 600 (г) − масса раствора.
Ответ: 600 г 217
-
Номер №217
В саду растут яблони, груши и вишни. Яблони составляют 4/15 всех деревьев, груши 5/9, а вишни − остальные 32 дерева. Сколько всего деревьев растет в саду?
Решение
Примем все деревья за 1, тогда:
Ответ: 180 деревьев 218
-
Номер №218
Ваня потратил 52% своих денег на покупку новой книги, 40% денег − на конфеты, после чего у него осталось 28 р. Сколько рублей было у Вани сначала?
Решение
1) 52% + 40% = 92% (денег) − потратил Ваня на покупки;
2) 100% − 92% = 8% (денег) − осталось у Вани;
3) 8% = 0,08
28 : 0,08 = 28 : 8/100 =28 : 2/25 = 28∗25/2 = 14 ∗ 25 = 350 (рублей) − было у Вани сначала.
Ответ: 350 рублей 219
-
Номер №219
Саша, Оля и Сережа собирали черешню. Саша собрал 0,4 всей черешни, а Оля − 3 7 количества черешни, собранного Сашей. Сколько всего килограммов черешни они собрали, если Оля собрала 12 кг?
Решение
Решение.
Ответ: 70 кг 220
-
Номер №220
У падишаха есть одногорбые и двугорбые верблюды. Одногорбые составляют 8/21 всех верблюдов, и их на 15 меньше, чем двугорбых. Сколько всего верблюдов у падишаха?
Решение
Ответ: 63 верблюда 221
-
Номер №221
В парке растут дубы и клены, причем дубов на 30 деревьев больше, чем кленов. Клены составляют 38% всех деревьев. Сколько деревьев растет в парке?
Решение
1) 100% − 38% = 62% − всех деревьев составляю дубы;
2) 62% − 38% = 24% − на столько дубов больше, чем кленов;
3) 24% = 0,24
30 : 0,24 = 30 : 24/100 = 30 : 6/25 = 30 ∗ 25/6 = 5 ∗ 25 = 125 (деревьев) − всего растет в парке.
Ответ: 125 деревьев 222
-
Номер №222
Винни−Пух съел на завтрак треть имевшихся у него горшочков меда, на обед − 9 горшочков меда, после чего у него осталось 7 горшочков. Сколько всего горшочков меда было у Винни−Пуха?
Решение
Примем все горшочки за 1, тогда:
Ответ: 24 горшочка 223
-
Номер №223
Для распечатки набора одной книги использовали 17 25 пачки бумаги, а для другой − 5 12 остатка. Сколько всего листов бумаги было в пачке, если после распечатки обоих наборов в пачке осталось 56 листов?
Решение
Ответ: 300 листов 224
-
Номер №224
Паша потратил на новые марки половину своих денег и еще 4 /9 оставшихся денег. После этого у него осталось 15 р. Сколько рублей было у Паши сначала?
Решение
Ответ: 54 рубля 225
-
Номер №225
Каждый шестиклассник занимается пением или танцами. Некоторые из них занимаются и пением и танцами: 1 6 певцов ходит на танцы, а 1 5 танцоров ходит петь. Чем занимается больше детей − пением или танцами?
Решение
226
-
Номер №226
Заработная плата Али−Бабы за 30 дней должна была составить 10 динаров и халат. Он работал 3 дня и заработал халат. Сколько динаров стоил халат?
Решение
§16 номер 227
-
Номер №227
Заполните пропуски.
1) Чтобы _ дробь a b преобразовать в десятичную, необходимо привести ее к одному из знаменателей _ и т.д.
2) Несократимую дробь a b можно преобразовать в десятичную дробь только тогда, когда разложение знаменателя b на простые множители _
3) Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, можно _
Решение
1) Чтобы несократимую дробь a b преобразовать в десятичную, необходимо привести ее к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т.д.
2) Несократимую дробь a b можно преобразовать в десятичную дробь только тогда, когда разложение знаменателя b на простые множители не содержит чисел. отличных от 2 и 5.
3) Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, можно ее числитель разделить на знаменатель. 228
-
Номер №228
Обведите обыкновенные дроби. которые можно преобразовать в десятичные:
1/5, 9/16, 8/15, 10/25, 42/75, 19/24.
Решение
1/5 = 2/10 = 0,2
9/16 = 5625/10000 = 0,5625
8/15 − нельзя преобразовать;
10/25 = 40/100 = 0,4;
42/75 = 14/25 = 56/100 = 0,56
19/24 − нельзя преобразовать.
Ответ: 1 5, 9 16, 8 15, 10 25, 42 75, 19 24. 229
-
Номер №229
Преобразуйте обыкновенную дробь в десятичную.
1) 1/2 =
2) 1/4 =
3) 3 /8 =
4) 11 /20 =
5) 14 /25 =
6) 57 /40 =
Ответы
230
-
Номер №230
Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные и вычислите.
1) 8 1/25 + 1,7 =
2) 3,35 − 5/8 =
Ответы
231
-
Номер №231
В коробке лежит не более 40 шаров. Если их считать парами, или тройками, или пятерками, то каждый раз будет оставаться один шар. Сколько шаров лежит в коробке?
Решение
Общим кратным чисел 2, 3 и 5, которые меньше 40, является число 30
Следовательно, в коробке лежит 30 + 1 = 31 шар.
Ответ: 31 шар 232
-
Номер №232
Заполните пропуски.
При делении натурального числа на натуральное число можно получить один из _ результатов: _
Решение
Заполните пропуски.
При делении натурального числа на натуральное число можно получить один из трех результатов: натуральное число, конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь. §17 номер 232
-
Номер №233
Запишите в виде бесконечной десятичной периодической дроби частное.
1) 7 : 11 =7,0|11
2) 11 : 18 =11,0|18
Решение 1
7 : 11 = 0,(63)
-70|11
66|6363...
-40
33
70
повторятся до бесконечности
Решение 2
11 : 18 = 0,6(1)-110|18
108|61111
- 20
18
повторятся до бесконечности 234
-
Номер №234
Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь.
1) 8 : 45 =
8,0|45
2) 17 : 24 =
17,0|24
Решение 1
8/45 = 0,1(7)-80|45
45|1777...
350
315далее до бесконечности
Решение 2
17/24 = 0,708(3)-170|24
168|7083333...
- 200
192
- 80
72далее до бесконечности
235
-
Номер №235
Сравните числа, записав предварительно обыкновенную дробь в виде бесконечной периодической десятичной дроби:
1) 2 9 и 0,2;
2) 0,834 и 5 6;
3) 29 12 и 2,4.
Решение 1
2/9 = 0,( 2 )-2 |9
0 |0,222...
-20
18
2...0,(2) > 0,2, значит:
2/9 > 0 , 2
Решение 2
5/6 = 0,8 (3)-5|6
0|0,833...
-50
48
- 20
18
2...0,834 > 0,8(3), значит:
0,834 > 5/6
Решение 3
29/12 = 2,41( 6 )-29|12
24|2,4166...
-50
48
-20
18
2...2,41(6) > 2,4, значит:
29/12 > 2,4 236
-
Номер №236
Значение выражения 303 2 + 404 2 равно значению одного из выражений 505 2 , 606 2 , 707 2 , 808 2 , 909 2 . Укажите это выражение.
Решение
Последней цифрой числа, равного 3032, является цифра 9, так как 32 = 9.
Последней цифрой числа, равного 4042, является цифра 6, так как 42 = 16.
Тогда последней цифрой значения выражения 3032 + 4042 является цифра 5, так как 9 + 6 = 15.
Проверим значение какого выражения имеет последнюю цифру 5:
последней цифрой выражения 5052, является цифра 5, так как 52 = 25;
последней цифрой выражения 6062, является цифра 6, так как 62 = 36;
последней цифрой выражения 8082, является цифра 4, так как 82 = 64;
последней цифрой выражения 9092, является цифра 1, так как 92 = 81.
Значит значение выражения 3032 + 4042 равно значению выражения 5052.
Ответ: 5052 §18 номер 237
-
Номер №237
Заполните пропуски.
Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда, надо:
1) выполнить _ до следующего разряда;
2) полученную _ или бесконечную периодическую десятичную дробь _
Решение
Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда, надо:
1) выполнить деление числителя на знаменатель до следующего разряда;
2) полученную конечную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь округлить до нужного разряда. 238
-
Номер №238
Найдите десятичное приближение до сотых дроби.
1) 3 8 = ≈3,0|8
2) 8 15 = ≈
3) 1 6 7 = ≈
6,0|7
4) 3 8 21 = ≈
Решение 1
3/8 = 0,375 ≈ 0 , 38-3|8
0|0,375
-30
24
-60
56
-40
40
0
Решение 2
8/15 = 0,5 (3) ≈ 0,53-8|15
0|0,533
-80
75
-50
45
-50
45
0
Решение 3
1 6/7 = 1,(857142 ) ≈ 1,86-6|7
0|0,8571428
-60
56
-40
35
-50
49
-10
7
-30
28
-20
14
-60
56
4...
Решение 4
3 8/21 = 3,(380952 ) ≈ 3,38-8|21
0|0,3809523...
-80
63
-170
168
-20
0
-200
189
-110
105
-50
42
-80
63
17... 239
-
Номер №239
Найдите десятичное приближение до тысячных частного.
1) 43 : 6 = ≈43|6
2) 32 : 29 = ≈
32|29
Решение 1
43 : 6 = 7,1(6) ≈ 7,167-43|6
42|7,166...
-10
6
-40
36
-40
36
4...
Решение 2
32 : 29 = 1,1034... ≈ 1,103-32|29
29|1,1034...
-30
29
-10
0
-100
87
-130
116
14... 240
-
Номер №240
Найдите с точностью до десятых корень уравнения.
1) 3x = 1
x = 1 : 3
x ≈1,0|3
2) 9 : x = 22
3) 2 1 6 x = 5 12
Решение 1
3x = 1
x = 1 : 3
x ≈ 0,3-1|3
0|0,33...
-10
9
-1...Ответ: x ≈ 0,3
Решение 2
9 : x = 22
x = 9 : 22
x ≈ 0,4-9|22
0|0,40...
-90
88
2...Ответ: x ≈ 0,4
Решение 3
2 1/6 x = 5/12
13/6 x = 5/12
x = 5/12 : 13/6
x = 5/12 ∗ 6/13
x = 5/2 ∗ 1/13
x = 5/26
x ≈ 0,2-5|26
0|0,19...
-50
26
-240
234
6...Ответ: x ≈ 0,2
241
-
Номер №241
Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные, округлите их до сотых и выполните вычисления.
1) 0,48 + 14/19 =14,0|19
14
19
≈0,482) 2 5 14 − 1 , 29 =
Решение 1
0,48 + 14/19 = 0,48 + 0,74 = 1,2214/19 ≈ 0,74
-14|19
0|0,736...
-140
133
-70
57
-130
114
-16...
+ 0,48
0,74
1,22
Решение 2
2 5 14 − 1 , 29 = 2,36 − 1,29 = 1,07
2 5 14 ≈ 2 , 36-5|3
0|0,33...
-50
42
-80
70
-100
98
2...
- 2,36
1,29
1,07 242
-
Номер №242
В вершине квадрата, сторона которого равна 10 м, находится муравейник. Из этого муравейника одновременно в разных направлениях по сторонам квадрата отправились два муравья. Один из них двигался со скоростью 1 м/мин, а другой − в 2 раза большей. Какое расстояние будет между ними через 10 мин после начала движения?
Решение
Так как муравьи отправились в разных направлениях по сторонам квадрата, значит они движутся навстречу друг другу.
Тогда:
1) 1 * 2 = 2 (м/мин) − скорость второго муравья;
2) 1 + 2 = 3 (м/мин) − скорость сближения муравьев;
3) 3 * 10 = 30 (м) − пройдут оба муравья за 10 минут;
4) 10 * 4 = 40 (м) − периметр квадрата;
5) 40 − 30 = 10 (м) − будет между муравьями через 10 минут после начала движения.
Ответ: 10 метров
