Для многих школьников такие наименования как синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике кажутся чем-то магическим и непостижимым, но на само деле в этом нет ничего сложного. Ведь это не более чем отношение сторон прямоугольного треугольника. И в зависимости от того, какие из сторон мы сравниваем одну с другой, такое и наименование имеет это отношение, то есть: синус, косинус и тангенс.
Если конкретно, то дело обстоит так. Косинус (cos) угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Cинус (sin) - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Тангенс угла tg(α) — есть отношение противолежащего катета a к прилежащему катету. И еще один лайфхак. Если вы вдруг прям забудете такие простые вещи, мало ли, тоже бывает, то как находить косинус, синус и тангенс, загляните в справочные материалы на ваших листах с заданиями, там будут подсказки (в разделе геометрии).
В открытом банке заданий ФИПИ есть следующие задачи на эту тему, которые могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.
Задания из банка ФИПИ с sin, cos, tg
Найти катет по известному синусу угла и гипотенузе
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/15, AB=45. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=45*4/15=12
Ответ: 12
D8213E
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=7/12, AB=48. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=48*7/12=28
Ответ: 28
B972FB
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/11, AB=55. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=55*4/11=20
Ответ: 20
E65720
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/17, AB=51. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=51*5/17=15
Ответ: 15
D893F0
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=3/7, AB=21. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=21*3/7=9
Ответ: 9
6544F6
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/9, AB=18. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=18*4/9=8
Ответ: 8
F6882F
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/8, AB=16. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=16*5/8=10
Ответ: 10
564758
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=3/5, AB=10. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=10*3/5=6
Ответ: 6
50A4DC
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/16, AB=80. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=80*5/16=25
Ответ: 25
3D5005
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=7/20, AB=40. Найдите AC.
Решение:
По определению синуса:
sinB=AC/AB
AC=AB*sinB=40*7/20=14
Ответ: 14
14A018
Найти катет по известному косинусу и гипотенузе
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=2/5, AB=10. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=10*2/5=4
Ответ: 4
1B8713
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=5/6, AB=18. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=18*5/6=15
Ответ: 15
481278
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=4/7, AB=21. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=21*4/7=12
Ответ: 12
D4E48F
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=3/8, AB=64. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=64*3/8=24
Ответ: 24
3F99AC
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=7/9, AB=54. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=54*7/9=42
Ответ: 42
915280
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=9/10, AB=60. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=60*9/10=54
Ответ: 54
56F660
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=5/12, AB=60. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=60*5/12=25
Ответ: 25
CA8E29
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=9/14, AB=42. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=42*9/14=27
Ответ: 27
52D8C1
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=11/15, AB=75. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=75*11/15=55
Ответ: 55
73E3A7
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=13/16, AB=96. Найдите BC.
Решение:
По определению косинуса:
cosB=BC/AB
BC=АВ*cosB=96*13/16=78
Ответ: 78
D8738D
Найти катет по известному катету и тангенсу
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=3/4, BC=12. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=12*3/4=9
Ответ: 9
08FD08
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/6, BC=18. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=18*7/6=21
Ответ: 21
1BBB13
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=9/7, BC=42. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=42*9/7=54
Ответ: 54
14C45C
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=8/5, BC=20. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=20*8/5=32
Ответ: 32
1DB806
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=11/8, BC=24. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=24*11/8=33
Ответ: 33
EF04D8
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=5/9, BC=27. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=27*5/9=15
Ответ: 15
A915AF
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/12, BC=48. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=48*7/12=28
Ответ: 28
48CB65
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=4/7, BC=35. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=35*4/7=20
Ответ: 20
1EB6B0
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/4, BC=36. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=36*7/4=63
Ответ: 63
93C176
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=3/5, BC=30. Найдите AC.
Решение:
По определению тангенса:
tgB=AC/BC
AC=BC*tgB=30*3/5=18
Ответ: 18
757BB5
Найти синус по косинусу и наоборот
В решении заданий такого типа используйте основное тригонометрическое тождество
sin2α + cos2α=1
Выражаем то, что нужно найти, и подставляем известные значения.
Синус острого угла А треугольника АВС равен $\frac{\sqrt{21}}5$. Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (√21/5)2 = 1 - 21/25 = 1 - 0,84 = 0,16
cosA = 0,4
Ответ: 0,4
99B7F9
Синус острого угла А треугольника АВС равен $\frac{3\sqrt{11}}{10}$. Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (3√11/10)2 = 1 - 99/100 = 0,01
cosA = 0,1
Ответ: 0,1
E52F99
Синус острого угла А треугольника АВС равен $\frac{\sqrt{91}}{10}$. Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (√91/10)2 = 1 - 91/100 = 0,09
cosA = 0,3
Ответ: 0,3
5F0BC9
Синус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{2\sqrt6}5$. Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (2√6/5)2 = 1 - 24/25 = 1-0,96 = 0,04
cosA = 0,2
Ответ: 0,2
DF0885
Синус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{3\sqrt7}8$ . Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (3√7/8)2 = 1 - 63/64 = 1-0,984375 = 0,015625
cosA = 0,125
Ответ: 0,125
Обратите внимание, что корень придется извлекать самостоятельно, поскольку числа 125 (трехзначного) в таблице квадратов на экзамене не будет.
D56817
Синус острого угла A треугольника ABC равен 4/5 . Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (4/5)2 = 1 - 16/25 = 1-0,64 = 0,36
cosA = 0,6
Ответ: 0,6
F548B1
Синус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{\sqrt7}4$ . Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (√7/4)2 = 1 - 7/16 = 1-0,4375 = 0,5625
cosA = 0,75
Ответ: 0,75
F6FBB5
Синус острого угла A треугольника ABC равен 3/5 . Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (3/5)2 = 1 - 9/25 = 1-0,36 = 0,64
cosA = 0,8
Ответ: 0,8
4257EE
Синус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{\sqrt{19}}{10}$ . Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (√19/10)2 = 1 - 19/100 = 1-0,19 = 0,81
cosA = 0,9
Ответ: 0,9
DC7D62
Синус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{\sqrt{15}}4$ . Найдите cosA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
cos2A = 1 - sin2A =1 - (√15/4)2 = 1 - 15/16 = 1-0,9375 = 0,0625
cosA = 0,25
Ответ: 0,25
11D7EC
Косинус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{\sqrt{21}}5$ . Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (√21/5)2 = 1 - 21/25 = 1-0,84 = 0,16
sinA = 0,4
Ответ: 0,4
4BD96F
Косинус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{3\sqrt{11}}{10}$ . Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (3√11/10)2 = 1 - 99/100 = 1-0,99 = 0,01
sinA = 0,1
Ответ: 0,1
EE565F
Косинус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{\sqrt{91}}{10}$ . Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (√91/10)2 = 1 - 91/100 = 1-0,91 = 0,09
sinA = 0,3
Ответ: 0,3
EE4155
Косинус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{2\sqrt6}5$. Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (2√6/5)2 = 1 - 24/25 = 1-0,96 = 0,04
sinA = 0,2
Ответ: 0,2
2657CA
Косинус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{3\sqrt7}8$. Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (3√7/8)2 = 1 - 63/64 = 1-0,984375 = 0,015625
sinA = 0,125
Ответ: 0,125
Обратите внимание, что корень придется извлекать самостоятельно, поскольку числа 125 (трехзначного) в таблице квадратов на экзамене не будет.
857A3B
Косинус острого угла A треугольника ABC равен 4/5. Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (4/5)2 = 1 - 16/25 = 1-0,64 = 0,36
sinA = 0,6
Ответ: 0,6
588CA0
Косинус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{\sqrt7}4$. Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (√7/4)2 = 1 - 7/16 = 1-0,4375 = 0,5625
sinA = 0,75
Ответ: 0,75
5AC6CD
Косинус острого угла A треугольника ABC равен 3/5. Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (3/5)2 = 1 - 9/25 = 1-0,36 = 0,64
sinA = 0,8
Ответ: 0,8
3B3235
Косинус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{\sqrt{19}}{10}$. Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (√19/10)2 = 1 - 19/100 = 1-0,19 = 0,81
sinA = 0,9
Ответ: 0,9
4D93A9
Косинус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{\sqrt{15}}4$. Найдите sinA.
Решение:
Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin2A+cos2A=1
sin2A = 1 - cos2A =1 - (√15/4)2 = 1 - 15/16 = 1-0,9375 = 0,0625
sinA = 0,25
Ответ: 0,25
A426BF
Найти площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними
Вспоминаем формулу нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:
S=1/2аb•sinγ, где а и b - стороны треугольника, γ - угол между ними.
Подставляем известные величины и считаем.
Формула так же есть в справочных материалах ОГЭ, на экзамене можете ими воспользоваться.
В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=10, sin∠ABC=1/3. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=6*10*1/3=20
Ответ: 20
D8DE10
В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=12, sin∠ABC=1/4. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=6*12*1/4=18
Ответ: 18
510B5D
В треугольнике ABC известно, что AB=20, BC=7, sin∠ABC=2/5. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=20*7*2/5=56
Ответ: 56
21430B
В треугольнике ABC известно, что AB=15, BC=8, sin∠ABC=5/6. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=15*8*5/6=100
Ответ: 100
770975
В треугольнике ABC известно, что AB=14, BC=5, sin∠ABC=6/7. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=14*5*6/7=60
Ответ: 60
845EFC
В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=20, sin∠ABC=5/8. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=12*20*5/8=150
Ответ: 150
34F484
В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=15, sin∠ABC=4/9. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=12*15*4/9=80
Ответ: 80
86F9F5
В треугольнике ABC известно, что AB=16, BC=25, sin∠ABC=3/10. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=16*25*3/10=120
Ответ: 120
6B1EDE
В треугольнике ABC известно, что AB=9, BC=16, sin∠ABC=7/12. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=9*16*7/12=84
Ответ: 84
521C5A
В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=10, sin∠ABC=8/15. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
S=1/2аb•sinγ=12*10*8/15=64
Ответ: 64
3A3D0B
Найти косинус угла, если известны 3 стороны треугольника
Вспомним теорему косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
Нужно выразить косинус и подставить известные величины.
Эта формула так же будет у вас под рукой на экзамене в справочных материалах ОГЭ.
В треугольнике АВС известно, что AB=8, BC=10, AC=12. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
cosα = (82 +102 + 122) : 2*8*10 = 164/160 = 1,025
Ответ: 1,025
40840C
В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=7, AC=9. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2\ast b\ast с}$=
Ответ:
112015
В треугольнике ABC известно, что AB=3, BC=8, AC=7. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2\ast b\ast с}$=
Ответ:
6E8D8A
В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=10, AC=11. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2\ast b\ast с}$=
Ответ:
844A89
В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=7, AC=8. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2\ast b\ast с}$=
Ответ:
79B29A
В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=6, AC=4. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2\ast b\ast с}$=
Ответ:
6557F1
В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=8, AC=4. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2\ast b\ast с}$=
Ответ:
B5CF05
В треугольнике ABC известно, что AB=7, BC=8, AC=13. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2\ast b\ast с}$=
Ответ:
91941D
В треугольнике ABC известно, что AB=8, BC=10, AC=14. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2\ast b\ast с}$=
Ответ:
755B8F
В треугольнике ABC известно, что AB=2, BC=3, AC=4. Найдите cos∠ABC.
Решение:
а2 = b2 + с2 - 2bс • cosα
2bс • cosα = b2 + с2 - а2
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2\ast b\ast с}$=
Ответ:
05C64C
Найти синус по двум сторонам
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. И тот, и другой, известны. Подставляем и считаем.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, AB=10. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 6/10 = 0,6
Ответ: 0,6
A67245
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=4, AB=5. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 4/5 = 0,8
Ответ: 0,8
46D9DF
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=7, AB=25. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 7/25 = 0,28
Ответ: 0,28
6DA700
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=24, AB=25. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 24/25 = 0,96
Ответ: 0,96
C7A2A0
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, AB=20. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 6/20 = 0,3
Ответ: 0,3
ED2D47
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=11, AB=20. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 11/20 = 0,55
Ответ: 0,55
F1D3F8
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, AB=40. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 8/40 = 0,2
Ответ: 0,2
CDC6C7
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=16, AB=40. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 16/40 = 0,4
Ответ: 0,4
20BC46
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=9, AB=25. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 9/25 = 0,36
Ответ: 0,36
E2F916
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=13, AB=20. Найдите sinB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 13/20 = 0,65
Ответ: 0,65
2C2621
Найти косинус по двум сторонам треугольника
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Подставляем известные значения и считаем.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=8, AB=10. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 8/10 = 0,8
Ответ: 0,8
36727A
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=3, AB=5. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 3/5 = 0,6
Ответ: 0,6
E4988D
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=14, AB=50. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 14/50 = 0,28
Ответ: 0,28
B9AA7C
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=72, AB=75. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 72/75 = 0,96
Ответ: 0,96
6E5515
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=14, AB=20. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 14/20 = 0,7
Ответ: 0,7
E812C8
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AB=20. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 9/20 = 0,45
Ответ: 0,45
C759C5
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=30, AB=40. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 30/40 = 0,75
Ответ: 0,75
8854A8
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=26, AB=40. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 26/40 = 0,65
Ответ: 0,65
C5CD1E
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=16, AB=25. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 16/25 = 0,64
Ответ: 0,64
C3A5F2
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=7, AB=20. Найдите cosB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 7/20 = 0,35
Ответ: 0,35
D58395
Найти тангенс угла по двум катетам
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Подставляем значения катетов и считаем.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=2. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 2/5 = 0,4
Ответ: 0,4
98C7DF
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=3. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 3/5 = 0,6
Ответ: 0,6
22FD03
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=10, AC=7. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 7/10 = 0,7
Ответ: 0,7
C18053
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=10, AC=8. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 8/10 = 0,8
Ответ: 0,8
33DA26
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=15, AC=3. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 3/15 = 0,2
Ответ: 0,2
DD620C
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AC=27. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 27/9 = 3
Ответ: 3
342F0C
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=20. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 20/5 = 4
Ответ: 4
B800B8
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=3, AC=18. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 18/3 = 6
Ответ: 6
FF498A
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=4, AC=28. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 28/4 = 7
Ответ: 7
C9E181
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=7, AC=35. Найдите tgB.
Решение:
∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 35/7 = 5
Ответ: 5
0663D4
Задачи ОГЭ с развернутым ответом
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt{15}}4$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 4*15
АE = $\sqrt{4\ast15}$= $\sqrt{60}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{60}$2 +42 - 2*$\sqrt{60}$*4*$\frac{\sqrt{15}}4$= 60+16-2*$\sqrt{60}$*$\sqrt{15}$=76-2*30=16
EM = $\sqrt{16}$ =4из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{60}$2 +152 - 2*$\sqrt{60}$*15*$\frac{\sqrt{15}}4$=60+225-($\sqrt{900}$*15)/2=285-225=60
EN = $\sqrt{60}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{60}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac{15}{16}\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac1{16}\\\sin\angle ENA\;=\frac14\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\ast\sin\angle\;E\;N\;A}\;\;=\frac4{2\ast{\displaystyle\frac14}}=8\\\\\\\\$
Ответ: 8
F41EBF
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt7}4$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 12*21
АE = $\sqrt{12\ast21}$= $\sqrt{252}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{252}$2 +122 - 2*$\sqrt{252}$*12*$\frac{\sqrt7}4$= 252+144-2*$\sqrt{252}$*12*$\frac{\sqrt7}4$=396-252=$\sqrt{144}$
EM = $\sqrt{144}$ =12из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{252}$2 +212 - 2*$\sqrt{252}$*21*$\frac{\sqrt7}4$=252+441-441=252
EN = $\sqrt{252}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{252}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt7}4\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt7}4\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac7{16}\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac9{16}\\\sin\angle ENA^\;=\frac34\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac{12}{2{\displaystyle\frac34}}=\frac{48}6=8$
Ответ: 8
23C5ED
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt{15}}4$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 8*30
АE = $\sqrt{8\ast30}$= $\sqrt{240}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{240}$2 +82 - 2*$\sqrt{240}$*8*$\frac{\sqrt{15}}4$=240+64-240=64
EM = 8из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{240}$2 +302 - 2*$\sqrt{240}$*30*$\frac{\sqrt{15}}4$=240+900-900=240
EN = $\sqrt{240}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{240}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac{15}{16}\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac1{16}\\\sin\angle ENA\;=\frac14\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac8{2{\displaystyle\frac14}}=\frac{32}2=16$
Ответ: 16
1D3A90
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt{11}}6$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 18*22
АE = $\sqrt{18\ast22}$= $\sqrt{396}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{396}$2 +182 - 2*$\sqrt{396}$*18*$\frac{\sqrt{11}}6$=396+324-396=324
EM = 18из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{396}$2 +222 - 2*$\sqrt{396}$*22*$\frac{\sqrt{11}}6$=396+484-484=396
EN = $\sqrt{396}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{396}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt{11}}6\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt{11}}6\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac{11}{36}\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac{25}{36}\\\sin\angle ENA\;=\frac56\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac18{2{\displaystyle\frac56}}=\frac{21.6}2=10.8$
Ответ: 10.8
35C690
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt5}3$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 18*40
АE = $\sqrt{18\ast40}$= $\sqrt{720}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{720}$2 +182 - 2*$\sqrt{720}$*18*$\frac{\sqrt{5}}3$=720+324-720=324
EM = 18из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{720}$2 +402 - 2*$\sqrt{720}$*40*$\frac{\sqrt{5}}3$=720+1600-1600=720
EN = $\sqrt{720}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{720}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt5}3\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt5}3\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac59\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac49\\\sin\angle ENA\;=\frac23\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac18{2{\displaystyle\frac23}}=\frac{54}4=13.5$
Ответ: 13.5
CCD611
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt{35}}6$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 9*35
АE = $\sqrt{9\ast35}$= $\sqrt{315}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{315}$2 +92 - 2*$\sqrt{315}$*9*$\frac{\sqrt{35}}6$=315+81-315=81
EM = 9из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{315}$2 +352 - 2*$\sqrt{315}$*35*$\frac{\sqrt{35}}6$=315+1225-1225=315
EN = $\sqrt{315}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{315}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt{35}}6\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt{35}}6\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac{35}{36}\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac1{36}\\\sin\angle ENA\;=\frac16\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac9{2{\displaystyle\frac16}}=\frac{54}2=27$
Ответ: 27
65B0A0
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt{15}}4$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 12*45
АE = $\sqrt{12\ast45}$= $\sqrt{540}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{540}$2 +122 - 2*$\sqrt{540}$*12*$\frac{\sqrt{15}}4$=540+144-540=144
EM = 12из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{540}$2 +452 - 2*$\sqrt{540}$*45*$\frac{\sqrt{15}}4$=540+2025-2025=540
EN = $\sqrt{540}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{540}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac{15}{16}\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac1{16}\\\sin\angle ENA\;=\frac14\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac{12}{2{\displaystyle\frac14}}=\frac{48}2=24$
Ответ: 24
36C43D
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{2\sqrt2}3$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 9*32
АE = $\sqrt{9\ast32}$= $\sqrt{288}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{288}$2 +92 - 2*$\sqrt{288}$*9*$\frac{2\sqrt2}3$=288+81-288=81
EM = 9из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{288}$2 +322 - 2*$\sqrt{288}$*32*$\frac{2\sqrt2}3$=288+1024-1024=288
EN = $\sqrt{288}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{288}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{2\sqrt2}3\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{2\sqrt2}3\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac89\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac13\\\sin\angle ENA\;=\frac13\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac9{2{\displaystyle\frac13}}=\frac{27}2=13,5$
Ответ: 13,5
A077B6
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt7}4$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 24*42
АE = $\sqrt{24\ast42}$= $\sqrt{1008}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{1008}$2 +242 - 2*$\sqrt{1008}$*24*$\frac{\sqrt7}4$=1008+576-1008=576
EM = 24из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{1008}$2 +422 - 2*$\sqrt{1008}$*42*$\frac{\sqrt7}4$=1008+1764-1764=1008
EN = $\sqrt{1008}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{1008}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt7}4\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt7}4\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac7{16}\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac9{16}\\\sin\angle ENA\;=\frac34\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac{24}{2{\displaystyle\frac34}}=\frac{96}3=32$
Ответ: 32
973563
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt{11}}6$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 36*44
АE = $\sqrt{36\ast44}$= $\sqrt{1584}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{1584}$2 +362 - 2*$\sqrt{1584}$*36*$\frac{\sqrt11}6$=1584+1296-1584=1296
EM = 36из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{1584}$2 +442 - 2*$\sqrt{1584}$*44*$\frac{\sqrt11}6$=1584+1936-1936=1584
EN = $\sqrt{1584}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{1584}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt{11}}6\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt{11}}6\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac{11}{36}\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac{25}{36}\\\sin\angle ENA\;=\frac56\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac{36}{2{\displaystyle\frac56}}=\frac{216}{10}=21.6$
Ответ: 21.6
A142B2
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt{39}}8$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 16*39
АE = $\sqrt{16\ast39}$= $\sqrt{624}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = $\sqrt{624}$2 +162 - 2*$\sqrt{624}$*16*$\frac{\sqrt{39}}8$=624+256-624=256
EM = 16из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = $\sqrt{624}$2 +392 - 2*$\sqrt{624}$*39*$\frac{\sqrt{39}}8$=624+1521-1521=624
EN = $\sqrt{624}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $\sqrt{624}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle ENA^2+\cos\angle ENA^2\;=1\\\sin\angle ENA^2+\left(\frac{\sqrt{39}}8\right)^2\;=1\\\sin\angle ENA^2=1-\left(\frac{\sqrt{39}}8\right)^2\\\sin\angle ENA^2\;=\;1\;-\;\frac{39}{64}\\\sin\angle ENA^2\;=\;\frac{25}{64}\\\sin\angle ENA\;=\frac58\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\sin\angle ENA}=\frac{39}{2{\displaystyle\frac58}}=\frac{312}{10}=31.2$
Ответ: 31.2
553368
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$\frac{\sqrt{11}}6$.
Решение:
Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.
Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).
АE2 = АN·АM
АE2 = 9*11
АE = $\sqrt{9\ast11}$= 3$\sqrt{11}$Теперь по теореме косинусов найдем EM
EM2 = AE2+AM2 - 2AE*AM*cos∠BAC
EM2 = 32$\sqrt{11}$2 +92 - 2*3$\sqrt{11}$*9*$\frac{\sqrt{11}}6$=9*11+81-11*9=81
EM = 9из той же теоремы найдем
EN2 = AE2+AN2 - 2AE*AN*cos∠BAC
EN2 = 32$\sqrt{11}$2 +112 - 2*3$\sqrt{11}$*11*$\frac{\sqrt{11}}6$=32$\sqrt{11}$2 +121-121 = 32$\sqrt{11}$2
EN = 3$\sqrt{11}$Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = 3$\sqrt{11}$.
Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные.
Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла.
$\sin\angle B\;A\;C^2+\cos\angle B\;A\;C^2=1\\\sin\angle B\;A\;C^2=1-\cos\angle B\;A\;C^2\\\sin\angle B\;A\;C^2=1-\frac{\sqrt{11}}6^2\\\sin\angle B\;A\;C^2\;=\;1-\frac{11}{36}\\\sin\angle B\;A\;C^2\;=\frac{25}{36}\\\sin\angle B\;A\;C\;=\;\frac56\\\\\\\\$
При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.
$R=\frac{EM}{2\ast\sin\angle\;B\;A\;C}\;\;=\frac9{2\ast{\displaystyle\frac56}}=5.4\\\\\\\\$
Ответ: 5.4
B83171
